www.wikidata.de-de.nina.az

Nuklearer Raum Unter einem nuklearen Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume

Nuklearer Raum

Unter einem nuklearen Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind nuklear. Während normierte Räume, insbesondere Banachräume oder Hilberträume, Verallgemeinerungen endlichdimensionaler Vektorräume über ( oder ) unter Beibehaltung der Norm aber unter Verlust von Kompaktheitseigenschaften darstellen, liegt der Schwerpunkt bei den nuklearen Räumen, die im unendlichdimensionalen Fall nicht normierbar sind, auf den Kompaktheitseigenschaften. Ferner erweisen sich unbedingte Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen in nuklearen Räumen als äquivalent. In diesem Sinne sind die nuklearen Räume näher an den endlichdimensionalen Räumen als die Banachräume.

Die auf Alexander Grothendieck zurückgehenden nuklearen Räume lassen sich auf vielfältige Weise einführen. Als Definition wird hier die am einfachsten formulierbare Variante gewählt, anschließend folgt eine Liste äquivalenter Charakterisierungen, die gleichzeitig eine Reihe wichtiger Eigenschaften nuklearer Räume darstellen. Es folgen Beispiele und weitere Eigenschaften.

Definition Bearbeiten

Ein lokalkonvexer Raum (immer als Hausdorffraum angenommen) heißt nuklear, wenn für jeden Banachraum jeder stetige lineare Operator ein nuklearer Operator ist.

Charakterisierungen Bearbeiten

Kanonische Abbildungen Bearbeiten

Ist eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum , so ist ein abgeschlossener Untervektorraum von und durch wird eine Norm auf dem Faktorraum erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit bezeichnet. Ist eine weitere stetige Halbnorm mit , so definiert einen stetigen linearen Operator , der sich stetig zu einem linearen Operator fortsetzen lässt. Die heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren heißen kanonische Abbildungen von .

Mit diesen Begriffen gelingt eine innere Charakterisierung nuklearer Räume, das heißt ohne Bezugnahme auf andere Räume:

  • Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm eine weitere stetige Halbnorm gibt, so dass die kanonische Abbildung ein nuklearer Operator ist.

Es genügt natürlich, sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschränken.

Hilberträume Bearbeiten

Die nun folgenden Charakterisierungen rücken die nuklearen Räume in die Nähe der Hilberträume.

  • Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn es ein gerichtetes System von die Topologie erzeugenden Halbnormen gibt, so dass jeder lokale Banachraum , ein Hilbertraum ist und es zu jedem ein , gibt, so dass die kanonische Abbildung ein Hilbert-Schmidt-Operator ist.

Ist eine Hermitesche Form auf mit für alle (d. h. die Hermitesche Form ist nicht-negativ), so ist durch eine Halbnorm auf definiert. Solche Halbnormen nennt man Hilbert-Halbnormen.

  • Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn es ein gerichtetes System erzeugender Hilbert-Halbnormen gibt, so dass es zu jedem ein , gibt, so dass die kanonische Abbildung ein Hilbert-Schmidt-Operator ist.

Tensorprodukte Bearbeiten

Es gibt zwei wichtige Methoden, das Tensorprodukt zweier lokalkonvexer Räume mit einer geeigneten lokalkonvexen Topologie auszustatten. Seien und abgeschlossene, absolutkonvexe Nullumgebungen. sei das Minkowski-Funktional der absolutkonvexen Hülle von . Weiter bezeichne die Polare von und analog die Polare von . Man erhält eine weitere Halbnorm auf durch die Definition .

Das projektive Tensorprodukt oder -Tensorprodukt ist der Tensorproduktraum mit dem System der Halbnormen , wobei und die abgeschlossenen, absolutkonvexen Nullumgebungen durchlaufen. Entsprechend ist das injektive Tensorprodukt oder -Tensorprodukt der mit dem System der Halbnormen ausgestattete Tensorproduktraum.

