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Projektives Tensorprodukt Das projektive Tensorprodukt ist eine Erweiterung der in der Mathematik betrachteten Tensorpro

Projektives Tensorprodukt

Das projektive Tensorprodukt ist eine Erweiterung der in der Mathematik betrachteten Tensorprodukte von Vektorräumen auf den Fall, dass zusätzlich Topologien auf den Vektorräumen vorhanden sind. In dieser Situation liegt es nahe, auch auf dem Tensorprodukt der Räume eine Topologie erklären zu wollen. Unter den vielen Möglichkeiten dies zu tun sind das injektive Tensorprodukt und das hier zu behandelnde projektive Tensorprodukt natürliche Wahlen.

Die Untersuchung des projektiven Tensorproduktes lokalkonvexer Räume geht auf Alexander Grothendieck zurück. Einige Resultate über Banachräume wurden zuvor von Robert Schatten erzielt.

Zunächst wird der leichter zugängliche Fall der normierten Räume und Banachräume besprochen, anschließend wird auf die Verallgemeinerungen in der Theorie der lokalkonvexen Räume eingegangen.

Normierte Räume Bearbeiten

Das Tensorprodukt zweier normierter Räume lässt sich wie folgt ebenfalls zu einem normierten Raum machen.

Definition Bearbeiten

Seien und normierte Räume. Die Elemente des Tensorproduktes können in der Form geschrieben werden, wobei diese Summendarstellung nicht eindeutig ist. Definiert man

so erhält man eine Norm auf dem Tensorprodukt . Diese Norm heißt das projektive Tensorprodukt der Normen und . Versieht man mit dieser Norm, so nennt man das projektive Tensorprodukt oder auch das -Tensorprodukt der normierten Räume und und schreibt dafür .

Eigenschaften Bearbeiten

Sind in der Situation obiger Definition , so gilt .

Ist eine stetige, bilineare Abbildung zwischen normierten Räumen, so induziert diese eine eindeutig bestimmte stetige, lineare Abbildung , wobei für alle . Für die Operatornorm gilt .

Daher ist das Tensorprodukt in der Kategorie der normierten Räume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen im Sinne der Universaldefinition des Tensorproduktes.

Banachräume Bearbeiten

Das projektive Tensorprodukt zweier Banachräume und ist in der Regel nicht vollständig, so dass die Bildung des Tensorproduktes aus der Kategorie der Banachräume herausführt. Um in der Kategorie der Banachräume zu bleiben, muss man vervollständigen.

Definition Bearbeiten

Man definiert als die Vervollständigung des normierten Raums und nennt das projektive Tensorprodukt in der Kategorie der Banachräume. Diese Definition wird besonders durch die nachfolgende universelle Eigenschaft motiviert.

Universelle Eigenschaft Bearbeiten

Ist eine stetige, bilineare Abbildung zwischen Banachräumen, so gibt es genau eine stetige, lineare Abbildung mit für alle . Für die Operatornorm gilt wie im Falle der normierten Räume .

Also ist das Tensorprodukt in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen im Sinne der Universaldefinition des Tensorproduktes.

Darstellung der Elemente Bearbeiten

Jedes Element hat eine Darstellung mit , wobei diese Darstellung als absolut konvergente Reihe nicht eindeutig ist. Es gilt die Formel

Dualräume Bearbeiten

Der Dualraum eines projektiven Tensorproduktes kann mit dem Raum der stetigen, linearen Operatoren von in den Dualraum von identifiziert werden. Ist ein solcher Operator, so ist

ein -stetiges lineares Funktional, dessen Norm mit der Operatornorm übereinstimmt, es lässt sich also normgleich zu einem stetigen linearen Funktional nach fortsetzen. Dann kann man zeigen, dass

ein isometrischer Isomorphismus ist. In diesem Sinne ist die Identifikation zu verstehen.

Das Tensorprodukt mit L1-Räumen Bearbeiten

Es seien ein Maßraum und ein Banachraum. Sei der Banachraum aller Äquivalenzklassen messbarer Funktionen mit , wobei zwei messbare Funktionen äquivalent sind, wenn sie -fast überall übereinstimmen, das heißt, wenn sie höchstens innerhalb einer -Nullmenge verschiedene Werte annehmen. Nach der universellen Eigenschaft induziert die bilineare Abbildung , eine stetige lineare Abbildung . Es gilt nun der Satz, dass diese Abbildung ein isometrischer Isomorphismus ist. Das schreibt sich kurz und prägnant als

Banachalgebren Bearbeiten

Seien und Banachalgebren. Dann setzt sich die Definition zu einer Multiplikation auf fort, die zu einer Banachalgebra macht, das heißt, die Norm ist submultiplikativ.

