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Diracmaß Ein benannt nach dem Physiker Paul Dirac ist ein Maß in der Maßtheorie mit ein elementigem Träger Das ist die V

Diracmaß

Ein Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Maß in der Maßtheorie mit ein-elementigem Träger. Das Diracmaß ist die Verteilung einer fast sicher konstanten Zufallsvariable, und spielt eine Rolle als Formalisierung des Begriffes der Delta-Distribution.

Definition Bearbeiten

Es sei ein messbarer Raum gegeben, also eine Grundmenge zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra . Zu jedem Punkt wird eine zugehörige Abbildung definiert, die jeder Menge den Wert zuordnet, wenn sie enthält, und den Wert , wenn sie nicht enthält:

Die Abbildung ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt genannt. Wegen ist sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und ein Wahrscheinlichkeitsraum. Damit lässt sich die Dirac-Verteilung definieren. Beim Diracmaß ist die Einheitsmasse im Punkt konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion kann man die definierende Gleichung auch durch

für alle und ausdrücken.

Eigenschaften des Dirac-Maßes Bearbeiten

sei das Dirac-Maß, das auf einem festen Punkt in einem messbaren Raum zentriert ist.

Angenommen, dass ein topologischer Raum ist und dass mindestens so fein ist wie die Borel-Algebra -Algebra auf ist, dann gilt:

  • ist ein streng positives Maß, wenn und nur wenn die Topologie so ist, dass innerhalb jeder nichtleeren offenen Menge liegt, z. B. im Fall der trivialen Topologie .
  • Da ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ist es auch ein lokal endliches Maß.
  • Wenn ein topologischer Hausdorff-Raum mit seiner Borel -Algebra ist, dann erfüllt die Bedingung, ein inneres reguläres Maß zu sein, da Singleton-Mengen wie immer kompakt sind. Folglich ist auch ein Radon-Maß.
  • Unter der Annahme, dass die Topologie fein genug ist, dass geschlossen ist, was in den meisten Anwendungen der Fall ist, ist die Unterstützung von gleich . (Andernfalls ist der Abschluss von in ). Außerdem ist das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Unterstützung ist.
  • Wenn ein -dimensionaler euklidischer Raum mit seiner üblichen -Algebra und -dimensionalem Lebesgue-Maß ist, dann ist ein singuläres Maß in Bezug auf : Man zerlegen einfach als und und stellt fest, dass .
  • Das Dirac-Maß ist ein -finites Maß.

Dirac-Integral Bearbeiten

Das Dirac-Integral der Funktion ist definiert als das Lebesgue-Integral unter dem Dirac-Maß. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion f.

Begründung Bearbeiten

Die Abbildung sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion unter dem Dirac-Maß ist durch

definiert, wobei eine beliebige Folge einfacher Funktionen ist, die punktweise und monoton wachsend gegen konvergiert. Eine einfache Funktion ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte annimmt. sei die Anzahl der Funktionswerte ; seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion jeweils den Wert annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

Ist , dann ist erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen . Dann ist auch das Dirac-Maß von allen gleich Null. Folglich ist das Integral über insgesamt gleich Null.

Ist für irgendein , so ist das Dirac-Maß von gleich ; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen ist dann gleich Null. Für das Integral der einfachen Funktionen ergibt sich somit:

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle , wenn ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle und gilt