Leicht überlegt man sich, dass stets gilt, d. h. ist stetig. Diese Abbildung ist im Allgemeinen kein Homöomorphismus. Es gilt:

  • Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn für jeden lokalkonvexen Raum ein Homöomorphismus ist.
  • Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn für jeden Banachraum ein Homöomorphismus ist.
  • Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn ein Homöomorphismus ist.

Diese Charakterisierung ist die ursprüngliche von Grothendieck verwendete Definition der Nuklearität.

Bilinearformen Bearbeiten

Ist eine absolutkonvexe Nullumgebung, so ist die Polare eine absolutkonvexe und absorbierende Menge im Vektorraum , sei das zugehörige Minkowski-Funktional. Eine Bilinearform heißt nuklear, falls es absolutkonvexe Nullumgebungen und sowie Folgen in und in gibt mit und für alle und .

  • Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn jede stetige Bilinearform für jeden lokalkonvexen Raum nuklear ist.
  • Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn jede stetige Bilinearform für jeden Banachraum nuklear ist.

Diese Charakterisierung nuklearer Räume nennt man auch die abstrakte Form des Satzes vom Kern.

Summierbarkeit Bearbeiten

Ist eine absolutkonvexe Nullumgebung, so sei das zugehörige Minkowski-Funktional. sei eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen. Sei mit den Halbnormen versehen. Der dadurch entstehende lokalkonvexe Raum heißt in naheliegender Weise Raum der absoluten Cauchy-Reihen. In dieser Definition wird nicht verlangt, dass die Reihe in konvergiert.

Weiter betrachten wir den Raum mit den Halbnormen , wobei wie oben die Polare von bezeichnet und die Nullumgebungsbasis durchläuft. Dieser lokalkonvexe Raum heißt Raum der unbedingten Cauchy-Reihen, denn aus dem riemannschen beziehungsweise steinitzschen Umordnungssatz folgt leicht, dass mit auch jede permutierte Folge in liegt.

Sowohl als auch sind unabhängig von der speziellen Wahl der Nullumgebungsbasis. Die nuklearen Räume erweisen sich nun als diejenigen, in denen absolute Cauchy-Reihen und unbedingte Cauchy-Reihen zusammenfallen:

  • Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn als Mengen und als topologische Räume.

Satz von Kōmura-Kōmura Bearbeiten

Der hier vorgestellte auf T. Kōmura und Y. Kōmura zurückgehende Satz zeigt, dass der in den Beispielen angegebene Folgenraum der schnell fallenden Folgen ein Generator aller nuklearen Räume ist.

  • Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn es eine Menge gibt, so dass isomorph zu einem Unterraum von ist.

Beispiele Bearbeiten

Normierte Räume Bearbeiten

Unter den normierten Räumen sind genau die endlichdimensionalen nuklear.

Schnell fallende Folgen Bearbeiten

Sei mit den Halbnormen . Dieser lokalkonvexe Raum heißt Raum der schnell fallenden Folgen und ist nach obigem Satz von Kōmura-Kōmura ein Prototyp eines nuklearen Raums.

Differenzierbare Funktionen Bearbeiten

Wichtige Beispiele sind auch Räume differenzierbarer Funktionen. Sei offen und der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit den Halbnormen , wobei und kompakt ist. Dabei wurde für die Multiindex-Schreibweise verwendet. Dann ist ein nuklearer Raum.

Testfunktionen Bearbeiten

Sei offen und der Unterraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit einem kompakten Träger in . Für kompaktes sei der Raum der Funktionen mit Träger in K mit der von induzierten Teilraumtopologie. Dann gibt es eine feinste lokalkonvexe Topologie auf , die alle Einbettungen stetig macht. mit dieser Topologie heißt der Raum der Testfunktionen und spielt eine wichtige Rolle in der Distributionstheorie. ist ein Beispiel für einen nicht-metrisierbaren nuklearen Raum.

