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Reguläres Maß Ein reguläres Maß ist in der Maßtheorie ein spezielles Maß auf einem topologischen Raum für das gewisse Ap

Reguläres Maß

Ein reguläres Maß ist in der Maßtheorie ein spezielles Maß auf einem topologischen Raum, für das gewisse Approximationseigenschaften gelten. Man unterscheidet zwischen der Regularität von innen und der Regularität von außen eines Maßes. Ist ein Maß regulär von innen und von außen, so wird es regulär genannt.

Die Regularität von Maßen wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, insbesondere im Kontext von Borel-Maßen. Daher ist ein genauer Abgleich mit der Definition im jeweiligen Kontext unerlässlich.

Definition Bearbeiten

Seien ein Hausdorff-Raum und eine σ-Algebra auf , die die Borelsche σ-Algebra enthält.

Dann liegen alle offenen und alle abgeschlossenen Teilmengen von in .

Da Hausdorff ist, liegen auch alle kompakten Teilmengen von in .

Ein Maß heißt

  • von innen regulär, falls für jedes gilt:
  • von außen regulär, falls für jedes gilt:
  • regulär, wenn es von innen und von außen regulär ist.

Eine Menge , die eine der drei angegebenen Eigenschaften erfüllt, wird entsprechend als von innen reguläre, von außen reguläre oder reguläre Menge bezeichnet. Mitunter fordert man die innere Regularität nur für offene Mengen (in diesem Sinne ist dann das Haar-Maß regulär) oder fordert, dass es sich bei dem Maß um ein Borel-Maß handelt.

Weitere Bedeutungen Bearbeiten

Teils werden Maße auf einem metrischen Raum mit Borelscher σ-Algebra als abgeschlossen regulär bezeichnet, wenn für jede Menge und jedes eine offene Menge und eine abgeschlossene Menge existieren mit und . Andere Autoren nennen diese Maße aber lediglich regulär.

Im englischen findet sich auch die Bezeichnung „tightness“ für die Regularität von Innen . Die „tight measures“ entsprechen aber nicht den von innen regulären Maßen oder den straffen Maßen, sondern den Radon-Maßen (im Sinne eines von innen regulären, lokal endlichen Maßes auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raumes).

Eigenschaften und Beispiele Bearbeiten

Reguläre Maße erlauben in vielen Beweisen Approximationsargumente. Oft genügt es, gewisse Aussagen für kompakte oder offene Mengen zu zeigen, und diese dann durch die beiden Formeln auf messbare Mengen zu erweitern. Viele Maße sind regulär.

Reguläre Borel-Maße Bearbeiten

Abhängig davon, wie man ein Borel-Maß definiert, existieren verschiedene Konzepte der Regularität von Borel-Maßen.

  • Versteht man unter einem Borel-Maß ein lokal endliches Maß auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raumes, so nennt man dieses Borel-Maß ein reguläres Borel-Maß, wenn es von innen und von außen regulär ist, also Regulär im obigen Sinne.
  • Versteht man unter einem Borel-Maß ein Maß auf der Borelschen σ-Algebra eines topologischen Raumes, so nennt man dieses Maß ein reguläres Borel-Maß, wenn
  • Versteht man unter einem Borel-Maß ein äußeres Maß, bezüglich dessen alle Borelmengen Carathéodory-messbar sind, so heißt das Borel-Maß ein reguläres Borel-Maß, wenn zu jeder beliebigen Teilmenge der Obermenge eine Borel-Menge existiert, so dass ist.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Regularität lässt sich auch für signierte Maße und komplexe Maße definieren, man spricht dann von regulären signierten Maßen oder regulären komplexen Maßen. Die Regularität ist dann äquivalent zur Regularität der Variation oder der Real/Imaginäranteile.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 313.
  2. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 379.
  3. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 193, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
  4. R.A. Minlos: Radon Mesure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  5. Tight measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  6. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, Kapitel VIII. Korollar 1.12
  7. V.V. Sazonov: Borel measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  8. Eric W. Weisstein: Regular Borel Measure. In: MathWorld (englisch).

