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Injektives Tensorprodukt Das injektive Tensorprodukt ist eine Erweiterung der in der Mathematik betrachteten Tensorprodu

Injektives Tensorprodukt

Das injektive Tensorprodukt ist eine Erweiterung der in der Mathematik betrachteten Tensorprodukte von Vektorräumen auf den Fall, dass zusätzlich Topologien auf den Vektorräumen vorhanden sind. In dieser Situation liegt es nahe, auch auf dem Tensorprodukt der Räume eine Topologie erklären zu wollen. Unter den vielen Möglichkeiten, dies zu tun, sind das projektive Tensorprodukt und das hier zu behandelnde injektive Tensorprodukt natürliche Wahlen.

Zunächst wird der leichter zugängliche Fall der normierten Räume und Banachräume besprochen, anschließend wird auf die Verallgemeinerungen in der Theorie der lokalkonvexen Räume eingegangen.

Die Konstruktion für normierte Räume und Banachräume geht auf Robert Schatten zurück, die Verallgemeinerungen auf lokalkonvexe Räume wurden von Alexander Grothendieck erzielt.

Normierte Räume Bearbeiten

Das Tensorprodukt zweier normierter Räume lässt sich wie folgt ebenfalls zu einem normierten Raum machen.

Konstruktion Bearbeiten

Seien und normierte Räume. Je zwei stetige, lineare Funktionale und definieren eine bilineare Abbildung . Nach der Universaldefinition des Tensorproduktes induziert diese eine lineare Abbildung , die üblicherweise mit bezeichnet wird. Man setzt nun für

,

wobei die Normen auf den Dualräumen wie in den Ausgangsräumen bezeichnet seien. Durch diese Definition erhält man eine Norm auf dem Tensorprodukt, das sogenannte injektive Tensorprodukt der Normen und . Versieht man mit dieser Norm, so nennt man das injektive Tensorprodukt oder auch das -Tensorprodukt der normierten Räume und und schreibt dafür . Das injektive Tensorprodukt wird auch schwaches Tensorprodukt genannt.

Eigenschaften Bearbeiten

Sind in der Situation obiger Definition , so gilt .

Es gilt stets , wobei das projektive Tensorprodukt bezeichne.

Jedes definiert einen stetigen linearen Operator , indem man setzt. Es ist leicht zu zeigen, dass die -Norm von mit der Operatornorm von übereinstimmt. Dies hätte man als eine alternative Definition für die -Norm verwenden können, wobei aber die Symmetrie, mit der und in die Definition eingehen, dann nicht so offensichtlich gewesen wäre wie bei der oben gegebenen Definition.

Banachräume Bearbeiten

Das injektive Tensorprodukt zweier Banachräume und ist in der Regel nicht vollständig, so dass die Bildung des Tensorproduktes aus der Kategorie der Banachräume herausführt. Um in der Kategorie der Banachräume zu bleiben, muss man vervollständigen.

Man definiert daher als die Vervollständigung des normierten Raums und nennt das injektive Tensorprodukt in der Kategorie der Banachräume.

Hilberträume Bearbeiten

Ist ein Hilbertraum, so ist nach obigem eine isometrische Einbettung in den Raum der stetigen linearen Operatoren auf . Man kann zeigen, dass bei dieser Identifikation das Tensorprodukt genau mit den kompakten Operatoren zusammenfällt, das heißt, es gilt . Insbesondere zeigt dieses Beispiel, dass das injektive Tensorprodukt von Hilberträumen im Allgemeinen kein Hilbertraum ist.

Das Tensorprodukt mit Räumen stetiger Funktionen Bearbeiten

Ist ein kompakter Raum, so bezeichne den Banachraum der stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm. sei ein weiterer Banachraum und sei der Banachraum der -wertigen stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm. Dann ist durch eine isometrische Einbettung mit dichtem Bild gegeben, das heißt, diese Einbettung setzt sich zu einem isometrischen Isomorphismus zwischen und fort. Das schreibt sich kurz und prägnant als

Insbesondere erhält man für zwei kompakte Räume und die erwarteten Isometrien

Tensorprodukt mit ℓ1 Bearbeiten

Es seien der Folgenraum der absolut konvergenten, reellen Reihen und ein Banachraum. Das projektive Tensorprodukt kann bekanntlich mit dem Raum der absolut konvergenten Reihen in identifiziert werden. Für das injektive Tensorprodukt gelingt eine ähnliche Charakterisierung, wenn man die absolute Konvergenz durch unbedingte Konvergenz ersetzt.