Negative Aussagen Bearbeiten

  • Eine zu analoge Aussage für Räume stetiger Funktionen gilt nicht, dazu muss man das injektive Tensorprodukt heranziehen.
  • Im Allgemeinen ist das projektive Tensorprodukt reflexiver Räume nicht wieder reflexiv. Ist der Folgenraum der quadrat-summierbaren Folgen mit den Einheitsvektoren , so ist der von den Elementen erzeugte abgeschlossene Unterraum von isometrisch isomorph zum Folgenraum der absolut-summierbaren Folgen. Da letzterer nicht reflexiv ist, kann auch nicht reflexiv sein, obwohl der Hilbertraum es ist.
  • Sieht man von trivialen Ausnahmen ab, so sind projektive Tensorprodukte von Hilberträumen (C*-Algebren) keine Hilberträume (C*-Algebren), wie durch das Beispiel des vorangegangenen Punktes belegt wird. Es gibt aber ein spezielles Hilbertraum-Tensorprodukt, das auch Ausgangspunkt für Tensorprodukte von C*-Algebren ist.

Lokalkonvexe Räume Bearbeiten

Die Konstruktion des projektiven Tensorproduktes kann auf den Fall der lokalkonvexen Räume verallgemeinert werden.

Definition Bearbeiten

Seien und abgeschlossene, absolutkonvexe Nullumgebungen in den lokalkonvexen Vektorräumen und . sei das Minkowski-Funktional der absolutkonvexen Hülle von . Das projektive Tensorprodukt oder -Tensorprodukt ist der Tensorproduktraum mit dem System der Halbnormen , wobei und die abgeschlossenen, absolutkonvexen Nullumgebungen durchlaufen.

Bezeichnen bzw. die Minkowski-Funktionale von bzw. , so gilt die Formel

Daher verallgemeinert diese Definition das projektive Tensorprodukt normierter Räume.

Man kann zeigen, dass die so erklärte Topologie die feinste lokalkonvexe Topologie auf dem Tensorprodukt ist, die die natürliche bilineare Abbildung stetig macht.

Die Vervollständigung von wird wie im Falle normierter Räume mit bezeichnet.

Stabilitätseigenschaften Bearbeiten

Viele Klassen lokalkonvexer Räume sind stabil gegenüber der Bildung des projektiven Tensorproduktes. Gehören und beide zu einer der Klassen

so gehören auch und zu dieser Klasse.

