Das Pettis Integral ist ein nach Billy James Pettis benannter Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis Es handelt sich um ein Integral fur Funktionen auf einem Massraum mit Werten in einem Banachraum Ist der Banachraum gleich dem eindimensionalen Raum R displaystyle mathbb R so erhalt man das ubliche Integral reellwertiger Funktionen auf dem Massraum Das Pettis Integral verallgemeinert aber nicht nur das Integral reellwertiger Funktionen sondern auch das Bochner Integral und das Birkhoff Integral welche ebenfalls Integrale Banachraum wertiger Funktionen sind Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Beispiele 2 1 Reflexive Raume 2 2 Birkhoff Integral 2 3 Bochner Integral 2 4 Pettis integrierbar aber nicht Bochner integrierbar 2 5 Schwach integrierbar aber nicht Pettis integrierbar 3 Eigenschaften 3 1 Schwache Kompaktheit 3 2 Operatoren 3 3 Vektorraum der Pettis integrierbaren Funktionen 3 4 Die 1 Norm fur Pettis integrierbare Funktionen 3 5 Injektives Tensorprodukt 4 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenWir gehen von einem vollstandigen Massraum W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp mit einem endlichen positiven Mass m displaystyle mu nbsp aus und wollen fur Funktionen f W X displaystyle f Omega rightarrow X nbsp mit Werten in einem Banachraum X displaystyle X nbsp ein Integral definieren Fur die im Folgenden beschriebene Konstruktion nutzen wir aus dass f f displaystyle varphi circ f nbsp fur jedes f displaystyle varphi nbsp aus dem Dualraum X displaystyle X nbsp eine reellwertige Funktion W R displaystyle Omega rightarrow mathbb R nbsp ist und dass masstheoretische Begriffe fur solche Funktionen bereits definiert sind Wir nennen f W X displaystyle f Omega rightarrow X nbsp schwach messbar wenn f f displaystyle varphi circ f nbsp fur jedes f X displaystyle varphi in X nbsp eine messbare Funktion ist Dagegen nennt man f displaystyle f nbsp wie ublich messbar wenn das Urbild jeder offenen Menge aus A displaystyle mathcal A nbsp ist Fur die Beziehung dieser beiden Messbarkeitsbegriffe siehe den Messbarkeitssatz von Pettis Schliesslich nennen wir f displaystyle f nbsp schwach integrierbar wenn f f displaystyle varphi circ f nbsp fur jedes f X displaystyle varphi in X nbsp eine integrierbare Funktion ist Wir betrachten nun eine schwach integrierbare Funktion f W X displaystyle f Omega rightarrow X nbsp Fur jedes f X displaystyle varphi in X nbsp ist dann f f L 1 W A m displaystyle varphi circ f in L 1 Omega mathcal A mu nbsp wobei letzteres den L1 Raum uber dem vorgegebenen Massraum bezeichne der nach dem Satz von Fischer Riesz bzgl der 1 Norm ein Banachraum ist Wir erhalten damit einen linearen Operator S f X L 1 W A m f f f displaystyle S f X rightarrow L 1 Omega mathcal A mu varphi mapsto varphi circ f nbsp von dem man mittels des Satzes vom abgeschlossenen Graphen zeigen kann dass er sogar stetig ist Man kann daher den adjungierten Operator T f S f L 1 W A m X displaystyle T f S f L 1 Omega mathcal A mu rightarrow X nbsp bilden Identifiziert man den Dualraum von L1 mittels Lp Dualitat wie ublich mit L W A m displaystyle L infty Omega mathcal A mu nbsp so erhalt man einen Operator T f L W A m X T f g f W g t f f t d m t g L W A m f X displaystyle T f L infty Omega mathcal A mu rightarrow X quad T f g varphi int Omega g t varphi f t mathrm d mu t quad quad g in L infty Omega mathcal A mu varphi in X nbsp Insbesondere kann man T f displaystyle T f nbsp auf charakteristische Funktionen x E W 0 1 displaystyle chi E Omega rightarrow 0 1 nbsp fur messbare Mengen E A displaystyle E in mathcal A nbsp anwenden T f x E X displaystyle T f chi E in X nbsp nennt man das Dunford Integral 1 nach Nelson Dunford oder das Gelfand Integral 2 nach Israel Gelfand und schreibt E