Schnell fallende Funktionen Bearbeiten

Sei der Raum aller Funktionen , für die alle Suprema endlich sind. Dabei wurde wieder von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum mit den Halbnormen heißt Raum der schnell fallenden Funktionen und ist ebenfalls nuklear.

Holomorphe Funktionen Bearbeiten

Sei offen und der Raum aller holomorphen Funktionen . Dann ist mit den Halbnormen , wobei kompakt ist, ein nuklearer Raum.

Permanenzeigenschaften Bearbeiten

Nukleare Räume haben sehr gute Permanenzeigenschaften. Unterräume, Faktorräume nach abgeschlossenen Unterräumen, beliebige Produkte, abzählbare direkte Summen, Tensorprodukte und Vervollständigungen nuklearer Räume sind wieder nuklear.

Eigenschaften Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • A Grothendieck: Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires, Ann. Inst. Fourier 4 (1954), 73–112
  • A. Pietsch, Nukleare lokalkonvexe Räume, Akademie-Verlag, Berlin, 1969
  • K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
  • H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971 ISBN 0-387-98726-6
  • H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981 ISBN 3-519-02224-9
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Unter einem nuklearen Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorraume Viele in den Anwendungen wichtige Raume z B Raume differenzierbarer Funktionen sind nuklear Wahrend normierte Raume insbesondere Banachraume oder Hilbertraume Verallgemeinerungen endlichdimensionaler Vektorraume uber K displaystyle mathbb K R displaystyle mathbb R oder C displaystyle mathbb C unter Beibehaltung der Norm aber unter Verlust von Kompaktheitseigenschaften darstellen liegt der Schwerpunkt bei den nuklearen Raumen die im unendlichdimensionalen Fall nicht normierbar sind auf den Kompaktheitseigenschaften Ferner erweisen sich unbedingte Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen in nuklearen Raumen als aquivalent In diesem Sinne sind die nuklearen Raume naher an den endlichdimensionalen Raumen als die Banachraume Die auf Alexander Grothendieck zuruckgehenden nuklearen Raume lassen sich auf vielfaltige Weise einfuhren Als Definition wird hier die am einfachsten formulierbare Variante gewahlt anschliessend folgt eine Liste aquivalenter Charakterisierungen die gleichzeitig eine Reihe wichtiger Eigenschaften nuklearer Raume darstellen Es folgen Beispiele und weitere Eigenschaften Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Charakterisierungen 2 1 Kanonische Abbildungen 2 2 Hilbertraume 2 3 Tensorprodukte 2 4 Bilinearformen 2 5 Summierbarkeit 2 6 Satz von Kōmura Kōmura 3 Beispiele 3 1 Normierte Raume 3 2 Schnell fallende Folgen 3 3 Differenzierbare Funktionen 3 4 Testfunktionen 3 5 Schnell fallende Funktionen 3 6 Holomorphe Funktionen 4 Permanenzeigenschaften 5 Eigenschaften 6 LiteraturDefinition BearbeitenEin lokalkonvexer Raum E displaystyle E nbsp immer als Hausdorffraum angenommen heisst nuklear wenn fur jeden Banachraum F displaystyle F nbsp jeder stetige lineare Operator E F displaystyle E rightarrow F nbsp ein nuklearer Operator ist Charakterisierungen BearbeitenKanonische Abbildungen Bearbeiten Ist p displaystyle p nbsp eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum E displaystyle E nbsp so ist N p x E p x 0 displaystyle N p x in E p x 0 nbsp ein abgeschlossener Untervektorraum von E displaystyle E nbsp und durch x N p p p x