In der Mathematik, speziell in der Analysis, ist eine einfache Funktion eine Funktion, die messbar ist und nur endlich viele Werte annimmt. Dabei ist der Wertebereich oder allgemeiner ein Banachraum. Einfache Funktionen spielen eine zentrale Rolle in der Integrationstheorie.
Eine einfache Funktion wird auch als Elementarfunktion oder als Treppenfunktion bezeichnet.
Definition
Sei ein Messraum und ein (reeller oder komplexer) Banachraum. Eine Funktion heißt einfache Funktion, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
- nimmt nur endlich viele Werte an
- ist messbar, d. h. für alle gilt .
Ist sogar auf einem Maßraum definiert, so verlangt man manchmal noch zusätzlich, dass
endlich ist.
Dazu äquivalent ist, dass die Funktion eine Darstellung der Form
besitzt. Dabei ist und bezeichnet die charakteristische Funktion der messbaren Menge . Diese Darstellung nennt man kanonisch.
Abzählbarwertige Funktionen
Die Definition lässt sich auf eine unendliche Folge messbarer disjunkter Mengen und eine unendliche Folge von realen oder komplexen Werten verallgemeiner
welche man abzählbarwertige Funktion nennt.
Eigenschaften
Summen, Differenzen und Produkte (vorausgesetzt, ist eine Banachalgebra) von einfachen Funktionen sind wieder einfach, ebenso skalare Vielfache. Somit bildet die Menge der einfachen Funktionen einen Vektorraum (eine [kommutative] Algebra, wenn eine [kommutative] Algebra ist) über bzw. .
Verwendung
Einfache Funktionen spielen eine zentrale Rolle bei der Definition des Lebesgue-Integrals und des Bochner-Integrals. Dabei wird das Integral zunächst für positive (wenn ) einfache Funktionen durch
definiert und dann durch Approximation auf weitere Funktionen übertragen. Dabei ist einer der endlich vielen Werte der einfachen Funktion . ist die Menge der Werte, für die gleich ist.
Abgrenzung zu Treppenfunktionen
Häufig werden einfache Funktionen mit Treppenfunktionen verwechselt, die zur Definition des Riemann-Integrals verwendet werden. Beide Funktionen nehmen nur endlich viele Funktionswerte an. Eine Treppenfunktion besteht jedoch auch nur aus endlich vielen Intervallen, auf denen sie konstante Funktionswerte hat. Eine einfache Funktion dagegen kann zum Beispiel auf beliebig vielen Intervallen immer abwechselnd zwei Funktionswerte annehmen und ist damit keine Treppenfunktion mehr. Insbesondere ist die Indikatorfunktion der rationalen Zahlen (Dirichlet-Funktion) eine einfache Funktion, obwohl sie nicht Riemann-integrierbar ist.
Literatur
- Richard M. Dudley: Real Analysis and Probability (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Bd. 74). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2002, ISBN 0-521-80972-X, S. 114–7.
- David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin, Heidelberg u. a. 2005, ISBN 3-540-21676-6.
Einzelnachweise
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 39, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 77, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21016-7, S. 32, doi:10.1007/978-3-642-21017-4.
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3, S. 65.