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Vollständiges Maß Ein vollständiges Maß sowie ein vollständiger Maßraum sind Begriffe aus der Maßtheorie einem Teilgebie

Vollständiges Maß

Ein vollständiges Maß sowie ein vollständiger Maßraum sind Begriffe aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt. Ein Maßraum ist vollständig, wenn er alle Teilmengen seiner Nullmengen enthält. Das zum Maßraum zugehörige Maß heißt dann vollständig.

Definition Bearbeiten

Ein Maßraum heißt vollständig, wenn

.

Ist der Maßraum vollständig, so nennt man auch das Maß vollständig.

Vervollständigung von Maßräumen Bearbeiten

Sei ein Maßraum und

und ein eindeutiges Maß , sodass

Das Tripel ist ein vollständiger Maßraum. Er heißt die Vervollständigung von .

Äquivalente Definitionen von sind

.

Beispiele Bearbeiten

Ist ein äußeres Maß gegeben und ist die σ-Algebra der -messbaren Mengen sowie das zugehörige Maß, so ist der Maßraum vollständig. Dies folgt schon aus der Definition der -Messbarkeit, da wenn ist mit , so folgt aus den Eigenschaften des äußeren Maßes und daher .

Ein bekanntes Beispiel für eine Vervollständigung ist die Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maßes zum Lebesgue-Maß. Diese Vervollständigung erklärt auch, warum die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen größer ist als die der Borel-messbaren Mengen.

Ein Beispiel für einen Maßraum , der nicht vollständig ist, ist durch , und mit dem Dirac-Maß in gegeben. Für gilt und für jede echte Teilmenge von gilt . Zugleich ist dies ein Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum, der nicht vollständig ist.

Literatur Bearbeiten

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.
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Ein vollstandiges Mass sowie ein vollstandiger Massraum sind Begriffe aus der Masstheorie einem Teilgebiet der Mathematik das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschaftigt Ein Massraum ist vollstandig wenn er alle Teilmengen seiner Nullmengen enthalt Das zum Massraum zugehorige Mass heisst dann vollstandig Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Vervollstandigung von Massraumen 3 Beispiele 4 LiteraturDefinition BearbeitenEin Massraum W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp heisst vollstandig wennN A m N 0 E N E A displaystyle N in mathcal A quad mu N 0 quad E subset N quad Longrightarrow E in mathcal A nbsp Ist der Massraum vollstandig so nennt man auch das Mass m displaystyle mu nbsp vollstandig Vervollstandigung von Massraumen BearbeitenSei W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp ein Massraum und A A A 1 A A 2 wobei A 1 A 2 A und m A 2 A 1 0 displaystyle tilde mathcal A A A 1 subset A subset A 2 text wobei A 1 A 2 in mathcal A text und mu A 2 backslash A 1 0 nbsp und ein eindeutiges Mass m A 0 displaystyle tilde mu tilde mathcal A to 0 infty nbsp sodass m A m displaystyle tilde mu vert mathcal A mu nbsp Das Tripel W A m displaystyle Omega tilde mathcal A tilde mu nbsp ist ein vollstandiger Massraum Er heisst die Vervollstandigung von W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp Aquivalente Definitionen von A displaystyle tilde mathcal A nbsp sind A N A A und N B A fur ein B sodass m B 0 A N A A und N B A fur ein B sodass m B 0 displaystyle A cup N A in mathcal A text und N subset B in mathcal A text fur ein B text sodass mu B 0 A triangle N A in mathcal A text und N subset B in mathcal A text fur ein B text sodass mu B 0 nbsp Beispiele BearbeitenIst ein ausseres Mass n displaystyle nu nbsp gegeben und ist A n displaystyle mathcal A nu nbsp die s Algebra der n displaystyle nu nbsp messbaren Mengen sowie m n A n displaystyle mu nu mathcal A nu nbsp das zugehorige Mass so ist der Massraum W A n m displaystyle Omega mathcal A nu mu nbsp vollstandig Dies folgt schon aus der Definition der n displaystyle nu nbsp Messbarkeit da wenn B A A n displaystyle B subset A in mathcal A nu nbsp ist mit n A 0 displaystyle nu A 0 nbsp so folgt aus den Eigenschaften des ausseren Masses n B 0 displaystyle nu B 0 nbsp und daher B A n displaystyle B in mathcal A nu nbsp Ein bekanntes Beispiel fur eine Vervollstandigung ist die Vervollstandigung des Lebesgue Borel Masses zum Lebesgue Mass Diese Vervollstandigung erklart auch warum die Menge der Lebesgue messbaren Mengen grosser ist als die der Borel messbaren Mengen Ein Beispiel fur einen Massraum W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp der nicht vollstandig ist ist durch W 0 1 displaystyle Omega 0 1 nbsp A 0 1 1 W displaystyle mathcal A 0 1 1 emptyset Omega nbsp und m d 1 displaystyle mu delta 1 nbsp mit dem Dirac Mass in 1 displaystyle 1 nbsp gegeben Fur A 0 1 displaystyle A 0 1 nbsp gilt m A 0 displaystyle mu A 0 nbsp und fur jede echte Teilmenge B displaystyle B nbsp von A displaystyle A nbsp gilt B A displaystyle B notin mathcal A nbsp Zugleich ist dies ein Beispiel fur einen Wahrscheinlichkeitsraum der nicht vollstandig ist Literatur BearbeitenOtto Forster Analysis Band 3 Mass und Integrationstheorie Integralsatze im Rn und Anwendungen 8 verbesserte Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2017 ISBN 978 3 658 16745 5 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 76317 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vollstandiges Mass amp oldid 238311530