displaystyle x N p p p x nbsp wird eine Norm auf dem Faktorraum E p E N p displaystyle E p E N p nbsp erklart Die Vervollstandigung dieses normierten Raums wird mit B p displaystyle B p nbsp bezeichnet Ist q displaystyle q nbsp eine weitere stetige Halbnorm mit p q displaystyle p leq q nbsp so definiert x N q x N p displaystyle x N q mapsto x N p nbsp einen stetigen linearen Operator E q E p displaystyle E q rightarrow E p nbsp der sich stetig zu einem linearen Operator k q p B q B p displaystyle kappa qp colon B q rightarrow B p nbsp fortsetzen lasst Die B p displaystyle B p nbsp heissen die lokalen Banachraume und die Operatoren k q p displaystyle kappa qp nbsp heissen kanonische Abbildungen von E displaystyle E nbsp Mit diesen Begriffen gelingt eine innere Charakterisierung nuklearer Raume das heisst ohne Bezugnahme auf andere Raume Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear wenn es zu jeder stetigen Halbnorm p displaystyle p nbsp eine weitere stetige Halbnorm q p displaystyle q geq p nbsp gibt so dass die kanonische Abbildung k q p displaystyle kappa qp nbsp ein nuklearer Operator ist Es genugt naturlich sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschranken Hilbertraume Bearbeiten Die nun folgenden Charakterisierungen rucken die nuklearen Raume in die Nahe der Hilbertraume Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear wenn es ein gerichtetes System P displaystyle mathcal P nbsp von die Topologie erzeugenden Halbnormen gibt so dass jeder lokale Banachraum B p p P displaystyle B p p in mathcal P nbsp ein Hilbertraum ist und es zu jedem p P displaystyle p in mathcal P nbsp ein q P q p displaystyle q in mathcal P q geq p nbsp gibt so dass die kanonische Abbildung k q p displaystyle kappa qp nbsp ein Hilbert Schmidt Operator ist Ist displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp eine Hermitesche Form auf E displaystyle E nbsp mit x x 0 displaystyle langle x x rangle geq 0 nbsp fur alle x E displaystyle x in E nbsp d h die Hermitesche Form ist nicht negativ so ist durch x x x 1 2 displaystyle x mapsto langle x x rangle frac 1 2 nbsp eine Halbnorm auf E displaystyle E nbsp definiert Solche Halbnormen nennt man Hilbert Halbnormen Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear wenn es ein gerichtetes System P displaystyle mathcal P nbsp erzeugender Hilbert Halbnormen gibt so dass es zu jedem p P displaystyle p in mathcal P nbsp ein q P q p displaystyle q in mathcal P q geq p nbsp gibt so dass die kanonische Abbildung k q p displaystyle kappa qp nbsp ein Hilbert Schmidt Operator ist Tensorprodukte Bearbeiten Es gibt zwei wichtige Methoden das Tensorprodukt E F displaystyle E otimes F nbsp zweier lokalkonvexer Raume mit einer geeigneten lokalkonvexen Topologie auszustatten Seien U E displaystyle U subset E nbsp und V F displaystyle V subset F nbsp abgeschlossene absolutkonvexe Nullumgebungen p U V displaystyle pi U V nbsp sei das Minkowski Funktional der absolutkonvexen Hulle von U V x y x U y V displaystyle U otimes V x otimes y x in U y in V nbsp Weiter bezeichne U f E R e f x 1 x U displaystyle U circ varphi in E prime rm Re varphi x leq 1 forall x in U nbsp die Polare von U displaystyle U nbsp und analog V displaystyle V circ nbsp die Polare von V displaystyle V nbsp Man erhalt eine weitere Halbnorm ϵ U V displaystyle epsilon U V nbsp auf E F displaystyle E otimes F nbsp durch die Definition ϵ U V j 1 n x j y