Die unbedingte konvergente Reihe ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der ein bestimmtes Konvergenzverhalten von Reihen beschreibt. Man spricht von unbedingter Konvergenz einer Reihe, wenn die Konvergenz unempfindlich gegenüber Umordnungen der Reihe ist. Im Endlichdimensionalen ist dies äquivalent zur absoluten Konvergenz, im Unendlichdimensionalen ist das nicht mehr der Fall.
Definition Bearbeiten
Sei ein topologischer Vektorraum. Sei eine Indexmenge und für alle .
Man sagt, eine Reihe konvergiert unbedingt gegen , falls
- die Indexmenge abzählbar ist und
- für jede bijektive Abbildung die Gleichung
Dieser Begriff wird meistens in Banachräumen untersucht, kann aber auch in normierten, lokalkonvexen oder wie oben allgemein in topologischen Vektorräumen betrachtet werden.
Äquivalente Charakterisierungen Bearbeiten
Es existieren verschiedene äquivalente Charakterisierungen der unbedingten Konvergenz.
Die Reihe konvergiert unbedingt genau dann, wenn für alle die Summe
konvergiert.
Anwendungen Bearbeiten
- Mit Hilfe dieser Definition lässt sich z. B. in einem topologischen Vektorraum der übliche Begriff einer „konvergenten Summe von Unterräumen“ als Erweiterung der bereits bekannten Summe von Unterräumen einführen:
- Summe von Unterräumen:
- Erweiterung „Konvergente Summe von Unterräumen“:
Wichtig hierbei ist vor allem, dass der Wert der Reihe nicht von der Umordnung abhängt. Ansonsten wären die Elemente nicht wohldefiniert.
- Summe von Unterräumen:
- Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe der unbedingten Konvergenz in Banachräumen definiert.
Zusammenhang zur absoluten Konvergenz Bearbeiten
Satz von Riemann Bearbeiten
Sei der zugrundeliegende Banachraum und eine abzählbare Indexmenge. Dann besagt ein Satz von Riemann, dass die Reihe genau dann unbedingt konvergiert, wenn sie absolut konvergiert.
Satz von Dvoretzky-Rogers Bearbeiten
In unendlichdimensionalen Räumen sind die unbedingte Konvergenz und die absolute Konvergenz nicht mehr äquivalent. Dies besagt der Satz von Dvoretzky-Rogers, der nach Aryeh Dvoretzky und Claude Ambrose Rogers benannt wurde. Präzise besagt er, dass in jedem unendlichdimensionalen Banachraum eine unbedingt konvergente Reihe existiert, die nicht absolut konvergiert. Die Umkehrung, nach der jede absolut konvergente Reihe unbedingt konvergiert, gilt auch im unendlichdimensionalen Fall.
Siehe auch Bearbeiten
Weblinks Bearbeiten
- Chi Woo u. a.: Unconditional convergence. In: PlanetMath. (englisch)
- B. I. Golubov: Unconditional convergence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Einzelnachweise Bearbeiten
- ↑ Unbedingte Konvergenz. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 232 ff.
- D. J. H. Garling: Inequalities: A Journey Into Linear Analysis. Hrsg.: Cambridge University Press. 2007, S. 263.
- Christopher Heil: Introduction to Real Analysis. Hrsg.: Springer International Publishing. 2019, S. 307.