Das projektive Tensorprodukt tonnelierter Räume ist im Allgemeinen nicht wieder tonneliert. Sind aber und metrisierbar und tonneliert, so ist auch metrisierbar und tonneliert.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • A. Grothendieck: Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. In: Mem. Amer. Math. Soc., Band 16, 1955.
  • H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981, ISBN 3-519-02224-9.
  • Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1.
  • R. Schatten: A theory of cross spaces. In: Annals of Mathematical Studies, 26, Princeton NJ 1950.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag, 2002, ISBN 1-85233-437-1, Kapitel 2.3: The Dual Space of
  2. A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers, 1989, ISBN 0-7923-0217-6, Kapitel II, Satz 2.19
  3. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag, 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.10
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Das projektive Tensorprodukt ist eine Erweiterung der in der Mathematik betrachteten Tensorprodukte von Vektorraumen auf den Fall dass zusatzlich Topologien auf den Vektorraumen vorhanden sind In dieser Situation liegt es nahe auch auf dem Tensorprodukt der Raume eine Topologie erklaren zu wollen Unter den vielen Moglichkeiten dies zu tun sind das injektive Tensorprodukt und das hier zu behandelnde projektive Tensorprodukt naturliche Wahlen Die Untersuchung des projektiven Tensorproduktes lokalkonvexer Raume geht auf Alexander Grothendieck zuruck Einige Resultate uber Banachraume wurden zuvor von Robert Schatten erzielt Zunachst wird der leichter zugangliche Fall der normierten Raume und Banachraume besprochen anschliessend wird auf die Verallgemeinerungen in der Theorie der lokalkonvexen Raume eingegangen Inhaltsverzeichnis 1 Normierte Raume 1 1 Definition 1 2 Eigenschaften 2 Banachraume 2 1 Definition 2 2 Universelle Eigenschaft 2 3 Darstellung der Elemente 2 4 Dualraume 2 5 Das Tensorprodukt mit L1 Raumen 2 6 Banachalgebren 2 7 Negative Aussagen 3 Lokalkonvexe Raume 3 1 Definition 3 2 Stabilitatseigenschaften 4 Siehe auch 5 Literatur 6 EinzelnachweiseNormierte Raume BearbeitenDas Tensorprodukt zweier normierter Raume lasst sich wie folgt ebenfalls zu einem normierten Raum machen Definition Bearbeiten Seien E 1 displaystyle E cdot 1 nbsp und F 2 displaystyle F cdot 2 nbsp normierte Raume Die Elemente des Tensorproduktes z E F displaystyle z in E otimes F nbsp konnen in der Form z i 1 n x i y i displaystyle z sum i 1 n x i otimes y i nbsp geschrieben werden wobei diese Summendarstellung nicht eindeutig ist Definiert man z p inf i 1 n x i 1 y i 2 n N x i E y i F z i 1 n x i y i displaystyle z pi inf left sum i 1 n x i 1 cdot y i 2 n in mathbb N x i in E y i in F z sum i 1 n x i otimes y i right nbsp so erhalt man eine Norm auf dem Tensorprodukt E F displaystyle E otimes F nbsp Diese Norm heisst das projektive Tensorprodukt der Normen 1 displaystyle cdot 1 nbsp und 2 displaystyle cdot 2 nbsp Versieht man E F displaystyle E otimes F nbsp mit dieser Norm so nennt man E F displaystyle E otimes F nbsp das projektive Tensorprodukt oder auch das p displaystyle pi nbsp Tensorprodukt der normierten Raume E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp und schreibt dafur E p F displaystyle E otimes pi F nbsp Eigenschaften Bearbeiten Sind in der Situation obiger Definition x E y F displaystyle x in E y in F nbsp so gilt x y p x 1 y 2 displaystyle x otimes y pi x 1 cdot y 2 nbsp Ist B E F G displaystyle B E times F rightarrow G nbsp eine stetige bilineare Abbildung zwischen normierten Raumen so induziert diese eine eindeutig bestimmte stetige lineare Abbildung B 0 E F G displaystyle B 0 E otimes F rightarrow G nbsp wobei B x y B 0 x y displaystyle B x y B 0 x otimes y nbsp fur alle x E y F displaystyle x in E y in F nbsp Fur die Operatornorm gilt B 0 sup B x y x E x 1 1 y F y 2 1 displaystyle B 0 sup B x y x in E x 1 leq 1 y in F y 2 leq 1 nbsp Daher ist p displaystyle otimes pi nbsp das Tensorprodukt in der Kategorie der normierten Raume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen im Sinne der Universaldefinition des Tensorproduktes Banachraume BearbeitenDas projektive Tensorprodukt zweier Banachraume E 1 displaystyle E cdot 1 nbsp und F 2 displaystyle F cdot 2 nbsp ist in der Regel nicht vollstandig so dass die Bildung des Tensorproduktes aus der Kategorie der Banachraume herausfuhrt Um in der Kategorie der Banachraume zu bleiben muss