Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.
Definition Bearbeiten
Das Tripel heißt Maßraum, wenn
- eine beliebige, nichtleere Menge ist. wird dann auch Grundmenge genannt.
- eine σ-Algebra über der Grundmenge ist.
- ein Maß ist, das auf definiert ist.
Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum versehen mit einem Maß definieren.
Beispiele Bearbeiten
Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge , als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge und als Maß das Diracmaß auf der 1: .
Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge , versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.
Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge , der Ereignisalgebra und dem Wahrscheinlichkeitsmaß .
Klassen von Maßräumen Bearbeiten
Endliche Maßräume Bearbeiten
Ein Maßraum wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also ist.
σ-endliche Maßräume Bearbeiten
Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra ) ist.
Vollständige Maßräume Bearbeiten
Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.
Signierte Maßräume Bearbeiten
Ist eine σ-Algebra über der Grundmenge und ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel einen signierten Maßraum.
Separable Maßräume Bearbeiten
Ein Maßraum heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem existiert, so dass für alle und beliebige ein existiert, so dass ist.
Zerlegbare Maßräume Bearbeiten
Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.
Lokalisierbare Maßräume Bearbeiten
Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.
Literatur Bearbeiten
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.