Es sei der Raum der unbedingt konvergenten Reihen in . Ist eine solche Reihe, so ist für jedes absolut konvergent. Es gilt sogar, dass

endlich ist und eine Norm auf definiert, die zu einem Banachraum macht. Dann kann man zeigen, dass die bilineare Abbildung

eine isometrische Abbildung

induziert, die sich zu einem isometrischen Isomorphismus

fortsetzt.

Lokalkonvexe Räume Bearbeiten

Die Konstruktion des injektiven Tensorproduktes kann wie folgt auf den Fall der lokalkonvexen Räume verallgemeinert werden.

Definition Bearbeiten

Es seien und zwei lokalkonvexe Räume, und es seien und absolutkonvexe Nullumgebungen. Weiter bezeichne die Polare von und analog die Polare von . Man erhält eine Halbnorm auf durch die Definition .

Das injektive Tensorprodukt oder -Tensorprodukt ist der mit dem System der Halbnormen ausgestattete Tensorproduktraum, wobei und die absolutkonvexen Nullumgebungen von bzw. durchlaufen. Das verallgemeinert die Definition des injektiven Tensorproduktes normierter Räume.

Die Vervollständigung von wird wie im Falle normierter Räume mit bezeichnet.

Stabilitätseigenschaften Bearbeiten

Einige Klassen lokalkonvexer Räume sind stabil gegenüber der Bildung des injektiven Tensorproduktes. Gehören und beide zu einer der Klassen

so gehört auch dieser Klasse an.

Das Tensorprodukt mit Räumen stetiger Funktionen Bearbeiten

Es sei ein vollständig regulärer Raum, und bezeichne den Raum der stetigen Funktionen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen. Ist ein weiterer lokalkonvexer Raum, so sei der Raum der -wertigen stetigen Funktionen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen. Dann besteht die natürliche Isomorphie