f d m E f t d m t T f x E displaystyle int E f mathrm d mu int E f t mathrm d mu t T f chi E nbsp Stellt man sich ein Integral E f d m displaystyle textstyle int E f mathrm d mu nbsp einer Funktion mit Werten in X displaystyle X nbsp als m displaystyle mu nbsp Mittelung der f displaystyle f nbsp Werte vor so wird man erwarten dass das Integral wieder in X displaystyle X nbsp liegt Im Allgemeinen ist das nicht der Fall Nun ist aber X X displaystyle X subset X nbsp durch die sogenannte kanonische Einbettung daher definiert man Eine schwach integrierbare Funktion f W X displaystyle f Omega rightarrow X nbsp heisst Pettis integrierbar falls E f d m X displaystyle textstyle int E f mathrm d mu in X nbsp fur alle E A displaystyle E in mathcal A nbsp und man nennt E f d m displaystyle textstyle int E f mathrm d mu nbsp das Pettis Integral von f displaystyle f nbsp uber E displaystyle E nbsp Beispiele BearbeitenReflexive Raume Bearbeiten Ist X displaystyle X nbsp reflexiv so ist X X displaystyle X X nbsp und es ist E f d m X displaystyle textstyle int E f mathrm d mu in X nbsp fur alle E A displaystyle E in mathcal A nbsp und jede schwach integrierbare Funktion f displaystyle f nbsp Das heisst dass jede schwach integrierbare Funktion mit Werten in einem reflexiven Raum Pettis integrierbar ist Birkhoff Integral Bearbeiten Jede Birkhoff integrierbare Funktion f W X displaystyle f Omega rightarrow X nbsp ist Pettis integrierbar und das Birkhoff Integral stimmt mit dem Pettis Integral uberein Daher ist das Pettis Integral eine Verallgemeinerung des Birkhoff Integrals Bochner Integral Bearbeiten Jede Bochner integrierbare Funktion f W X displaystyle f Omega rightarrow X nbsp ist Pettis integrierbar und das Bochner Integral stimmt mit dem Pettis Integral uberein Deshalb ist das Pettis Integral auch eine Verallgemeinerung des Bochner Integrals Es gilt Bochner integrierbar displaystyle Rightarrow nbsp Birkhoff integrierbar displaystyle Rightarrow nbsp Pettis integrierbar displaystyle Rightarrow nbsp schwach integrierbar Pettis integrierbar aber nicht Bochner integrierbar Bearbeiten Als Massraum betrachten wir das Einheitsintervall 0 1 mit dem Lebesgue Mass d t displaystyle mathrm d t nbsp auf der s Algebra der Lebesgue messbaren Mengen und als Banachraum den Folgenraum X c 0 displaystyle X c 0 nbsp der reellen Nullfolgen Es sei I n displaystyle I n nbsp das halboffene Intervall 1 n 1 1 n 0 1 displaystyle textstyle frac 1 n 1 frac 1 n subset 0 1 nbsp und f 0 1 c 0 f t n x I n t n N displaystyle f 0 1 rightarrow c 0 f t n chi I n t n in mathbb N nbsp Jedes f t displaystyle f t nbsp ist tatsachlich eine Nullfolge Das ist klar fur t 0 displaystyle t 0 nbsp denn es ist f 0 0 0 0 displaystyle f 0 0 0 0 ldots nbsp und fur t gt 0 displaystyle t gt 0 nbsp gibt es genau ein n displaystyle n nbsp mit t I n displaystyle t in I n nbsp und daher ist f t 0 0 n 0 0 displaystyle f t 0 0 ldots n 0 0 ldots nbsp Diese Funktion ist Pettis integrierbar aber nicht Bochner integrierbar Zur Verdeutlichung obiger Konstruktionen fuhren wir die erforderlichen Rechnungen aus und beginnen mit der schwachen Integrierbarkeit Fur jedes f v n n ℓ 1 c 0 displaystyle varphi v n n in ell 1 c 0 nbsp ist nach Definition der Dualitat c 0 ℓ 1 displaystyle c 0 ell 1 nbsp f f t n 1 v n n x I n t displaystyle varphi circ f t sum n 1 infty v n cdot n chi I n t nbsp und daher 0 1 f f t d t n 1 v n n 0 1 x I n t d t n 1 v n n 1 n n 1 n 1 v n 1 n 1 lt displaystyle int 0 1 varphi circ f t mathrm d t leq sum n 1 infty v n cdot n int 0 1 chi I n t mathrm d t sum n 1 infty v n cdot n frac 1 n n 1 sum n 1 infty v n cdot frac 1 n 1 lt infty nbsp denn das Intervall I n displaystyle I n nbsp hat die Lange 1 n n 1 displaystyle textstyle frac 1 n n 1 nbsp Also ist f displaystyle f nbsp