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Satz von Fischer Riesz Der ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis Ernst Sigismund Fischer und Frigyes Riesz bewiese

Satz von Fischer-Riesz

Der Satz von Fischer-Riesz ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis. Ernst Sigismund Fischer und Frigyes Riesz bewiesen im Jahr 1907 unabhängig voneinander diesen Satz. Aus diesem Grund trägt die Aussage ihre Namen. In der Literatur finden sich heute unterschiedliche Sätze, die ihren Namen tragen und zum Teil Verallgemeinerungen dieses Satzes sind.

Klassischer Satz von Fischer-Riesz Bearbeiten

Fischer und Riesz bewiesen die folgende Aussage. Der Raum der quadrat-integrierbaren Funktionen ist isometrisch isomorph zum Folgenraum der quadrat-summierbaren Funktionen also

Dies kann man auch weniger abstrakt in der Sprache der reellen Analysis formulieren. So ist eine messbare Funktion genau dann in , wenn ihre Fourier-Reihe bezüglich der -Norm konvergiert. Im Folgenden wird der -Raum von dem Intervall gebildet, dies erspart Normierungen, jedoch ist die Aussage auch für alle anderen kompakten Intervalle richtig.

Die am -ten Glied abgebrochene Fourier-Reihe einer quadrat-integrierbaren Funktion ist

wobei der n-te Koeffizient der Reihe ist, welche durch

gegeben ist. Für eine quadrat-integrierbare Funktion gilt also dann

Der Isomorphismus zwischen und ist also die Transformation in eine Fourier-Reihe.

Verallgemeinerter Satz von Fischer-Riesz Bearbeiten

Oftmals findet man auch folgende, allgemeinere Aussage unter dem Namen Satz von Fischer-Riesz.

Aussage Bearbeiten

Ist ein Hilbertraum und eine Orthonormalbasis von , so ist die Abbildung

ein isometrischer Isomorphismus.

Folgerungen Bearbeiten

  • Seien und zwei Indexmengen. Zwei Hilberträume und mit Orthonormalbasen und sind isometrisch isomorph, wenn und die gleiche Kardinalität haben.
  • Jedes Orthonormalsystem in einem Hilbertraum kann zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden (was sich unmittelbar aus dem Lemma von Zorn ergibt), insbesondere besitzt jeder Hilbertraum, da die leere Menge stets ein Orthonormalsystem ist, eine Orthonormalbasis . Somit ist nach dem Satz von Fischer-Riesz jeder Hilbertraum isomorph zum Raum .
  • Anders ausgedrückt: Die volle Unterkategorie der Räume für beliebige Mengen in der Kategorie der Hilberträume mit geeigneten Morphismen (lineare Operatoren, beschränkte lineare Operatoren, lineare Kontraktionen) ist äquivalent zu dieser.

Vollständigkeit der Lp-Räume Bearbeiten

Die Aussage, dass die -Räume für mit der Norm

Banachräume, also insbesondere vollständig sind, wird auch oftmals als Satz von Fischer-Riesz bezeichnet.

Für den Fall und als Lebesgue-Maß folgt dies nämlich aus dem Beweis des (klassischen) Satzes von Fischer-Riesz. So konvergiert die Folge genau dann in , wenn eine -Funktion ist.

Für ergibt sich die Vollständigkeit des -Raumes beispielsweise wegen dessen Reflexivität, die aus der Dualität von Lp-Räumen resultiert. Jeder reflexive normierte Raum ist ein Banachraum, denn er ist nach Definition isomorph zum vollständigen Bidualraum.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Sur les systèmes orthogonaux de fonctions, C. R. Paris 144 (1907) 615-619