,

wenn vollständig und ein Kelley-Raum ist. Dabei heißt ein Kelley-Raum, wenn eine Funktion bereits dann stetig ist, wenn ihre Einschränkungen auf kompakten Teilmengen stetig sind. Das ist beispielsweise bei lokalkompakten Räumen der Fall.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R. Schatten: A theory of cross spaces. Annals of Mathematical Studies 26, Princeton, N.J. (1950)
  2. A. Grothendieck: Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. Mem. Amer. Math. Soc. 16 (1955)
  3. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Kapitel 3: The Injective Tensor Product
  4. A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers (1989), ISBN 0-7923-0217-6, Kapitel II, Definition 2.55
  5. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Kapitel 3.2
  6. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 3.4
  7. H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart (1981), ISBN 3-519-02224-9
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Das injektive Tensorprodukt ist eine Erweiterung der in der Mathematik betrachteten Tensorprodukte von Vektorraumen auf den Fall dass zusatzlich Topologien auf den Vektorraumen vorhanden sind In dieser Situation liegt es nahe auch auf dem Tensorprodukt der Raume eine Topologie erklaren zu wollen Unter den vielen Moglichkeiten dies zu tun sind das projektive Tensorprodukt und das hier zu behandelnde injektive Tensorprodukt naturliche Wahlen Zunachst wird der leichter zugangliche Fall der normierten Raume und Banachraume besprochen anschliessend wird auf die Verallgemeinerungen in der Theorie der lokalkonvexen Raume eingegangen Die Konstruktion fur normierte Raume und Banachraume geht auf Robert Schatten 1 zuruck die Verallgemeinerungen auf lokalkonvexe Raume wurden von Alexander Grothendieck 2 erzielt Inhaltsverzeichnis 1 Normierte Raume 1 1 Konstruktion 1 2 Eigenschaften 2 Banachraume 2 1 Hilbertraume 2 2 Das Tensorprodukt mit Raumen stetiger Funktionen 2 3 Tensorprodukt mit ℓ1 3 Lokalkonvexe Raume 3 1 Definition 3 2 Stabilitatseigenschaften 3 3 Das Tensorprodukt mit Raumen stetiger Funktionen 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseNormierte Raume BearbeitenDas Tensorprodukt zweier normierter Raume lasst sich wie folgt ebenfalls zu einem normierten Raum machen Konstruktion Bearbeiten Seien E 1 displaystyle E cdot 1 nbsp und F 2 displaystyle F cdot 2 nbsp normierte Raume Je zwei stetige lineare Funktionale f E displaystyle f in E nbsp und g F displaystyle g in F nbsp definieren eine bilineare Abbildung E F K x y f x g y displaystyle E times F rightarrow mathbb K x y mapsto f x g y nbsp Nach der Universaldefinition des Tensorproduktes induziert diese eine lineare Abbildung E F K i 1 n x i y i i 1 n f x i g y i displaystyle E otimes F rightarrow mathbb K sum i 1 n x i otimes y i mapsto sum i 1 n f x i g y i nbsp die ublicherweise mit f g displaystyle f otimes g nbsp bezeichnet wird Man setzt nun fur z E F displaystyle z in E otimes F nbsp z ϵ sup f g z f E g F f 1 1 g 2 1 displaystyle z epsilon sup f otimes g z f in E g in F f 1 leq 1 g 2 leq 1 nbsp wobei die Normen auf den Dualraumen wie in den Ausgangsraumen bezeichnet seien Durch diese Definition erhalt man eine Norm auf dem Tensorprodukt das sogenannte injektive Tensorprodukt der Normen 1 displaystyle cdot 1 nbsp und 2 displaystyle cdot 2 nbsp Versieht man E F displaystyle E otimes F nbsp mit dieser Norm so nennt man E F displaystyle E otimes F nbsp das injektive Tensorprodukt oder auch das ϵ displaystyle epsilon nbsp Tensorprodukt der normierten Raume E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp und schreibt dafur E ϵ F displaystyle E otimes epsilon F nbsp 3 Das injektive Tensorprodukt wird auch schwaches Tensorprodukt genannt 4 Eigenschaften Bearbeiten Sind in der Situation obiger Definition x E y F displaystyle x in E y in F nbsp so gilt x y ϵ x 1 y 2 displaystyle x otimes y epsilon x 1 cdot y 2 nbsp Es gilt stets z ϵ z p displaystyle z epsilon leq z pi nbsp wobei p displaystyle cdot pi nbsp das projektive Tensorprodukt bezeichne Jedes z i 1 n x i y i displaystyle z sum i 1 n x i otimes y i nbsp definiert einen stetigen linearen Operator T z E F