Als einelementige Teilmenge von ist . Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls , so ist auch eine Integration über und möglich.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
  • Jean Dieudonnè 1976: Treatise on analysis, Part 2 (Seite 100), ISBN 0-12-215502-5
  • Benedetto, John (1997): "§2.1.3 Definition, δ" Harmonic analysis and applications. CRC Press (Seite 72), ISBN 0-8493-7879-6
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Diracmass benannt nach dem Physiker Paul Dirac ist ein Mass in der Masstheorie mit ein elementigem Trager Das Diracmass ist die Verteilung einer fast sicher konstanten Zufallsvariable und spielt eine Rolle als Formalisierung des Begriffes der Delta Distribution Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften des Dirac Masses 3 Dirac Integral 4 Begrundung 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition BearbeitenEs sei ein messbarer Raum W A displaystyle Omega mathcal A nbsp gegeben also eine Grundmenge W displaystyle Omega nbsp zusammen mit einer darauf definierten s Algebra A displaystyle mathcal A nbsp Zu jedem Punkt z W displaystyle z in Omega nbsp wird eine zugehorige Abbildung d z displaystyle delta z nbsp definiert die jeder Menge A A displaystyle A in mathcal A nbsp den Wert 1 displaystyle 1 nbsp zuordnet wenn sie z displaystyle z nbsp enthalt und den Wert 0 displaystyle 0 nbsp wenn sie z displaystyle z nbsp nicht enthalt d z A 1 falls z A 0 s o n s t displaystyle delta z A begin cases 1 amp text falls z in A 0 amp mathrm sonst end cases nbsp Die Abbildung d z A 0 1 displaystyle delta z colon mathcal A to 0 1 nbsp ist dann ein Mass und wird Diracmass oder Punktmass im Punkt z displaystyle z nbsp genannt Wegen d z W 1 displaystyle delta z Omega 1 nbsp ist d z displaystyle delta z nbsp sogar ein Wahrscheinlichkeitsmass und W A d z displaystyle Omega mathcal A delta z nbsp ein Wahrscheinlichkeitsraum Damit lasst sich die Dirac Verteilung definieren Beim Diracmass d z displaystyle delta z nbsp ist die Einheitsmasse im Punkt z displaystyle z nbsp konzentriert Es folgt dass das Mass endlich ist insbesondere ist der Massraum s endlich Mit Hilfe der charakteristischen Funktion x displaystyle chi nbsp kann man die definierende Gleichung auch durch d z A x A z displaystyle delta z A chi A z nbsp fur alle z W displaystyle z in Omega nbsp und A A displaystyle A in mathcal A nbsp ausdrucken Eigenschaften des Dirac Masses Bearbeitend x displaystyle delta x nbsp sei das Dirac Mass das auf einem festen Punkt x displaystyle x nbsp in einem messbaren Raum X S displaystyle X Sigma nbsp zentriert ist d x displaystyle delta x nbsp ist ein Wahrscheinlichkeitsmass und damit ein endliches Mass Angenommen dass X T displaystyle X T nbsp ein topologischer Raum ist und dass S displaystyle Sigma nbsp mindestens so fein ist wie die Borel Algebra s displaystyle sigma nbsp Algebra s T displaystyle sigma T nbsp auf X displaystyle X nbsp ist dann gilt d x displaystyle delta x nbsp ist ein streng positives Mass wenn und nur wenn die Topologie T displaystyle T nbsp so ist dass x displaystyle x nbsp innerhalb jeder nichtleeren offenen Menge liegt z B im Fall der trivialen Topologie X displaystyle varnothing X nbsp Da d x displaystyle delta x nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass ist ist es auch ein lokal endliches Mass Wenn X displaystyle X nbsp ein topologischer Hausdorff Raum mit seiner Borel s displaystyle sigma nbsp Algebra ist dann erfullt d x displaystyle delta x nbsp die Bedingung ein inneres regulares Mass zu sein da Singleton Mengen wie x displaystyle x nbsp immer kompakt sind Folglich ist d x displaystyle delta x nbsp auch ein Radon Mass Unter der Annahme dass die Topologie T displaystyle T nbsp fein genug ist dass x displaystyle x nbsp geschlossen ist was in den meisten Anwendungen der Fall ist ist die Unterstutzung von d x displaystyle delta x nbsp gleich x displaystyle x nbsp Andernfalls ist supp d x displaystyle operatorname supp left delta x right nbsp der Abschluss von x displaystyle x nbsp in X T displaystyle X T nbsp Ausserdem ist d x displaystyle delta x nbsp das einzige Wahrscheinlichkeitsmass dessen Unterstutzung x displaystyle x nbsp ist Wenn X displaystyle X nbsp ein n displaystyle n nbsp dimensionaler euklidischer Raum R n displaystyle mathbf R n nbsp mit seiner ublichen s displaystyle sigma nbsp Algebra und n displaystyle n nbsp dimensionalem Lebesgue Mass l n displaystyle