schwach integrierbar Zur Bestimmung der Gelfand Integrale betrachte g L 0 1 displaystyle g in L infty 0 1 nbsp Bezeichnen wir die L1 L Dualitat mit spitzen Klammern so ist fur f v n n ℓ 1 c 0 displaystyle varphi v n n in ell 1 c 0 nbsp T f g f g S f f g f f 0 1 g t f f t d t 0 1 g t n 1 v n n x I n t d t displaystyle langle T f g varphi rangle langle g S f varphi rangle langle g varphi circ f rangle int 0 1 g t varphi circ f t mathrm d t int 0 1 g t sum n 1 infty v n cdot n chi I n t mathrm d t nbsp n 1 v n n 0 1 g t x I n t d t n 1 v n n I n g t d t n I n g t d t n N v n n N n I n g t d t n N f displaystyle sum n 1 infty v n cdot n int 0 1 g t chi I n t mathrm d t sum n 1 infty v n cdot n int I n g t mathrm d t langle left n cdot int I n g t mathrm d t right n in mathbb N v n n in mathbb N rangle langle left n cdot int I n g t mathrm d t right n in mathbb N varphi rangle nbsp und man liest ab T f g n I n g t d t n N ℓ c 0 displaystyle T f g left n cdot int I n g t mathrm d t right n in N in ell infty c 0 nbsp Tatsachlich liegt diese Folge aber bereits in c 0 displaystyle c 0 nbsp denn n I n g t d t g n I n d t g 1 n 1 0 displaystyle left n cdot int I n g t mathrm d t right leq g infty n cdot int I n mathrm d t g infty cdot frac 1 n 1 rightarrow 0 nbsp Daher ist f displaystyle f nbsp Pettis integrierbar f displaystyle f nbsp ist aber nicht Bochner integrierbar denn t f t n x I n t n 1 n x I n t displaystyle t mapsto f t n chi I n t sum n 1 infty n chi I n t nbsp ist nicht integrierbar 3 Schwach integrierbar aber nicht Pettis integrierbar Bearbeiten Zur Konstruktion einer schwach integrierbaren Funktion die nicht Pettis integrierbar ist wandeln wir obiges Beispiel leicht ab Wieder betrachten wir den Massraum 0 1 mit dem Lebesgue Mass und den Banachraum c 0 displaystyle c 0 nbsp Die gesuchte Funktion ist f 0 1 c 0 f t n n 1 x I n t n N displaystyle f 0 1 rightarrow c 0 f t n n 1 chi I n t n in mathbb N nbsp Fur jedes f v n n ℓ 1 c 0 displaystyle varphi v n n in ell 1 c 0 nbsp ist f f t n 1 v n n n 1 x I n t displaystyle varphi circ f t sum n 1 infty v n cdot n n 1 chi I n t nbsp und daher 0 1 f f t d t n 1 v n n n 1 0 1 x I n t d t n 1 v n n n 1 1 n n 1 n 1 v n lt displaystyle int 0 1 varphi circ f t mathrm d t leq sum n 1 infty v n cdot n n 1 int 0 1 chi I n t mathrm d t sum n 1 infty v n cdot n n 1 frac 1 n n 1 sum n 1 infty v n lt infty nbsp Also ist f displaystyle f nbsp schwach integrierbar Ist e L 0 1 displaystyle e in L infty 0 1 nbsp die konstante Funktion mit Wert 1 so ist fur jedes f v n n ℓ 1 c 0 displaystyle varphi v n n in ell 1 c 0 nbsp T f e f e S f f e f f 0 1 e t f f t d t 0 1 f f t d t displaystyle langle T f e varphi rangle langle e S f varphi rangle langle e varphi circ f rangle int 0 1 e t varphi circ f t mathrm d t int 0 1 varphi circ f t mathrm d t nbsp 0 1 n 1 v n n n 1 x I n t d t n 1 v n n n 1 I n d t n 1 v n 1 1 1 f displaystyle int 0 1 sum n 1 infty v n cdot n n 1 chi I n t mathrm d t sum n 1 infty v n cdot n n 1 int I n mathrm d t sum n 1 infty v n langle 1 1 1 ldots varphi rangle nbsp Also ist 0 1 f t d t T f e 1 1 1 ℓ c 0 displaystyle int 0 1 f t mathrm d t T f e 1 1 1 ldots in ell infty c 0 nbsp und das ist nicht aus c 0 displaystyle c 0 nbsp Daher ist f displaystyle f nbsp nicht Pettis integrierbar 4 Eigenschaften BearbeitenSchwache Kompaktheit Bearbeiten Ist mit obigen Bezeichnungen f W X displaystyle f Omega rightarrow X nbsp Pettis integrierbar so ist der zugehorige Operator T f L W A m X displaystyle T f L infty Omega mathcal A mu rightarrow X nbsp schwach kompakt Operatoren Bearbeiten Es seien W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp ein endlicher vollstandiger Massraum X displaystyle X nbsp eine Banachraum und f W X displaystyle f Omega rightarrow X nbsp Pettis integrierbar