Das Birkhoff Integral ist ein Integralbegriff der 1935 von Garrett Birkhoff zur Integration von banachraumwertige Funktionen eingefuhrt wurde Wahrend das Bochner Integral die direkte Verallgemeinerung des Lebesgueschen Integralbegriffs auf banachraumwertige Funktionen ist stellt das Birkhoff Integral in zweifacher Hinsicht eine Verallgemeinerung des Riemann Integrals dar Zum einen werden nun Funktionen betrachtet welche uber einem beliebigen s displaystyle textstyle sigma endlichen Massraum definiert sind Des Weiteren werden nicht nur endliche Summen die sog Riemann Summen betrachtet sondern unbedingt konvergente Reihen Wahrend jede Riemann integrierbare Funktion auf dem R n displaystyle mathbb R n Lebesgue integrierbar ist gilt andererseits dass jede Bochner integrierbare Funktion auf einem s displaystyle textstyle sigma endlichen Massraum Birkhoff integrierbar sein muss Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Vergleich mit anderen Integralbegriffen 3 Eigenschaften 4 LiteraturDefinition BearbeitenEs seien W A m displaystyle textstyle Omega mathcal A mu nbsp ein s displaystyle textstyle sigma nbsp endlicher Massraum und B displaystyle textstyle B cdot nbsp ein Banachraum und f W B displaystyle textstyle f colon Omega to B nbsp eine Funktion Als Vorbereitung auf die eigentliche Definition werden hier zunachst drei grundlegende Abkurzungen eingefuhrt Fur eine Menge M B displaystyle textstyle emptyset neq M subseteq B nbsp wird der Durchmesser definiert durch d i a m M sup x y M x y displaystyle textstyle mathrm diam M sup x y in M x y nbsp Fur eine Menge M B displaystyle textstyle emptyset neq M subseteq B nbsp bezeichnet k o n v M displaystyle textstyle mathrm konv M nbsp die konvexe Hulle von M displaystyle textstyle M nbsp Eine Teilmenge G displaystyle textstyle Gamma nbsp der s displaystyle textstyle sigma nbsp Algebra A displaystyle textstyle mathcal A nbsp heisst abzahlbare m displaystyle textstyle mu nbsp Partition von W displaystyle textstyle Omega nbsp wenn G displaystyle textstyle Gamma nbsp eine abzahlbare Partition von W displaystyle textstyle Omega nbsp ist und jede Menge in G displaystyle textstyle Gamma nbsp endliches Mass hat also gilt M G m M lt displaystyle textstyle forall M in Gamma mu M lt infty nbsp Mit Hilfe dieser Begrifflichkeiten kann nun das Birkhoff Integral sozusagen als Verallgemeinerung des Riemann Integrals definiert werden Zuerst wird der Begriff der Riemann Summen uber einer Partition des Definitionsbereichs verallgemeinert f displaystyle textstyle f nbsp heisst unbedingt summierbar unter der abzahlbaren m displaystyle textstyle mu nbsp Partition G displaystyle textstyle Gamma nbsp von W displaystyle textstyle Omega nbsp wenn gilt b M M G M G f M M G m M b M displaystyle textstyle forall b M M in Gamma in prod M in Gamma f M colon sum M in Gamma mu M b M nbsp ist unbedingt konvergent Jede formal mogliche abzahlbare Riemann Summe uber der m displaystyle textstyle mu nbsp Partition muss also unbedingt konvergent sein In der nachsten Definition werden dann alle Riemann Summen Werte dieser m displaystyle textstyle mu nbsp Partition gesammelt M G m M f M M G m M b M M G b M f M displaystyle sum M in Gamma mu M f M bigg sum M in Gamma mu M b M Big forall M in Gamma b M in f M bigg nbsp Man nennt f displaystyle textstyle f nbsp unbedingt Birkhoff integrierbar wenn es eine Folge G i i N displaystyle textstyle Gamma i i in mathbb N nbsp von abzahlbaren m displaystyle textstyle mu nbsp Partitionen gibt mit i N f displaystyle textstyle forall i in mathbb N f nbsp ist unbedingt summierbar unter G i displaystyle textstyle Gamma i nbsp und zudem noch gilt lim i d i a m k o n v M G i m M f M 0 displaystyle displaystyle lim i to infty mathrm diam bigg overline mathrm konv Big sum M in Gamma i mu M f M Big bigg 0 nbsp Die Durchmesser der zur Partitionsfolge gehorigen Mengen der Riemann Summen Werte zuvor konvex und dann topologisch abgeschlossen mussen also gegen Null konvergieren Dann gibt es namlich genau ein Element b displaystyle textstyle b nbsp im Durchschnitt i 1 k o n v M G i m M f M displaystyle bigcap i 1 infty overline rm konv Big sum M in Gamma i mu M f M Big nbsp Dieses ist zudem unabhangig von der konkreten Wahl der Folge G i i