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Bochner Integral Das benannt nach Salomon Bochner ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue Integrals auf Banachraum werti

Bochner-Integral

Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen.

Definition Bearbeiten

Es seien ein -endlicher, vollständiger Maßraum und ein Banachraum.

Das Bochner-Integral einer Funktion ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

mit Faktoren und messbaren Mengen , wobei deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von ist.

Eine Funktion heißt -messbar oder Bochner-messbar, wenn es eine Folge einfacher Funktionen gibt, so dass für -fast alle gilt.

Eine -messbare Funktion heißt Bochner-integrierbar, falls es eine Folge einfacher Funktionen gibt, so dass

  • für -fast alle gilt und
  • zu jedem ein existiert mit

In diesem Fall ist

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge mit obigen Eigenschaften. Falls und , so schreibt man

sofern Bochner-integrierbar ist.

Messbarkeitssatz von Pettis Bearbeiten

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die -Messbarkeit:

Die Funktion ist genau dann -messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

Ist ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die -Messbarkeit -wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die -Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Bochner-Integrierbarkeit Bearbeiten

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine -messbare Funktion ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn Lebesgue-integrierbar ist.

Eigenschaften Bearbeiten

In diesem Abschnitt ist ein Banachraum und sind integrierbare Funktionen.

Linearität Bearbeiten

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen und beliebige ist auch integrierbar, und es gilt:

Verkettung mit einem stetigen Operator Bearbeiten

Es sei ein Banachraum und ein stetiger linearer Operator. Dann ist eine integrierbare Funktion und es gilt

Radon–Nikodym-Eigenschaft Bearbeiten

Der Satz von Radon-Nikodým gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.

Bochner-Lebesgue-Räume Bearbeiten

Ist ein -endlicher, vollständiger Maßraum und ein Banachraum, so nennt man für den Raum der Bochner-integrierbaren Funktionen einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich -fast gleiche Funktionen identifiziert werden durch Äquivalenzklassen. Man erhält mit der Norm

einen Banachraum. Dieser lässt sich wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch

eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus

definiert, wobei das projektive Tensorprodukt bezeichne.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
  • Malempati M. Rao: Measure Theory and Integration (= Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes. Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Bemerkung X.2.1 (a).
  2. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 65.
  3. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 87.
  4. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Korollar X.2.7.
  5. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 94.
  6. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 92.
  7. Joseph Diestel, John Jerry Uhl: Vector Measures (= Mathematical Surveys. Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Corollary III.2.13.
  8. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.19
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Das Bochner Integral benannt nach Salomon Bochner ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue Integrals auf Banachraum wertige Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Messbarkeitssatz von Pettis 3 Bochner Integrierbarkeit 4 Eigenschaften 4 1 Linearitat 4 2 Verkettung mit einem stetigen Operator 4 3 Radon Nikodym Eigenschaft 5 Bochner Lebesgue Raume 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs seien W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp ein s displaystyle sigma nbsp endlicher vollstandiger Massraum und B displaystyle B cdot nbsp ein Banachraum Das Bochner Integral W f d m displaystyle int Omega f rm d mu nbsp einer Funktion f W B displaystyle f colon Omega to B nbsp ist nun folgendermassen definiert Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt s x i 1 m a i x X i x displaystyle s x sum i 1 m alpha i chi X i x nbsp mit Faktoren a i B displaystyle alpha i in B nbsp und messbaren Mengen X i A displaystyle X i in mathcal A nbsp wobei x X i displaystyle chi X i nbsp deren Indikatorfunktion bezeichnet Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert W s d m i 1 m a i m X i displaystyle int Omega s rm d mu sum i 1 m alpha i mu X i nbsp wobei dies wohldefiniert also unabhangig von der konkreten Zerlegung von s displaystyle s nbsp ist 1 Eine Funktion f W B displaystyle f colon Omega rightarrow B nbsp heisst m displaystyle mu nbsp messbar oder Bochner messbar wenn es eine Folge s n n N displaystyle s n n in mathbb N nbsp einfacher Funktionen gibt so dass lim n s n x f x displaystyle textstyle lim n to infty s n x f x nbsp fur m displaystyle mu nbsp fast alle x W displaystyle x in Omega nbsp gilt 2 Eine m displaystyle mu nbsp messbare Funktion f W B displaystyle f colon Omega rightarrow B nbsp heisst Bochner integrierbar 3 falls es eine Folge s n n N displaystyle s n n in mathbb N nbsp einfacher Funktionen gibt so dass lim n s n x f x displaystyle lim n to infty s n x f x nbsp fur m displaystyle mu nbsp fast alle x W displaystyle x in Omega nbsp gilt und zu jedem e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ein n 0 n 0 e N displaystyle n 0 n 0 varepsilon in mathbb N nbsp existiert mit W s n s k d m lt e displaystyle int Omega s n s k rm d mu lt varepsilon nbsp fur alle n k n 0 displaystyle n k geq n 0 nbsp dd In diesem Fall ist W f d m lim n W s n d m displaystyle int Omega f rm d mu lim n to infty int Omega s n rm d mu nbsp wohldefiniert das heisst unabhangig von der Wahl der konkreten Folge s n n N displaystyle s n n in mathbb N nbsp mit obigen Eigenschaften 4 Falls M A displaystyle M in mathcal A nbsp und f M B displaystyle f colon M rightarrow B nbsp so schreibt man M f d m W f d m displaystyle int M f rm d mu int Omega tilde f rm d mu nbsp mit f x f x f a l l s x M 0 f a l l s x W M displaystyle tilde f x left begin array ll f x amp rm falls x in M 0 amp rm falls x in Omega setminus M end array right nbsp sofern f displaystyle tilde f nbsp Bochner integrierbar ist 5 Messbarkeitssatz von Pettis BearbeitenDer folgende auf Billy James Pettis zuruckgehende Satz charakterisiert die m displaystyle mu nbsp Messbarkeit Die Funktion f W B displaystyle f colon Omega to B nbsp ist genau dann m displaystyle mu nbsp messbar wenn die folgenden beiden Bedingungen erfullt sind Fur jedes stetige lineare Funktional ϕ B displaystyle phi in B nbsp ist ϕ f W K displaystyle phi circ f colon Omega to mathbb K nbsp m displaystyle mu nbsp messbar Es gibt eine m displaystyle mu nbsp Nullmenge N W displaystyle N subset Omega nbsp so dass f W N B displaystyle f Omega setminus N subset B nbsp separabel bzgl der Normtopologie ist Ist B displaystyle B nbsp ein separabler Banachraum so ist die zweite Bedingung automatisch erfullt und damit entbehrlich Insgesamt