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Lebesgue Stieltjes Maß Das ist ein Begriff aus der Maßtheorie einem Teilbereich der Mathematik Es enthält als einen Spez

Lebesgue-Stieltjes-Maß

Das Lebesgue-Stieltjes-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Es enthält als einen Spezialfall das Lebesgue-Maß und wird zur Konstruktion des Lebesgue-Stieltjes-Integrals genutzt.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine monoton wachsende, rechtsstetige Funktion und der Messraum , wobei die Borelsche σ-Algebra bezeichnet. Dann heißt das eindeutig bestimmte Maß auf diesem Messraum mit

Lebesgue-Stieltjes-Maß.

Beispiele Bearbeiten

Konstruktion Bearbeiten

Gegeben sei der Halbring und eine wachsende, rechtsseitig stetige Funktion . Dann ist

ein σ-endliches Prämaß, das sogenannte Lebesgue-Stieltjessches Prämaß. Dann lässt sich mit dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory eine eindeutige Fortsetzung dieses Prämaßes zu einem Maß konstruieren. Dazu wird ein äußeres Maß , das sogenannte äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß definiert, und dieses auf die von erzeugte σ-Algebra eingeschränkt. Diese σ-Algebra ist dann genau die Borelsche σ-Algebra und es ist .

Vervollständigung Bearbeiten

Der oben konstruierte Maßraum ist im Allgemeinen kein vollständiger Maßraum. Da das äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß aber auch ein metrisches äußeres Maß ist, enthält die σ-Algebra der messbaren Mengen bezüglich des äußeren Maßes die Borelsche σ-Algebra. Demnach ist der Maßraum die Vervollständigung von .

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Lebesgue Stieltjes Mass ist ein Begriff aus der Masstheorie einem Teilbereich der Mathematik Es enthalt als einen Spezialfall das Lebesgue Mass und wird zur Konstruktion des Lebesgue Stieltjes Integrals genutzt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Konstruktion 4 Vervollstandigung 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei eine monoton wachsende rechtsstetige Funktion F R R displaystyle F colon mathbb R to mathbb R nbsp und der Messraum R B R displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R nbsp wobei B displaystyle mathcal B nbsp die Borelsche s Algebra bezeichnet Dann heisst das eindeutig bestimmte Mass l F displaystyle lambda F nbsp auf diesem Messraum mit l F a b F b F a fur a lt b displaystyle lambda F a b F b F a quad text fur quad a lt b nbsp Lebesgue Stieltjes Mass Beispiele BearbeitenDas bekannteste Beispiel eines Lebesgue Stieltjes Masses ist das Lebesgue Mass l a b b a displaystyle lambda a b b a nbsp aus dem das Lebesgue Integral konstruiert wird Hier ist F x x displaystyle F x x nbsp Fur a R displaystyle a in mathbb R nbsp und F R R displaystyle F colon mathbb R to mathbb R nbsp mit F x 0 displaystyle F x 0 nbsp fur x lt a displaystyle x lt a nbsp und F x 1 displaystyle F x 1 nbsp fur x a displaystyle x geq a nbsp ist das Lebesgue Stieltjes Mass l F displaystyle lambda F nbsp das Diracmass d a displaystyle delta a nbsp Ist f R 0 displaystyle f colon mathbb R to 0 infty nbsp eine nichtnegative stetige Funktion mit Stammfunktion F displaystyle F nbsp so ist l F displaystyle lambda F nbsp das Mass mit Dichte f displaystyle f nbsp Ist zusatzlich lim x F x 0 displaystyle lim x to infty F x 0 nbsp und lim x F x 1 displaystyle lim x to infty F x 1 nbsp so ist l F displaystyle lambda F nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass und F displaystyle F nbsp ist die Verteilungsfunktion Sind die beiden obigen Falle erfullt so handelt es sich um ein Wahrscheinlichkeitsmass mit Dichte Diese Masse spielen eine wichtige Rolle in der Stochastik Konstruktion BearbeitenGegeben sei der Halbring J a b a b R a lt b displaystyle mathcal J a b a b in mathbb R a lt b nbsp und eine wachsende rechtsseitig stetige Funktion F displaystyle F nbsp Dann ist m F J R m F a b F b F a a lt b displaystyle mu F mathcal J rightarrow mathbb R mu F a b F b F a a lt b nbsp ein s endliches Pramass das sogenannte Lebesgue Stieltjessches Pramass Dann lasst sich mit dem Masserweiterungssatz von Caratheodory eine eindeutige Fortsetzung dieses Pramasses zu einem Mass konstruieren Dazu wird ein ausseres Mass n F displaystyle nu F nbsp das sogenannte aussere Lebesgue Stieltjessche Mass definiert und dieses auf die von J displaystyle mathcal J nbsp erzeugte s Algebra eingeschrankt Diese s Algebra ist dann genau die Borelsche s Algebra B R s J displaystyle mathcal B mathbb R sigma mathcal J nbsp und es ist l F n F s J displaystyle lambda F nu F sigma mathcal J nbsp Vervollstandigung BearbeitenDer oben konstruierte Massraum ist im Allgemeinen kein vollstandiger Massraum Da das aussere Lebesgue Stieltjessche Mass aber auch ein metrisches ausseres Mass ist enthalt die s Algebra der messbaren Mengen bezuglich des ausseren Masses A n F displaystyle mathcal A nu F nbsp die Borelsche s Algebra Demnach ist der Massraum R A n F n F A n F displaystyle mathbb R mathcal A nu F nu F mathcal A nu F nbsp die Vervollstandigung von R B R l F displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R lambda F nbsp Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 76317 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lebesgue Stieltjes Mass amp oldid 146688544