Literatur Bearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6
  • H. Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, 2006, ISBN 3-8351-0026-2, enthält historische Bemerkungen
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Der Satz von Fischer Riesz ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis Ernst Sigismund Fischer und Frigyes Riesz bewiesen im Jahr 1907 1 unabhangig voneinander diesen Satz Aus diesem Grund tragt die Aussage ihre Namen In der Literatur finden sich heute unterschiedliche Satze die ihren Namen tragen und zum Teil Verallgemeinerungen dieses Satzes sind Inhaltsverzeichnis 1 Klassischer Satz von Fischer Riesz 2 Verallgemeinerter Satz von Fischer Riesz 2 1 Aussage 2 2 Folgerungen 3 Vollstandigkeit der Lp Raume 4 Einzelnachweise 5 LiteraturKlassischer Satz von Fischer Riesz BearbeitenFischer und Riesz bewiesen die folgende Aussage Der Raum L 2 0 1 displaystyle L 2 0 1 nbsp der quadrat integrierbaren Funktionen ist isometrisch isomorph zum Folgenraum ℓ 2 N displaystyle ell 2 mathbb N nbsp der quadrat summierbaren Funktionen also L 2 0 1 ℓ 2 N displaystyle L 2 0 1 cong ell 2 mathbb N nbsp Dies kann man auch weniger abstrakt in der Sprache der reellen Analysis formulieren So ist eine messbare Funktion genau dann in L 2 p p displaystyle L 2 pi pi nbsp wenn ihre Fourier Reihe bezuglich der L 2 displaystyle L 2 nbsp Norm konvergiert Im Folgenden wird der L 2 displaystyle L 2 nbsp Raum von dem Intervall p p displaystyle pi pi nbsp gebildet dies erspart Normierungen jedoch ist die Aussage auch fur alle anderen kompakten Intervalle richtig Die am N displaystyle N nbsp ten Glied abgebrochene Fourier Reihe einer quadrat integrierbaren Funktion f displaystyle f nbsp ist F N f x n N N a n e i n x displaystyle mathcal F N f x sum n N N a n mathrm e inx nbsp wobei a n displaystyle a n nbsp der n te Koeffizient der Reihe ist welche durch a n 1 2 p p p f x e i n x d x displaystyle a n frac 1 2 pi int pi pi f x mathrm e inx mathrm d x nbsp gegeben ist Fur eine quadrat integrierbare Funktion f displaystyle f nbsp gilt also dann lim N F N f f L 2 lim N n N N a n e i n f L 2 0 displaystyle lim N to infty left Vert mathcal F N f f right L 2 lim N to infty left Vert sum n N N a n mathrm e in cdot f right L 2 0 nbsp Der Isomorphismus zwischen L 2 displaystyle L 2 nbsp und ℓ 2 N displaystyle ell 2 mathbb N nbsp ist also die Transformation in eine Fourier Reihe Verallgemeinerter Satz von Fischer Riesz BearbeitenOftmals findet man auch folgende allgemeinere Aussage unter dem Namen Satz von Fischer Riesz Aussage Bearbeiten Ist H displaystyle H nbsp ein Hilbertraum und e i i I displaystyle left e i right i in I nbsp eine Orthonormalbasis von H displaystyle H nbsp so ist die Abbildung F H ℓ 2 I x x e i i I displaystyle Phi colon H to ell 2 I quad x mapsto left langle x e i rangle right i in I nbsp ein isometrischer Isomorphismus Folgerungen Bearbeiten Seien I displaystyle I nbsp und J displaystyle J nbsp zwei Indexmengen Zwei Hilbertraume H displaystyle H nbsp und K displaystyle K nbsp mit Orthonormalbasen e i i I displaystyle left e i right i in I nbsp und e j j J displaystyle left e j right j in J nbsp sind isometrisch isomorph wenn I displaystyle I nbsp und J displaystyle J nbsp die gleiche Kardinalitat haben Jedes Orthonormalsystem in einem Hilbertraum kann zu einer Orthonormalbasis erganzt werden was sich unmittelbar aus dem Lemma von Zorn ergibt insbesondere besitzt jeder Hilbertraum da die leere Menge stets ein Orthonormalsystem ist eine Orthonormalbasis B displaystyle B nbsp Somit ist nach dem Satz von Fischer Riesz jeder Hilbertraum isomorph zum Raum ℓ 2 B displaystyle ell 2 B nbsp Anders ausgedruckt Die volle Unterkategorie der Raume ℓ 2 I displaystyle ell 2 I nbsp fur beliebige Mengen I displaystyle I nbsp in der Kategorie der Hilbertraume mit geeigneten Morphismen lineare Operatoren beschrankte lineare Operatoren lineare Kontraktionen ist aquivalent zu dieser Aus dem Satz lasst sich folgern dass jeder separable unendlichdimensionale Hilbertraum zum Folgenraum ℓ 2 N displaystyle ell 2 mathbb N nbsp isometrisch isomorph ist Vollstandigkeit der Lp Raume Bearbeiten Hauptartikel Dualitat von L p displaystyle L p nbsp Raumen Die Aussage dass die L p W m displaystyle L p Omega mu nbsp Raume fur 1 p displaystyle 1 leq p leq infty nbsp mit der Norm f p W f x p d m x 1 p displaystyle f p left int Omega f x p mathrm d mu x right 1 p nbsp Banachraume also insbesondere vollstandig sind wird auch oftmals als Satz von Fischer Riesz bezeichnet Fur den Fall p 2 displaystyle p 2 nbsp und m displaystyle mu nbsp als Lebesgue Mass folgt dies namlich aus dem Beweis des klassischen Satzes von Fischer Riesz So konvergiert die Folge a n W f x e i n x d m x displaystyle textstyle a n int Omega f x mathrm e inx mathrm d mu x nbsp genau dann in ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp wenn f displaystyle f nbsp eine L 2 displaystyle L 2 nbsp Funktion ist Fur 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp ergibt sich die Vollstandigkeit des L p displaystyle L p nbsp Raumes beispielsweise wegen dessen Reflexivitat die aus der Dualitat von Lp Raumen resultiert Jeder reflexive normierte Raum ist ein Banachraum denn er ist nach Definition isomorph zum vollstandigen Bidualraum Einzelnachweise Bearbeiten Sur les systemes orthogonaux de fonctions C R Paris 144 1907 615 619Literatur BearbeitenDirk Werner Funktionalanalysis Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 H Heuser Funktionalanalysis Teubner Verlag 2006 ISBN 3 8351 0026 2 enthalt historische Bemerkungen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Fischer Riesz amp oldid 217745143