displaystyle T z E rightarrow F nbsp indem man T z f i 1 n f x i y i displaystyle T z f sum i 1 n f x i y i nbsp setzt Es ist leicht zu zeigen dass die ϵ displaystyle epsilon nbsp Norm von z displaystyle z nbsp mit der Operatornorm von T z displaystyle T z nbsp ubereinstimmt Dies hatte man als eine alternative Definition fur die ϵ displaystyle epsilon nbsp Norm verwenden konnen wobei aber die Symmetrie mit der E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp in die Definition eingehen dann nicht so offensichtlich gewesen ware wie bei der oben gegebenen Definition Banachraume BearbeitenDas injektive Tensorprodukt zweier Banachraume E 1 displaystyle E cdot 1 nbsp und F 2 displaystyle F cdot 2 nbsp ist in der Regel nicht vollstandig so dass die Bildung des Tensorproduktes aus der Kategorie der Banachraume herausfuhrt Um in der Kategorie der Banachraume zu bleiben muss man vervollstandigen Man definiert daher E ϵ F displaystyle E hat otimes epsilon F nbsp als die Vervollstandigung des normierten Raums E ϵ F displaystyle E otimes epsilon F nbsp und nennt E ϵ F displaystyle E hat otimes epsilon F nbsp das injektive Tensorprodukt in der Kategorie der Banachraume Hilbertraume Bearbeiten Ist H displaystyle H nbsp ein Hilbertraum so ist nach obigem H H L H displaystyle H otimes H subset L H nbsp eine isometrische Einbettung in den Raum der stetigen linearen Operatoren auf H displaystyle H nbsp Man kann zeigen dass bei dieser Identifikation das Tensorprodukt genau mit den kompakten Operatoren zusammenfallt das heisst es gilt H ϵ H K H displaystyle H hat otimes epsilon H cong K H nbsp Insbesondere zeigt dieses Beispiel dass das injektive Tensorprodukt von Hilbertraumen im Allgemeinen kein Hilbertraum ist Das Tensorprodukt mit Raumen stetiger Funktionen Bearbeiten Ist X displaystyle X nbsp ein kompakter Raum so bezeichne C X displaystyle C X nbsp den Banachraum der stetigen Funktionen X K displaystyle X rightarrow mathbb K nbsp mit der Supremumsnorm E displaystyle E nbsp sei ein weiterer Banachraum und C X E displaystyle C X E nbsp sei der Banachraum der E displaystyle E nbsp wertigen stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm Dann ist durch C X ϵ E C X E i 1 n f i y i i 1 n f y i displaystyle C X otimes epsilon E rightarrow C X E sum i 1 n f i otimes y i mapsto sum i 1 n f cdot otimes y i nbsp eine isometrische Einbettung mit dichtem Bild gegeben das heisst diese Einbettung setzt sich zu einem isometrischen Isomorphismus zwischen C X ϵ E displaystyle C X hat otimes epsilon E nbsp und C X E displaystyle C X E nbsp fort Das schreibt sich kurz und pragnant als C X ϵ E C X E displaystyle C X hat otimes epsilon E cong C X E nbsp Insbesondere erhalt man fur zwei kompakte Raume X 1 displaystyle X 1 nbsp und X 2 displaystyle X 2 nbsp die erwarteten Isometrien C X 1 ϵ C X 2 C X 1 C X 2 C X 1 X 2 displaystyle C X 1 hat otimes epsilon C X 2 cong C X 1 C X 2 cong C X 1 times X 2 nbsp 5 Tensorprodukt mit ℓ1 Bearbeiten Es seien ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp der Folgenraum der absolut konvergenten reellen Reihen und E displaystyle E nbsp ein Banachraum Das projektive Tensorprodukt ℓ 1 p E displaystyle ell 1 hat otimes pi E nbsp kann bekanntlich mit dem Raum ℓ 1 E displaystyle ell 1 E nbsp der absolut konvergenten Reihen in E displaystyle E nbsp identifiziert werden Fur das injektive Tensorprodukt ℓ 1 ϵ E displaystyle ell 1 hat otimes epsilon E nbsp gelingt eine ahnliche Charakterisierung wenn man die absolute Konvergenz durch unbedingte Konvergenz ersetzt Es sei ℓ 1 E displaystyle ell 1 E nbsp der Raum der unbedingt konvergenten Reihen in E displaystyle E nbsp Ist x n n displaystyle x n n nbsp eine solche Reihe so ist n 1 f x n displaystyle sum n 1 infty f x n nbsp fur jedes f E displaystyle f in E nbsp absolut konvergent Es gilt sogar dass x n n sup n 1 f x n f E f 1 displaystyle x n n sup left sum n 1 infty f x n f in E f leq 1 right nbsp endlich ist und eine Norm auf ℓ 1 E displaystyle ell 1 E nbsp definiert die ℓ 1 E displaystyle ell 1 E nbsp zu einem Banachraum macht Dann kann man zeigen dass die bilineare Abbildung ℓ 1 E ℓ 1 E a n n x a n x n displaystyle ell 1 times E rightarrow