man vervollstandigen Definition Bearbeiten Man definiert E p F displaystyle E hat otimes pi F nbsp als die Vervollstandigung des normierten Raums E p F displaystyle E otimes pi F nbsp und nennt E p F displaystyle E hat otimes pi F nbsp das projektive Tensorprodukt in der Kategorie der Banachraume Diese Definition wird besonders durch die nachfolgende universelle Eigenschaft motiviert Universelle Eigenschaft Bearbeiten Ist B E F G displaystyle B E times F rightarrow G nbsp eine stetige bilineare Abbildung zwischen Banachraumen so gibt es genau eine stetige lineare Abbildung B 0 E p F G displaystyle B 0 E hat otimes pi F rightarrow G nbsp mit B x y B 0 x y displaystyle B x y B 0 x otimes y nbsp fur alle x E y F displaystyle x in E y in F nbsp Fur die Operatornorm gilt wie im Falle der normierten Raume B 0 sup B x y x E x 1 1 y F y 2 1 displaystyle B 0 sup B x y x in E x 1 leq 1 y in F y 2 leq 1 nbsp Also ist p displaystyle hat otimes pi nbsp das Tensorprodukt in der Kategorie der Banachraume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen im Sinne der Universaldefinition des Tensorproduktes Darstellung der Elemente Bearbeiten Jedes Element z E p F displaystyle z in E hat otimes pi F nbsp hat eine Darstellung z i 1 x i y i displaystyle z sum i 1 infty x i otimes y i nbsp mit i 1 x i 1 y i 2 lt displaystyle sum i 1 infty x i 1 cdot y i 2 lt infty nbsp wobei diese Darstellung als absolut konvergente Reihe nicht eindeutig ist Es gilt die Formel z p inf i 1 x i 1 y i 2 x i E y i F z i 1 x i y i i 1 x i 1 y i 2 lt displaystyle z pi inf left sum i 1 infty x i 1 cdot y i 2 x i in E y i in F z sum i 1 infty x i otimes y i sum i 1 infty x i 1 cdot y i 2 lt infty right nbsp Dualraume Bearbeiten Der Dualraum eines projektiven Tensorproduktes E p F displaystyle E hat otimes pi F nbsp kann mit dem Raum L E F displaystyle L E F nbsp der stetigen linearen Operatoren von E displaystyle E nbsp in den Dualraum von F displaystyle F nbsp identifiziert werden Ist S E F displaystyle S E rightarrow F nbsp ein solcher Operator so ist ps S E F R i 1 n x i y i i 1 n S x i y i displaystyle psi S E otimes F rightarrow mathbb R sum i 1 n x i otimes y i mapsto sum i 1 n S x i y i nbsp ein p displaystyle cdot pi nbsp stetiges lineares Funktional dessen Norm mit der Operatornorm ubereinstimmt es lasst sich also normgleich zu einem stetigen linearen Funktional ps S displaystyle overline psi S nbsp nach E p F displaystyle E hat otimes pi F nbsp fortsetzen Dann kann man zeigen dass ps displaystyle psi nbsp ps L E F E p F S ps S displaystyle psi L E F rightarrow E hat otimes pi F S mapsto overline psi S nbsp ein isometrischer Isomorphismus ist In diesem Sinne ist die Identifikation L E F E p F displaystyle L E F cong E hat otimes pi F nbsp zu verstehen 1 Das Tensorprodukt mit L1 Raumen Bearbeiten Es seien X S m displaystyle X Sigma mu nbsp ein Massraum und E displaystyle E cdot nbsp ein Banachraum Sei L 1 X S m E displaystyle L 1 X Sigma mu E nbsp der Banachraum aller Aquivalenzklassen messbarer Funktionen f X E displaystyle f X rightarrow E nbsp mit f 1 X f d m t lt displaystyle f 1 int X f rm d mu t lt infty nbsp wobei zwei messbare Funktionen aquivalent sind wenn sie m displaystyle mu nbsp fast uberall ubereinstimmen das heisst wenn sie hochstens innerhalb einer m displaystyle mu nbsp Nullmenge verschiedene Werte annehmen Nach der universellen Eigenschaft induziert die bilineare Abbildung L 1 X S m E L 1 X S m E f x f x displaystyle L 1 X Sigma mu times E rightarrow L 1 X Sigma mu E f x mapsto f cdot x nbsp eine stetige lineare Abbildung L 1 X S m p E L 1 X S m E displaystyle L 1 X Sigma mu hat otimes pi E rightarrow L 1 X Sigma mu E nbsp Es gilt nun der Satz dass diese Abbildung ein isometrischer Isomorphismus ist Das schreibt sich kurz und pragnant als L 1 X S m p E L 1 X S m E displaystyle L 1 X Sigma mu hat otimes pi E cong L 1 X Sigma mu E nbsp Banachalgebren Bearbeiten Seien E 1 displaystyle E cdot 1 nbsp und F 2 displaystyle F cdot 2 nbsp Banachalgebren Dann setzt sich die Definition x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 displaystyle x 1 otimes y 1 cdot x 2 otimes y 2 x 1 x 2 otimes y 1 y 2 nbsp zu einer Multiplikation auf E p F displaystyle E hat otimes pi F nbsp fort die E p F displaystyle E hat otimes pi F nbsp zu einer Banachalgebra macht das heisst die Norm p displaystyle cdot pi nbsp ist submultiplikativ 2 Negative Aussagen Bearbeiten Eine zu L 1 X S m p E L 1 X S m E displaystyle L 1 X Sigma mu hat otimes pi