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Lokalisierbarer Maßraum Lokalisierbarkeit ist in der Mathematik genauer in der Maßtheorie eine Eigenschaft die einem Maß

Lokalisierbarer Maßraum

Lokalisierbarkeit ist in der Mathematik, genauer in der Maßtheorie, eine Eigenschaft, die einem Maßraum zukommt.

Definition Bearbeiten

Dabei heißt ein Maßraum lokalisierbar, wenn gilt: Ist und eine Familie messbarer Funktionen mit für alle mit so existiert eine lokal messbare Funktion mit für alle .

Erläuterung Bearbeiten

In einem lokalisierbaren Maßraum ist es also möglich, lokal konsistent gegebene messbare Funktionen zu einer (lokal) messbaren Funktion, die auf dem ganzen Raum definiert ist, zusammenzusetzen. Lokal bedeutet hierbei auf Mengen endlichen Maßes.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die vielleicht wichtigste Eigenschaft eines lokalisierbaren Maßraums ist vielleicht die, dass in lokalisierbaren Räumen der Dualraum des als der Raum der lokal messbaren, lokal im Wesentlichen beschränkten Funktionen beschrieben werden kann. Im Fall σ-endlicher Maßräume fällt dieser Raum, mit dem üblichen zusammen.

Literatur Bearbeiten

  • Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-17850-3, Abschnitt IV.3, S. 184–192.
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Lokalisierbarkeit ist in der Mathematik genauer in der Masstheorie eine Eigenschaft die einem Massraum zukommt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erlauterung 3 Eigenschaften 4 LiteraturDefinition BearbeitenDabei heisst ein Massraum S A m displaystyle S mathcal A mu nbsp lokalisierbar wenn gilt Ist A 0 A A m A lt displaystyle mathcal A 0 A in mathcal A mu A lt infty nbsp und g A A A 0 displaystyle g A A in mathcal A 0 nbsp eine Familie messbarer Funktionen g A A R displaystyle g A colon A to mathbb R nbsp mit g A A B g B A B displaystyle g A A cap B g B A cap B nbsp fur alle A B A displaystyle A B in mathcal A nbsp mit m A m B lt displaystyle mu A mu B lt infty nbsp so existiert eine lokal messbare Funktion g S R displaystyle g colon S to mathbb R nbsp mit g A g A displaystyle g A g A nbsp fur alle A A 0 displaystyle A in mathcal A 0 nbsp Erlauterung BearbeitenIn einem lokalisierbaren Massraum ist es also moglich lokal konsistent gegebene messbare Funktionen zu einer lokal messbaren Funktion die auf dem ganzen Raum definiert ist zusammenzusetzen Lokal bedeutet hierbei auf Mengen endlichen Masses Eigenschaften BearbeitenDie vielleicht wichtigste Eigenschaft eines lokalisierbaren Massraums ist vielleicht die dass in lokalisierbaren Raumen der Dualraum des L 1 displaystyle L 1 nbsp als der Raum der lokal messbaren lokal im Wesentlichen beschrankten Funktionen beschrieben werden kann Im Fall s endlicher Massraume fallt dieser Raum mit dem ublichen L displaystyle L infty nbsp zusammen Literatur BearbeitenEhrhard Behrends Mass und Integrationstheorie Springer Berlin u a 1987 ISBN 3 540 17850 3 Abschnitt IV 3 S 184 192 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lokalisierbarer Massraum amp oldid 169258948