j sup j 1 n ϕ x j ps y j ϕ U ps V displaystyle textstyle epsilon U V sum j 1 n x j otimes y j sup sum j 1 n phi x j psi y j phi in U circ psi in V circ nbsp Das projektive Tensorprodukt oder p displaystyle pi nbsp Tensorprodukt E p F displaystyle E otimes pi F nbsp ist der Tensorproduktraum mit dem System der Halbnormen p U V displaystyle pi U V nbsp wobei U E displaystyle U subset E nbsp und V F displaystyle V subset F nbsp die abgeschlossenen absolutkonvexen Nullumgebungen durchlaufen Entsprechend ist das injektive Tensorprodukt oder ϵ displaystyle epsilon nbsp Tensorprodukt E ϵ F displaystyle E otimes epsilon F nbsp der mit dem System der Halbnormen ϵ U V displaystyle epsilon U V nbsp ausgestattete Tensorproduktraum Leicht uberlegt man sich dass stets ϵ U V p U V displaystyle epsilon U V leq pi U V nbsp gilt d h i d E p F E ϵ F displaystyle id E otimes pi F rightarrow E otimes epsilon F nbsp ist stetig Diese Abbildung ist im Allgemeinen kein Homoomorphismus Es gilt Ein lokalkonvexer Raum E displaystyle E nbsp ist genau dann nuklear wenn i d E p F E ϵ F displaystyle id E otimes pi F rightarrow E otimes epsilon F nbsp fur jeden lokalkonvexen Raum F displaystyle F nbsp ein Homoomorphismus ist Ein lokalkonvexer Raum E displaystyle E nbsp ist genau dann nuklear wenn i d E p F E ϵ F displaystyle id E otimes pi F rightarrow E otimes epsilon F nbsp fur jeden Banachraum F displaystyle F nbsp ein Homoomorphismus ist Ein lokalkonvexer Raum E displaystyle E nbsp ist genau dann nuklear wenn i d E p ℓ 1 E ϵ ℓ 1 displaystyle id E otimes pi ell 1 rightarrow E otimes epsilon ell 1 nbsp ein Homoomorphismus ist Diese Charakterisierung ist die ursprungliche von Grothendieck verwendete Definition der Nuklearitat Bilinearformen Bearbeiten Ist U E displaystyle U subset E nbsp eine absolutkonvexe Nullumgebung so ist die Polare U displaystyle U circ nbsp eine absolutkonvexe und absorbierende Menge im Vektorraum E U l gt 0 l U E displaystyle textstyle E U circ bigcup lambda gt 0 lambda U circ subset E nbsp U displaystyle cdot U circ nbsp sei das zugehorige Minkowski Funktional Eine Bilinearform b E F K displaystyle b E times F rightarrow mathbb K nbsp heisst nuklear falls es absolutkonvexe Nullumgebungen U E displaystyle U subset E nbsp und V F displaystyle V subset F nbsp sowie Folgen a n n displaystyle a n n nbsp in E U displaystyle E U circ nbsp und b n n displaystyle b n n nbsp in E V displaystyle E V circ nbsp gibt mit n 1 a n U b n V lt displaystyle textstyle sum n 1 infty a n U circ b n V circ lt infty nbsp und b x y n 1 a n x b n y displaystyle textstyle b x y sum n 1 infty a n x b n y nbsp fur alle x E displaystyle x in E nbsp und y F displaystyle y in F nbsp Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear wenn jede stetige Bilinearform E F K displaystyle E times F rightarrow mathbb K nbsp fur jeden lokalkonvexen Raum F displaystyle F nbsp nuklear ist Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear wenn jede stetige Bilinearform E F K displaystyle E times F rightarrow mathbb K nbsp fur jeden Banachraum F displaystyle F nbsp nuklear ist Diese Charakterisierung nuklearer Raume nennt man auch die abstrakte Form des Satzes vom Kern Summierbarkeit Bearbeiten Ist U E displaystyle U subset E nbsp eine absolutkonvexe Nullumgebung so sei p U displaystyle p U nbsp das zugehorige Minkowski Funktional U displaystyle mathcal U nbsp sei eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen Sei ℓ 1 E x n n E N n 1 p U x n lt U U displaystyle textstyle ell 1 E x n n in E mathbb N sum n 1 infty p U x n lt infty forall U in mathcal U nbsp mit den Halbnormen q U x n n n 1 p U x n displaystyle textstyle q U x n n sum n 1 infty p U x n nbsp versehen Der dadurch entstehende lokalkonvexe Raum heisst in naheliegender Weise Raum der absoluten Cauchy Reihen In dieser Definition wird nicht verlangt dass die Reihe n 1 x n displaystyle textstyle sum n 1 infty x n nbsp in E displaystyle E nbsp konvergiert Weiter betrachten wir den Raum ℓ 1 E x n n E N f x n n ℓ 1 f E displaystyle ell 1 E x n n in E mathbb N f x n n in ell 1 forall f in E nbsp mit den Halbnormen ϵ U x n n sup f U n 01 f x n displaystyle textstyle epsilon U x n n sup f in U circ sum n 01 infty f x n nbsp wobei U displaystyle U circ nbsp wie oben die Polare von U displaystyle U nbsp bezeichnet und U displaystyle U nbsp die Nullumgebungsbasis U displaystyle mathcal U nbsp durchlauft Dieser lokalkonvexe Raum heisst Raum der unbedingten Cauchy Reihen denn aus dem riemannschen beziehungsweise steinitzschen Umordnungssatz folgt leicht dass mit x n n displaystyle x n n nbsp auch jede permutierte Folge x s n n displaystyle x sigma n n nbsp in ℓ 1 E displaystyle ell 1 E nbsp liegt Sowohl ℓ 1 E displaystyle ell 1 E nbsp als auch ℓ 1 E displaystyle ell 1 E nbsp sind unabhangig von der speziellen Wahl der Nullumgebungsbasis Die nuklearen Raume erweisen sich nun als diejenigen in denen absolute Cauchy Reihen und unbedingte Cauchy Reihen zusammenfallen Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear wenn ℓ 1 E ℓ 1 E displaystyle ell 1 E ell 1 E nbsp als Mengen und als topologische Raume Satz von Kōmura Kōmura Bearbeiten Der hier vorgestellte auf T Kōmura und Y Kōmura zuruckgehende Satz zeigt dass der in den Beispielen angegebene Folgenraum s displaystyle s nbsp der schnell fallenden Folgen ein Generator aller nuklearen Raume ist Ein lokalkonvexer Raum E displaystyle E nbsp ist genau dann nuklear wenn es eine Menge I displaystyle I nbsp gibt so dass E displaystyle E nbsp isomorph zu einem Unterraum von s I displaystyle s I nbsp ist Beispiele BearbeitenNormierte Raume Bearbeiten Unter den normierten Raumen sind genau die endlichdimensionalen nuklear Schnell fallende Folgen Bearbeiten Sei s x n n K N x n n k n ℓ 1 k N displaystyle s x n n in mathbb K mathbb N x n n k n in ell 1 forall k in mathbb N nbsp mit den Halbnormen p k x n n n 1 x n n k displaystyle textstyle p k x n n sum n 1 infty x n n k nbsp Dieser lokalkonvexe Raum heisst Raum der schnell fallenden Folgen und ist nach obigem Satz von Kōmura Kōmura ein Prototyp eines nuklearen Raums Differenzierbare Funktionen Bearbeiten Wichtige Beispiele sind auch Raume differenzierbarer Funktionen Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp offen und E W displaystyle mathcal E Omega nbsp der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen f W R displaystyle f Omega rightarrow mathbb R nbsp mit den Halbnormen p K m f sup a m sup x K D a f x displaystyle p K m f sup alpha leq m sup x in K D alpha f x nbsp wobei m N displaystyle m in mathbb N nbsp und K W displaystyle K subset Omega nbsp kompakt ist Dabei wurde fur a a 1 a n displaystyle alpha alpha 1 ldots alpha n nbsp die Multiindex Schreibweise verwendet Dann ist E W displaystyle mathcal E Omega nbsp ein nuklearer Raum Testfunktionen Bearbeiten Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp offen und D W E W displaystyle mathcal D Omega subset mathcal E Omega nbsp der Unterraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit einem kompakten Trager in W displaystyle Omega nbsp Fur kompaktes K W displaystyle K subset Omega nbsp sei D K W displaystyle mathcal D K Omega nbsp der Raum der Funktionen mit Trager in K mit der von E W displaystyle mathcal E Omega nbsp induzierten Teilraumtopologie Dann gibt es eine feinste lokalkonvexe Topologie auf D W displaystyle mathcal D Omega nbsp die alle Einbettungen D K W D W displaystyle mathcal D K Omega subset mathcal D Omega nbsp stetig macht D W displaystyle mathcal D Omega nbsp mit dieser Topologie heisst der Raum der Testfunktionen und spielt eine wichtige Rolle in der Distributionstheorie D W displaystyle mathcal D Omega nbsp ist ein Beispiel fur einen nicht metrisierbaren nuklearen Raum Schnell fallende Funktionen Bearbeiten Sei S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp der Raum aller Funktionen f R n R displaystyle f mathbb R n rightarrow mathbb R nbsp fur die alle Suprema p k m f sup a k sup x R n 1 x 2 m D a f x displaystyle textstyle p k m f sup alpha leq k sup x in mathbb R n 1 x 2 m D alpha f x nbsp endlich sind Dabei wurde wieder von der Multiindex Schreibweise Gebrauch gemacht Der Raum S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp mit den Halbnormen p k m k m N 0 displaystyle p k m k m in mathbb N 0 nbsp heisst Raum der schnell fallenden Funktionen und ist ebenfalls nuklear Holomorphe Funktionen Bearbeiten Sei W C displaystyle Omega subset mathbb C nbsp offen und H W displaystyle mathcal H Omega nbsp der Raum aller holomorphen Funktionen W C displaystyle Omega rightarrow mathbb C nbsp Dann ist H W displaystyle mathcal H Omega nbsp mit den Halbnormen p K p K 0 displaystyle p K p K 0 nbsp wobei K W displaystyle K subset Omega nbsp kompakt ist ein nuklearer Raum Permanenzeigenschaften BearbeitenNukleare Raume haben sehr gute Permanenzeigenschaften Unterraume Faktorraume nach abgeschlossenen Unterraumen beliebige Produkte abzahlbare direkte Summen Tensorprodukte und Vervollstandigungen nuklearer Raume sind wieder nuklear Eigenschaften BearbeitenNukleare Raume besitzen die Approximationseigenschaft In metrisierbaren nuklearen gilt die Verallgemeinerung des Steinitzschen Umordnungssatzes wie im Artikel uber die Umordnung von Reihen ausgefuhrt ist Vollstandige nukleare Raume sind Schwartz Raume Nukleare Frechet Raume sind Montel Raume Der starke Dualraum eines nuklearen Raums ist ein tonnelierter Raum In quasivollstandigen nuklearen Raumen gilt der Satz von Bolzano Weierstrass d h eine Menge ist genau dann kompakt wenn sie abgeschlossen und beschrankt ist Quasivollstandige nukleare Raume sind halbreflexiv Daher sind quasivollstandige quasitonnelierte nukleare Raume reflexiv Literatur BearbeitenA Grothendieck Resume des resultats essentiels dans la theorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucleaires Ann Inst Fourier 4 1954 73 112 A Pietsch Nukleare lokalkonvexe Raume Akademie Verlag Berlin 1969 K Floret J Wloka Einfuhrung in die Theorie der lokalkonvexen Raume Lecture Notes in Mathematics 56 1968 H H Schaefer Topological Vector Spaces Springer 1971 ISBN 0 387 98726 6 H Jarchow Locally Convex Spaces Teubner Stuttgart 1981 ISBN 3 519 02224 9 R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nuklearer Raum amp oldid 202098557