Schwartz-Raum (allgemein)

Unter einem Schwartz-Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind Schwartz-Räume. Der Raum der schnell fallenden Funktionen (s. u.) wird in der Distributionstheorie manchmal als der Schwartz-Raum bezeichnet, obwohl es sich lediglich um einen Vertreter der hier zu besprechenden Raumklasse handelt. Die Bezeichnung Schwartz-Raum (nach Laurent Schwartz) geht auf Alexander Grothendieck zurück. In der Literatur ist auch die Bezeichnung -Raum verbreitet; ein vollständiger Schwartz-Raum wird dann auch ein -Raum genannt.

Definition

Ein lokalkonvexer Raum heißt ein Schwartz-Raum, wenn es zu jedem normierten Raum und jedem stetigen linearen Operator eine Nullumgebung gibt, so dass das Bild präkompakt ist.

Dies ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem Banachraum und jedem stetigen linearen Operator eine Nullumgebung gibt, so dass kompakt ist.

Eine innere Charakterisierung lautet:

Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es zu jeder Nullumgebung eine Nullumgebung gibt, so dass man zu jedem endlich viele Punkte mit finden kann.

Präkompakte Halbnormen

Weiter lassen sich Schwartz-Räume über die stetigen Halbnormen charakterisieren. Eine Halbnorm auf einem lokalkonvexen Raum heißt präkompakt, falls es eine Nullfolge in und eine gleichstetige Folge im starken Dualraum gibt, so dass für alle die Ungleichung gilt. (Dabei heißt die Folge gleichstetig, wenn es eine stetige Halbnorm auf gibt mit für alle und .)

Präkompakte Halbnormen sind stetig, denn mit obigen Bezeichnungen erhält man die Abschätzung . Die Umkehrung ist im Allgemeinen nicht richtig, sie stellt vielmehr eine Charakterisierung der Schwartz-Räume dar, denn es gilt:

Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn jede stetige Halbnorm präkompakt ist.

Beispiele

• Unter den normierten Räumen sind genau die endlich-dimensionalen Räume Schwartz-Räume.
• Jeder vollständige nukleare Raum ist ein Schwartz-Raum.
• Sei der Raum aller Funktionen , für die alle Suprema endlich sind. Dabei wurde von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum mit den Halbnormen heißt Raum der schnell fallenden Funktionen. Er ist ein Schwartz-Raum und wird manchmal auch als der Schwartz-Raum bezeichnet.
• Jede Folge definiert durch die Festlegung ein lineares Funktional auf dem Folgenraum der beschränkten Folgen. Diesen Raum versehe man mit der feinsten lokalkonvexen Topologie, so dass der Dualraum bzgl. dieser Identifikation mit zusammenfällt. Nach dem Satz von Mackey-Arens gibt es eine solche Topologie, die Mackey-Topologie . Der lokalkonvexe Raum ist ein vollständiger Schwartz-Raum, der nicht nuklear ist.

Eigenschaften

• Unterräume und Quotientenräume nach abgeschlossenen Unterräumen von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
• Beliebige Produkte von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
• Vollständige quasitonnelierte Schwartz-Räume sind Montel-Räume. Es gibt aber Fréchet-Montel-Räume, die keine Schwartz-Räume sind.
• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es eine Menge gibt, so dass topologisch isomorph zu einem Unterraum von ist. In diesem Sinne ist ein universeller Schwartz-Raum.

Vollständige Schwartz-Räume

Vollständige Schwartz-Räume haben besondere Eigenschaften und lassen weitere Charakterisierungen zu. Ist eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum , so ist ein abgeschlossener Unterraum von und durch wird eine Norm auf dem Faktorraum erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit bezeichnet. Ist eine weitere stetige Halbnorm mit , so definiert einen stetigen linearen Operator , der sich stetig zu einem linearen Operator fortsetzen lässt. Die heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren heißen kanonische Abbildungen von . Mit diesen Begriffen können vollständige Schwartz-Räume wie folgt charakterisiert werden:

Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein vollständiger Schwartz-Raum, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm eine weitere stetige Halbnorm gibt, so dass die kanonische Abbildung ein kompakter Operator ist.

Es genügt natürlich, sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschränken.

In vollständigen Schwartz-Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß, das heißt, eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Literatur

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume. Lecture Notes in Mathematics 56, 1968.
• H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces. Springer, 1971.
• H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981.
• Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. Marcel Dekker Ltd., 1992.
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992. ISBN 3-528-07262-8