E cong L 1 X Sigma mu E nbsp analoge Aussage fur Raume stetiger Funktionen gilt nicht dazu muss man das injektive Tensorprodukt heranziehen Im Allgemeinen ist das projektive Tensorprodukt reflexiver Raume nicht wieder reflexiv Ist ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp der Folgenraum der quadrat summierbaren Folgen mit den Einheitsvektoren e n displaystyle e n nbsp so ist der von den Elementen e n e n displaystyle e n otimes e n nbsp erzeugte abgeschlossene Unterraum von ℓ 2 p ℓ 2 displaystyle ell 2 hat otimes pi ell 2 nbsp isometrisch isomorph zum Folgenraum ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp der absolut summierbaren Folgen Da letzterer nicht reflexiv ist kann auch ℓ 2 p ℓ 2 displaystyle ell 2 hat otimes pi ell 2 nbsp nicht reflexiv sein obwohl der Hilbertraum ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp es ist 3 Sieht man von trivialen Ausnahmen ab so sind projektive Tensorprodukte von Hilbertraumen C Algebren keine Hilbertraume C Algebren wie durch das Beispiel des vorangegangenen Punktes belegt wird Es gibt aber ein spezielles Hilbertraum Tensorprodukt das auch Ausgangspunkt fur Tensorprodukte von C Algebren ist Lokalkonvexe Raume BearbeitenDie Konstruktion des projektiven Tensorproduktes kann auf den Fall der lokalkonvexen Raume verallgemeinert werden Definition Bearbeiten Seien U E displaystyle U subset E nbsp und V F displaystyle V subset F nbsp abgeschlossene absolutkonvexe Nullumgebungen in den lokalkonvexen Vektorraumen E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp p U V displaystyle pi U V nbsp sei das Minkowski Funktional der absolutkonvexen Hulle von U V x y x U y V E F displaystyle U otimes V x otimes y x in U y in V subset E otimes F nbsp Das projektive Tensorprodukt oder p displaystyle pi nbsp Tensorprodukt E p F displaystyle E otimes pi F nbsp ist der Tensorproduktraum mit dem System der Halbnormen p U V displaystyle pi U V nbsp wobei U E displaystyle U subset E nbsp und V F displaystyle V subset F nbsp die abgeschlossenen absolutkonvexen Nullumgebungen durchlaufen Bezeichnen p U displaystyle p U nbsp bzw p V displaystyle p V nbsp die Minkowski Funktionale von U displaystyle U nbsp bzw V displaystyle V nbsp so gilt die Formel p U V z inf i 1 n p U x i p V y i n N x i E y i F z i 1 n x i y i displaystyle pi U V z inf left sum i 1 n p U x i cdot p V y i n in mathbb N x i in E y i in F z sum i 1 n x i otimes y i right nbsp Daher verallgemeinert diese Definition das projektive Tensorprodukt normierter Raume Man kann zeigen dass die so erklarte Topologie die feinste lokalkonvexe Topologie auf dem Tensorprodukt ist die die naturliche bilineare Abbildung E F E F displaystyle E times F rightarrow E otimes F nbsp stetig macht Die Vervollstandigung von E p F displaystyle E otimes pi F nbsp wird wie im Falle normierter Raume mit E p F displaystyle E hat otimes pi F nbsp bezeichnet Stabilitatseigenschaften Bearbeiten Viele Klassen lokalkonvexer Raume sind stabil gegenuber der Bildung des projektiven Tensorproduktes Gehoren E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp beide zu einer der Klassen normierte Raume metrisierbare lokalkonvexe Raume nukleare Raume Schwartz Raume quasinormierbare Raume DF Raume gDF Raume so gehoren auch E p F displaystyle E otimes pi F nbsp und E p F displaystyle E hat otimes pi F nbsp zu dieser Klasse Das projektive Tensorprodukt tonnelierter Raume ist im Allgemeinen nicht wieder tonneliert Sind aber E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp metrisierbar und tonneliert so ist auch E p F displaystyle E otimes pi F nbsp metrisierbar und tonneliert Siehe auch BearbeitenVektorielles Mass Tensorprodukte von Raumen von MassenLiteratur BearbeitenA Grothendieck Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires In Mem Amer Math Soc Band 16 1955 H Jarchow Locally Convex Spaces Teubner Stuttgart 1981 ISBN 3 519 02224 9 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 R Schatten A theory of cross spaces In Annals of Mathematical Studies 26 Princeton NJ 1950 Einzelnachweise Bearbeiten Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Kapitel 2 3 The Dual Space of X p Y displaystyle X hat otimes pi Y nbsp A Y Helemskii The Homology of Banach and Topological Algebras Kluwer Academic Publishers 1989 ISBN 0 7923 0217 6 Kapitel II Satz 2 19 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Beispiel 2 10 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Projektives Tensorprodukt amp oldid 216674455