Ist A X Y displaystyle A X rightarrow Y nbsp ein stetiger linearer Operator zwischen Banachraumen so ist auch A f W Y displaystyle A circ f Omega rightarrow Y nbsp Pettis integrierbar und es gilt E A f d m A E f d m displaystyle int E A circ f mathrm d mu A left int E f mathrm d mu right nbsp fur jede messbare Menge E W displaystyle E subset Omega nbsp 5 Vektorraum der Pettis integrierbaren Funktionen Bearbeiten Leicht zeigt man dass Summen und skalare Vielfache Pettis integrierbarer Funktionen wieder Pettis integrierbar sind und dass sich das Integral linear verhalt das heisst W a f g d m a W f d m W g d m displaystyle int Omega alpha f g mathrm d mu alpha int Omega f mathrm d mu int Omega g mathrm d mu nbsp fur Pettis integrierbare Funktionen f g W X displaystyle f g Omega rightarrow X nbsp und a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp Die messbaren Pettis integrierbaren Funktionen W X displaystyle Omega rightarrow X nbsp bilden daher einen Vektorraum P 1 W A m X displaystyle P 1 Omega mathcal A mu X nbsp Die Menge der Funktionen die m fast uberall den Wert 0 X displaystyle 0 in X nbsp annehmen bilden einen Untervektorraum und den Quotientenraum nach diesem Unterraum bezeichnet man mit P 1 W A m X displaystyle P 1 Omega mathcal A mu X nbsp In der masstheoretisch ublichen Sichtweise ist das der Raum der messbaren Pettis integrierbaren Funktionen wobei m fast uberall gleiche Funktionen identifiziert werden Die 1 Norm fur Pettis integrierbare Funktionen Bearbeiten Ist mit obigen Bezeichnungen f W X displaystyle f Omega rightarrow X nbsp messbar und Pettis integrierbar so ist f 1 sup W f f d m f X f 1 sup T f g g L W A m g 1 displaystyle f 1 sup left int Omega varphi circ f mathrm d mu varphi in X varphi leq 1 right sup T f g g in L infty Omega mathcal A mu g infty leq 1 nbsp endlich 1 displaystyle cdot 1 nbsp ist eine Halbnorm auf P 1 W A m X displaystyle P 1 Omega mathcal A mu X nbsp und eine Norm auf P 1 W A m X displaystyle P 1 Omega mathcal A mu X nbsp Dieser normierte Raum ist in der Regel nicht vollstandig die Vervollstandigung sei P 1 W A m X displaystyle overline P 1 Omega mathcal A mu X nbsp Injektives Tensorprodukt Bearbeiten Es seien wieder W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp ein endlicher vollstandiger Massraum und X displaystyle X nbsp ein Banachraum Dann ist L 1 W A m X P 1 W A m X f x f x displaystyle L 1 Omega mathcal A mu times X rightarrow overline P 1 Omega mathcal A mu X f x mapsto f cdot x nbsp eine bilineare Abbildung und es gilt W f x d m W f d m x X displaystyle int Omega f cdot x mathrm d mu left int Omega f mathrm d mu right x in X nbsp Diese bilineare Abbildung definiert eine lineare Abbildung auf dem Tensorprodukt L 1 W A m X P 1 W A m X displaystyle L 1 Omega mathcal A mu otimes X rightarrow overline P 1 Omega mathcal A mu X nbsp Vervollstandigt man dieses Tensorprodukt zum injektiven Tensorprodukt so erhalt man einen isometrischen Isomorphismus L 1 W A m e X P 1 W A m X displaystyle L 1 Omega mathcal A mu hat otimes varepsilon X rightarrow overline P 1 Omega mathcal A mu X nbsp 6 Einzelnachweise Bearbeiten Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Kapitel 3 3 The Dual Space of L 1 m e X displaystyle L 1 mu hat otimes varepsilon X nbsp and the Pettis Integral Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Lecture Notes in Mathematics 485 Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 6 1 Theorem 3 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Seite 53 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Seite 52 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Satz 3 7 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Satz 3 13 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pettis Integral amp oldid 201495570