lambda n nbsp ist dann ist d x displaystyle delta x nbsp ein singulares Mass in Bezug auf l n displaystyle lambda n nbsp Man zerlegen einfach R n displaystyle mathbf R n nbsp als A R n x displaystyle A mathbf R n backslash x nbsp und B x displaystyle B x nbsp und stellt fest dass d x A l n B 0 displaystyle delta x A lambda n B 0 nbsp Das Dirac Mass ist ein s displaystyle sigma nbsp finites Mass Dirac Integral BearbeitenSiehe auch Delta Distribution Das Dirac Integral der Funktion f A R displaystyle f colon A to mathbb R nbsp ist definiert als das Lebesgue Integral unter dem Dirac Mass Anstelle des Lebesgue Masses wird zur Berechnung des Integrals das Dirac Mass verwendet Damit ergibt sich fur das Integral einer beliebigen Funktion f A f d d z f z z A 0 z A displaystyle int A f mathrm d delta z begin cases f z amp z in A 0 amp z not in A end cases nbsp Begrundung BearbeitenDie Abbildung f A R displaystyle f colon A to mathbb R nbsp sei eine nicht negative messbare Funktion Das Lebesgue Integral der Funktion unter dem Dirac Mass ist durch A f d d z lim n A f n d d z displaystyle int A f mathrm d delta z lim n rightarrow infty int A f n mathrm d delta z nbsp definiert wobei f n displaystyle f n nbsp eine beliebige Folge einfacher Funktionen ist die punktweise und monoton wachsend gegen f displaystyle f nbsp konvergiert Eine einfache Funktion ist eine nicht negative messbare Funktion die nur endlich viele Funktionswerte a i displaystyle alpha i nbsp annimmt m displaystyle m nbsp sei die Anzahl der Funktionswerte a i displaystyle alpha i nbsp A i displaystyle A i nbsp seien die messbaren Mengen auf der die Funktion f n displaystyle f n nbsp jeweils den Wert a i displaystyle alpha i nbsp annimmt Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermassen definiert A f n d d z i 1 m a i n d z A i n displaystyle int A f n mathrm d delta z sum i 1 m alpha i n delta z A i n nbsp Ist z A displaystyle z notin A nbsp dann ist z displaystyle z nbsp erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen A i displaystyle A i nbsp Dann ist auch das Dirac Mass von allen A i displaystyle A i nbsp gleich Null Folglich ist das Integral uber A displaystyle A nbsp insgesamt gleich Null Ist z A j n displaystyle z in A j n nbsp fur irgendein j displaystyle j nbsp so ist das Dirac Mass von A j n displaystyle A j n nbsp gleich 1 displaystyle 1 nbsp das Dirac Mass fur alle anderen Mengen A i n displaystyle A i n nbsp ist dann gleich Null Fur das Integral der einfachen Funktionen f n displaystyle f n nbsp ergibt sich somit A f n d d z a j n f n z displaystyle int A f n mathrm d delta z alpha j n f n z nbsp lim n A f n d d z lim n f n z f z displaystyle lim n rightarrow infty int A f n mathrm d delta z lim n rightarrow infty f n z f z nbsp Also ist das Dirac Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle z displaystyle z nbsp wenn z A displaystyle z in A nbsp ist Eine andere Beweisfuhrung erfolgt so Fur alle z W displaystyle z in Omega nbsp und A A displaystyle A in mathcal A nbsp gilt A f d d z A f 1 f z f d d z A f 1 f z f d d z x A f x f z f d d z x A f x f z f d d z f z d z A 0 f z d z A f z z A 0 z A displaystyle begin aligned int limits A f mathrm d delta z amp int limits A cap f 1 f z f mathrm d delta z int limits A setminus f 1 f z f mathrm d delta z amp int limits x in A mid f x f z f mathrm d delta z int limits x in A mid f x neq f z f mathrm d delta z amp f z delta z A 0 amp f z delta z A amp begin cases f z amp z in A 0 amp z not in A end cases end aligned nbsp Als einelementige Teilmenge von R displaystyle mathbb R nbsp ist f z B displaystyle f z in mathcal B nbsp Urbilder messbarer Mengen sind messbar Also ist f 1 f z A displaystyle f 1 f z in mathcal A nbsp und dementsprechend auch die Mengen uber die oben integriert wird Falls z A displaystyle z in mathcal A nbsp so ist auch eine Integration uber A z displaystyle A cap z nbsp und A z displaystyle A setminus z nbsp moglich Siehe auch BearbeitenZahlmass Lebesgue Mass Delta DistributionLiteratur BearbeitenElliott H Lieb Michael Loss Analysis Graduate Studies in Mathematics Bd 14 2nd Edition American Mathematical Society Providence RI 2001 ISBN 0 8218 2783 9 Jean Dieudonne 1976 Treatise on analysis Part 2 Seite 100 ISBN 0 12 215502 5 Benedetto John 1997 2 1 3 Definition d Harmonic analysis and applications CRC Press Seite 72 ISBN 0 8493 7879 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Diracmass amp oldid 239107846