N displaystyle textstyle Gamma i i in mathbb N nbsp und als das unbedingte Birkhoff Integral definiert man W f d m b displaystyle int Omega f rm d mu b nbsp Vergleich mit anderen Integralbegriffen BearbeitenJede auf einem s displaystyle textstyle sigma nbsp endlichen Massraum definierte Bochner integrierbare Funktion ist auch Birkhoff integrierbar und die entsprechenden Integralwerte stimmen dann uberein Es gibt jedoch Birkhoff integrierbare Funktionen die nicht Bochner integrierbar sind Wird die Definition des Riemann Integrals direkt mittels Riemann Summen auf banachraumwertige Funktionen verallgemeinert so ist im Allgemeinen nicht mehr jede Riemann integrierbare Funktion auch Bochner integrierbar aber dafur Birkhoff integrierbar Ein Beispiel fur eine nicht Bochner integrierbare aber Birkhoff integrierbare sogar Riemann integrierbare Funktion ist Sei ℓ 2 0 1 x i i 0 1 R 0 1 i 0 1 x i 2 lt displaystyle textstyle ell 2 left 0 1 right left x i i in 0 1 in mathbb R 0 1 Big sum i in 0 1 x i 2 lt infty right nbsp versehen mit der Norm x i i 0 1 i 0 1 x i 2 displaystyle textstyle x i i in 0 1 sqrt left sum i in 0 1 x i 2 right nbsp siehe allgemeiner ℓ p displaystyle textstyle ell p nbsp Raum und f 0 1 ℓ 2 0 1 x x x displaystyle textstyle f colon 0 1 to ell 2 left 0 1 right x mapsto chi x nbsp wobei das Bild von x displaystyle textstyle x nbsp unter f displaystyle textstyle f nbsp gerade die Charakteristische Funktion von x displaystyle textstyle x nbsp ist f displaystyle textstyle f nbsp ist nicht Bochner integrierbar denn sonst ware f displaystyle textstyle f nbsp auch m displaystyle textstyle mu nbsp messbar Mit Hilfe des Messbarkeitssatz von Pettis folgt aber dass f displaystyle textstyle f nbsp nicht m displaystyle textstyle mu nbsp messbar ist denn f 0 1 displaystyle textstyle f left 0 1 right nbsp ist nicht m displaystyle textstyle mu nbsp fast uberall separabel Das Riemann Integral und damit auch das Birkhoff Integral von f displaystyle textstyle f nbsp ist 0 0 1 R x 0 displaystyle textstyle mathfrak 0 colon 0 1 to mathbb R x mapsto 0 nbsp dd Jede Birkhoff integrierbare Funktion ist Pettis integrierbar Eigenschaften BearbeitenDas Birkhoff Integral ist linear Fur zwei Birkhoff integrierbare Funktionen f g W B displaystyle textstyle f g colon Omega to B nbsp und a b K displaystyle alpha beta in mathbb K nbsp ist auch a f b g displaystyle alpha f beta g nbsp Birkhoff integrierbar und es gilt W a f b g d m a W f d m b W g d m displaystyle int Omega alpha f beta g rm d mu alpha int Omega f rm d mu beta int Omega g rm d mu nbsp dd Fur die Birkhoff Integrierbarkeit von f W B displaystyle textstyle f colon Omega to B nbsp gibt es eine relativ neue aquivalente Charakterisierung siehe M Potyrala f displaystyle f nbsp ist genau dann Birkhoff integrierbar mit x W f d m displaystyle textstyle x int Omega f rm d mu nbsp wenn gilt e gt 0 displaystyle forall varepsilon gt 0 exists nbsp eine abzahlbare m displaystyle textstyle mu nbsp Partition G f displaystyle textstyle Gamma f nbsp ist unbedingt summierbar unter G displaystyle textstyle Gamma nbsp und sup y x y M G m M f M lt e displaystyle textstyle sup Big y x Big y in sum M in Gamma mu M f M Big lt varepsilon nbsp dd Es sei D displaystyle textstyle D nbsp ein weiterer Banachraum f W B displaystyle f colon Omega to B nbsp Birkhoff integrierbar und T L B D displaystyle textstyle T in L B D nbsp ein stetiger linearer Operator Dann ist die Verkettung T f W D displaystyle textstyle T circ f colon Omega to D nbsp eine Birkhoff integrierbare Funktion und es gilt T W f d m W T f d m displaystyle T left int Omega f mathrm d mu right int Omega T circ f mathrm d mu nbsp dd Literatur BearbeitenJurgen Friedrich Integration banachraumwertiger Funktionen Bochner und Birkhoff Integration Diplomica Verlag Hamburg 2013 S 28 46 ISBN 978 3 8428 4043 0 Garrett Birkhoff Integration of Functions with Values in a Banach Space In Transactions of the American Mathematical Society Vol 38 No 2 1935 S 357 378 M Potyrala Some Remarks about Birkhoff and Riemann Lebesgue Integrability of Vector valued Functions In Tatra Mountains Mathematical Publications 35 2007 S 97 106 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Birkhoff Integral amp oldid 199267867