ell 1 E a n n x mapsto a n x n nbsp eine isometrische Abbildung ℓ 1 ϵ E ℓ 1 E displaystyle ell 1 otimes epsilon E rightarrow ell 1 E nbsp induziert die sich zu einem isometrischen Isomorphismus ℓ 1 ϵ E ℓ 1 E displaystyle ell 1 hat otimes epsilon E rightarrow ell 1 E nbsp fortsetzt 6 Lokalkonvexe Raume BearbeitenDie Konstruktion des injektiven Tensorproduktes kann wie folgt auf den Fall der lokalkonvexen Raume verallgemeinert werden 7 Definition Bearbeiten Es seien E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp zwei lokalkonvexe Raume und es seien U E displaystyle U subset E nbsp und V F displaystyle V subset F nbsp absolutkonvexe Nullumgebungen Weiter bezeichne U f E R e f x 1 x U displaystyle U circ varphi in E prime rm Re varphi x leq 1 forall x in U nbsp die Polare von U displaystyle U nbsp und analog V displaystyle V circ nbsp die Polare von V displaystyle V nbsp Man erhalt eine Halbnorm ϵ U V displaystyle epsilon U V nbsp auf E F displaystyle E otimes F nbsp durch die Definition ϵ U V j 1 n x j y j sup j 1 n f x j g y j f U g V displaystyle epsilon U V left sum j 1 n x j otimes y j right sup left left sum j 1 n f x j g y j right f in U circ g in V circ right nbsp Das injektive Tensorprodukt oder ϵ displaystyle epsilon nbsp Tensorprodukt E ϵ F displaystyle E otimes epsilon F nbsp ist der mit dem System der Halbnormen ϵ U V displaystyle epsilon U V nbsp ausgestattete Tensorproduktraum wobei U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp die absolutkonvexen Nullumgebungen von E displaystyle E nbsp bzw F displaystyle F nbsp durchlaufen Das verallgemeinert die Definition des injektiven Tensorproduktes normierter Raume Die Vervollstandigung von E ϵ F displaystyle E otimes epsilon F nbsp wird wie im Falle normierter Raume mit E ϵ F displaystyle E hat otimes epsilon F nbsp bezeichnet Stabilitatseigenschaften Bearbeiten Einige Klassen lokalkonvexer Raume sind stabil gegenuber der Bildung des injektiven Tensorproduktes Gehoren E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp beide zu einer der Klassen normierte Raume metrisierbare lokalkonvexe Raume nukleare Raume Schwartz Raume so gehort auch E ϵ F displaystyle E otimes epsilon F nbsp dieser Klasse an Sind E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp Frechet Montel Raume so auch E ϵ F displaystyle E hat otimes epsilon F nbsp Das Tensorprodukt mit Raumen stetiger Funktionen Bearbeiten Es sei X displaystyle X nbsp ein vollstandig regularer Raum und C X c displaystyle C X c nbsp bezeichne den Raum der stetigen Funktionen X K displaystyle X rightarrow mathbb K nbsp mit der Topologie der gleichmassigen Konvergenz auf kompakten Mengen Ist E displaystyle E nbsp ein weiterer lokalkonvexer Raum so sei C X E c displaystyle C X E c nbsp der Raum der E displaystyle E nbsp wertigen stetigen Funktionen mit der Topologie der gleichmassigen Konvergenz auf kompakten Mengen Dann besteht die naturliche Isomorphie C X c ϵ E C X E c displaystyle C X c hat otimes epsilon E cong C X E c nbsp wenn E displaystyle E nbsp vollstandig und X displaystyle X nbsp ein Kelley Raum ist Dabei heisst X displaystyle X nbsp ein Kelley Raum wenn eine Funktion X K displaystyle X rightarrow mathbb K nbsp bereits dann stetig ist wenn ihre Einschrankungen auf kompakten Teilmengen stetig sind Das ist beispielsweise bei lokalkompakten Raumen der Fall Siehe auch BearbeitenHilbertraum Tensorprodukt Pettis Integral Vektorielles MassEinzelnachweise Bearbeiten R Schatten A theory of cross spaces Annals of Mathematical Studies 26 Princeton N J 1950 A Grothendieck Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires Mem Amer Math Soc 16 1955 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Kapitel 3 The Injective Tensor Product A Y Helemskii The Homology of Banach and Topological Algebras Kluwer Academic Publishers 1989 ISBN 0 7923 0217 6 Kapitel II Definition 2 55 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Kapitel 3 2 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Beispiel 3 4 H Jarchow Locally Convex Spaces Teubner Stuttgart 1981 ISBN 3 519 02224 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Injektives Tensorprodukt amp oldid 219253253