ist die m displaystyle mu nbsp Messbarkeit B displaystyle B nbsp wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die m displaystyle mu nbsp Messbarkeit skalarer Funktionen zuruckgefuhrt Bochner Integrierbarkeit BearbeitenDie folgende von Bochner gefundene aquivalente Charakterisierung Bochner integrierbarer Funktionen erlaubt es einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z B den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner Integral zu ubertragen Eine m displaystyle mu nbsp messbare Funktion f W B displaystyle f colon Omega to B nbsp ist genau dann Bochner integrierbar wenn f W R displaystyle f Omega to mathbb R nbsp Lebesgue integrierbar ist Eigenschaften BearbeitenIn diesem Abschnitt ist B displaystyle B nbsp ein Banachraum und f g W B displaystyle f g colon Omega rightarrow B nbsp sind integrierbare Funktionen Linearitat Bearbeiten Das Bochner Integral ist linear das heisst fur Bochner integrierbare Funktionen f g W B displaystyle f g colon Omega rightarrow B nbsp und beliebige a b K displaystyle alpha beta in mathbb K nbsp ist auch a f b g displaystyle alpha f beta g nbsp integrierbar und es gilt W a f b g d m a W f d m b W g d m displaystyle int Omega alpha f beta g mathrm d mu alpha int Omega f mathrm d mu beta int Omega g mathrm d mu nbsp Verkettung mit einem stetigen Operator Bearbeiten Es sei D displaystyle D nbsp ein Banachraum und T L B D displaystyle T in L B D nbsp ein stetiger linearer Operator Dann ist T f W D displaystyle Tf colon Omega to D nbsp eine integrierbare Funktion und es gilt 6 T W f x d m x W T f x d m x displaystyle T left int Omega f x mathrm d mu x right int Omega T f x mathrm d mu x nbsp Radon Nikodym Eigenschaft Bearbeiten Hauptartikel Radon Nikodym Eigenschaft Der Satz von Radon Nikodym gilt fur das Bochner Integral im Allgemeinen nicht Banachraume fur die dieser Satz gilt bezeichnet man als Banachraume mit der Radon Nikodym Eigenschaft Reflexive Raume besitzen stets die Radon Nikodym Eigenschaft 7 Bochner Lebesgue Raume BearbeitenIst W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp ein s displaystyle sigma nbsp endlicher vollstandiger Massraum und B displaystyle B cdot nbsp ein Banachraum so nennt man fur 1 p displaystyle 1 leq p leq infty nbsp den Raum L p W A m B displaystyle L p Omega mathcal A mu B nbsp der Bochner integrierbaren Funktionen W B displaystyle Omega rightarrow B nbsp einen Bochner Lebesgue Raum wobei wie ublich m displaystyle mu nbsp fast gleiche Funktionen identifiziert werden durch Aquivalenzklassen Man erhalt mit der Norm f p W f w p d m w 1 p 1 p lt displaystyle f p left int Omega f omega p mathrm d mu omega right 1 p quad 1 leq p lt infty nbsp f e s s sup f w p displaystyle f infty mathrm ess sup f omega quad quad p infty nbsp einen Banachraum Dieser lasst sich wie folgt als Tensorprodukt beschreiben Man rechnet nach dass durch L p W A m B L p W A m B f a f a displaystyle L p Omega mathcal A mu times B rightarrow L p Omega mathcal A mu B f alpha mapsto f cdot alpha nbsp eine bilineare Abbildung gegeben ist die einen isometrischen Isomorphismus L p W A m p B L p W A m B displaystyle L p Omega mathcal A mu mathbin hat otimes pi B cong L p Omega mathcal A mu B nbsp definiert wobei p displaystyle hat otimes pi nbsp das projektive Tensorprodukt bezeichne 8 Siehe auch BearbeitenBirkhoff Integral Pettis IntegralLiteratur BearbeitenHerbert Amann Joachim Escher Analysis Band 3 Birkhauser Basel u a 2001 ISBN 3 7643 6613 3 Malempati M Rao Measure Theory and Integration Pure and Applied Mathematics A Program of Monographs Textbooks and Lecture Notes Bd 265 2nd edition revised and expanded Dekker New York NY u a 2004 ISBN 0 8247 5401 8 S 505 ff Weblinks BearbeitenSalomon Bochner Integration von Funktionen deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind PDF 799 kB In Fundamenta Mathematicae Bd 20 1933 S 262 276 V I Sobolev Bochner integral In Encyclopaedia of Mathematics englisch Integrale vektorwertiger Funktionen In Matroids Matheplanet Einzelnachweise Bearbeiten Herbert Amann Joachim Escher Analysis Band 3 2001 Bemerkung X 2 1 a Herbert Amann Joachim Escher Analysis Band 3 2001 S 65 Herbert Amann Joachim Escher Analysis Band 3 2001 S 87 Herbert Amann Joachim Escher Analysis Band 3 2001 Korollar X 2 7 Herbert Amann Joachim Escher Analysis Band 3 2001 S 94 Herbert Amann Joachim Escher Analysis Band 3 2001 S 92 Joseph Diestel John Jerry Uhl Vector Measures Mathematical Surveys Bd 15 American Mathematical Society Providence RI 1977 ISBN 0 8218 1515 6 Corollary III 2 13 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Beispiel 2 19 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bochner Integral amp oldid 232728221