Literatur Bearbeiten

  • Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013625-2.
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
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Ein regulares Mass ist in der Masstheorie ein spezielles Mass auf einem topologischen Raum fur das gewisse Approximationseigenschaften gelten Man unterscheidet zwischen der Regularitat von innen und der Regularitat von aussen eines Masses Ist ein Mass regular von innen und von aussen so wird es regular genannt Die Regularitat von Massen wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet insbesondere im Kontext von Borel Massen Daher ist ein genauer Abgleich mit der Definition im jeweiligen Kontext unerlasslich Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Weitere Bedeutungen 3 Eigenschaften und Beispiele 4 Regulare Borel Masse 5 Verallgemeinerungen 6 Einzelnachweise 7 LiteraturDefinition BearbeitenSeien X displaystyle X nbsp ein Hausdorff Raum und A displaystyle mathcal A nbsp eine s Algebra auf X displaystyle X nbsp die die Borelsche s Algebra enthalt Dann liegen alle offenen und alle abgeschlossenen Teilmengen von X displaystyle X nbsp in A displaystyle mathcal A nbsp Da X displaystyle X nbsp Hausdorff ist liegen auch alle kompakten Teilmengen von X displaystyle X nbsp in A displaystyle mathcal A nbsp Ein Mass m A 0 displaystyle mu colon mathcal A rightarrow 0 infty nbsp heisst von innen regular falls fur jedes A A displaystyle A in mathcal A nbsp gilt m A sup m K K A K kompakt displaystyle mu A sup mu K mid K subset A K textrm kompakt nbsp dd von aussen regular falls fur jedes A A displaystyle A in mathcal A nbsp gilt m A inf m U A U U offen displaystyle mu A inf mu U mid A subset U U textrm offen nbsp dd regular wenn es von innen und von aussen regular ist 1 Eine Menge A A displaystyle A in mathcal A nbsp die eine der drei angegebenen Eigenschaften erfullt wird entsprechend als von innen regulare von aussen regulare oder regulare Menge bezeichnet Mitunter fordert man die innere Regularitat nur fur offene Mengen in diesem Sinne ist dann das Haar Mass regular oder fordert dass es sich bei dem Mass um ein Borel Mass handelt Weitere Bedeutungen BearbeitenTeils werden Masse auf einem metrischen Raum mit Borelscher s Algebra B displaystyle mathcal B nbsp als abgeschlossen regular bezeichnet wenn fur jede Menge B B displaystyle B in mathcal B nbsp und jedes ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp eine offene Menge O displaystyle O nbsp und eine abgeschlossene Menge A displaystyle A nbsp existieren mit A B O displaystyle A subset B subset O nbsp und m O A lt ϵ displaystyle mu O setminus A lt epsilon nbsp 2 Andere Autoren nennen diese Masse aber lediglich regular 3 Im englischen findet sich auch die Bezeichnung tightness fur die Regularitat von Innen 4 Die tight measures entsprechen aber nicht den von innen regularen Massen oder den straffen Massen sondern den Radon Massen im Sinne eines von innen regularen lokal endlichen Masses auf der Borelschen s Algebra eines Hausdorff Raumes 5 Eigenschaften und Beispiele BearbeitenRegulare Masse erlauben in vielen Beweisen Approximationsargumente Oft genugt es gewisse Aussagen fur kompakte oder offene Mengen zu zeigen und diese dann durch die beiden Formeln auf messbare Mengen zu erweitern Viele Masse sind regular Das Lebesgue Mass auf dem R n displaystyle mathbb R n nbsp ist regular Allgemeiner gilt Ist X displaystyle X nbsp ein lokalkompakter Hausdorffraum mit abzahlbarer Basis und ist m displaystyle mu nbsp ein Borel Mass auf X displaystyle X nbsp so ist m displaystyle mu nbsp regular 6 Ein Borelmass auf einem polnischen Raum ist regular Regulare Borel Masse BearbeitenAbhangig davon wie man ein Borel Mass definiert existieren verschiedene Konzepte der Regularitat von Borel Massen 7 Versteht man unter einem Borel Mass ein lokal endliches Mass auf der Borelschen s Algebra eines Hausdorff Raumes so nennt man dieses Borel Mass ein regulares Borel Mass wenn es von innen und von aussen regular ist also Regular im obigen Sinne Versteht man unter einem Borel Mass ein Mass auf der Borelschen s Algebra B displaystyle mathcal B nbsp eines topologischen Raumes so nennt man dieses Mass m displaystyle mu nbsp ein regulares Borel Mass wennm B sup m C C B C abgeschlossen displaystyle mu B sup mu C C subset B C text abgeschlossen nbsp dd fur jedes B B displaystyle B in mathcal B nbsp gilt Versteht man unter einem Borel Mass ein ausseres Mass bezuglich dessen alle Borelmengen Caratheodory messbar sind so heisst das Borel Mass ein regulares Borel Mass wenn zu jeder beliebigen Teilmenge A displaystyle A nbsp der Obermenge eine Borel Menge B displaystyle B nbsp existiert so dass m A m B displaystyle mu A mu B nbsp ist 8 Verallgemeinerungen BearbeitenRegularitat lasst sich auch fur signierte Masse und komplexe Masse definieren man spricht dann von regularen signierten Massen oder regularen komplexen Massen Die Regularitat ist dann aquivalent zur Regularitat der Variation oder der Real Imaginaranteile Einzelnachweise Bearbeiten Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2009 S 313 Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2009 S 379 Hans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis 6 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 ISBN 978 3 642 22260 3 S 193 doi 10 1007 978 3 642 22261 0 R A Minlos Radon Mesure In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Tight measure In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2011 Kapitel VIII Korollar 1 12 V V Sazonov Borel measure In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Regular Borel Measure In MathWorld englisch Literatur BearbeitenHeinz Bauer Mass und Integrationstheorie 2 uberarbeitete Auflage de Gruyter Berlin u a 1992 ISBN 3 11 013625 2 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Regulares Mass amp oldid 189369714