Dualität von Lp-Räumen

Unter Dualität von L^p-Räumen, kurz L^p-Dualität, versteht man eine Reihe von Sätzen aus dem mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis, die sich mit den Dualräumen von L^p-Räumen beschäftigen, wobei eine reelle Zahl ist. Die wesentliche Aussage lautet, dass Dualräume von L^p-Räumen wieder von dieser Art sind, nämlich L^q-Räume, wobei sein muss. Das heißt, in einprägsamer Form gilt .

Der Fall p > 1

Es sei der sogenannte zu konjugierte Exponent, das heißt diejenige Zahl , für die gilt. Dies ist äquivalent mit . Ist weiter ein Maßraum, dann kann man die Banachräume und über dem Körper bilden, wobei für oder steht. Wie üblich werden fast überall übereinstimmende Funktionen ohne weitere Hinweise identifiziert, um eine umständliche Sprech- und Schreibweise über Äquivalenzklassen von Funktionen zu vermeiden. Nach der Hölderschen Ungleichung gilt

wobei die Norm auf dem L^p-Raum bezeichnet und entsprechend . Diese Abschätzung zeigt, dass

ein beschränktes lineares Funktional auf , also ein Element des Dualraums ist, mit . Mit Hilfe des Satzes von Radon-Nikodým kann man zeigen, dass jedes beschränkte lineare Funktional auf von dieser Form ist und dass für die Normen sogar Gleichheit gilt. Man hat daher folgenden Satz:

ein isometrischer Isomorphismus.

Genau dieser Isomorphismus ist gemeint, wenn man kurz schreibt.

Da und ja in einer symmetrischen Beziehung zueinander stehen, ergibt sich aus diesem Satz sofort

Verwendet man die im Satz angegebenen Isomorphismen, so erkennt man, dass es sich hier um die kanonische Einbettung von in seinen Bidualraum handelt. Die L^p-Räume sind für also reflexiv.

Obiger Satz, der manchmal nicht ganz korrekt als Satz von Riesz zitiert wird, hat mehrere Väter. Der bereits 1907 bewiesene Hilbertraum-Fall geht auf M. Fréchet zurück. Das Einheitsintervall steht hier für den Maßraum [0,1] mit der Borelschen σ-Algebra und dem auf [0,1] eingeschränkten Lebesgue-Maß. Die Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf beliebige Hilberträume ist auch als Darstellungssatz von Fréchet-Riesz (oder Rieszscher Darstellungssatz) bekannt. F. Riesz hat drei Jahre später den Fall für bewiesen. Das wurde dann von O. M. Nikodým auf den Fall endlicher Maßräume verallgemeinert. Der allgemeinste Fall eines beliebigen Maßraums wurde schließlich 1950 von E. J. McShane behandelt.

Ein sehr einfacher Spezialfall sind die Folgenräume , die man erhält, wenn man und für das Zählmaß nimmt. Die Elemente aus werden als Folgen geschrieben, wobei eine solche Folge für die -Funktion steht. Für die Dualität zwischen und erhält man an Stelle obiger Integrale eine Summe:

Diese Aussage kann auch ohne maßtheoretischen Aufwand bewiesen werden.

Der Fall p = 1

Ein entsprechender Satz über den Dualraum von L¹-Räumen gilt nicht in voller Allgemeinheit. Bildet man den zu 1 konjugierten Exponenten, so muss man nehmen. H. Steinhaus konnte 1919 in der Tat

zeigen, wobei die isometrische Isomorphie durch den zum oben definierten Operator analogen Operator vermittelt wird. Die zusätzliche Schwierigkeit besteht letztlich darin, dass die auftretenden Räume, von trivialen Ausnahmen abgesehen, nicht mehr reflexiv sind. Es lässt sich aber noch folgender Satz zeigen:

ein isometrischer Isomorphismus.

Auf die zusätzliche Voraussetzung der -Endlichkeit des Maßraums kann nicht verzichtet werden. Betrachtet man zum Beispiel auf die -Algebra derjenigen Mengen, die abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar ist, und als Maß das Zählmaß, so ist der Raum aller Funktionen , die höchstens an abzählbar vielen Stellen von null verschieden sind und für die gilt. Offenbar ist durch ein beschränktes lineares Funktional auf definiert. Wäre dieses von der Form für ein , so müsste konstant gleich 1 auf und konstant gleich 0 auf sein. Eine solche Funktion ist aber nicht -messbar. Daher kann in diesem Beispiel die im Satz beschriebene Isomorphie nicht bestehen.

Es gibt aber eine wichtige Situation, die auch gewisse nicht--endliche Maßräume umfasst, in der man dennoch zu einem befriedigenden Resultat kommt, nämlich die der lokalkompakten Gruppen. In der harmonischen Analyse ist folgender Satz wichtig:

ein isometrischer Isomorphismus.

Dabei heißt das Maß regulär, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

• für alle kompakten Teilmengen ,
• für alle offenen Teilmengen ,
• für alle Borelmengen .

Der Satz gilt also insbesondere auch für das Haarsche Maß auf , das heißt, man kann den Dualraum der Gruppenalgebra auch für nicht--endliche Gruppen durch obigen Satz beschreiben.

Der Fall 0 < p < 1

Für ist L^p(X,A,μ) zwar kein normierter Raum, aber immerhin ein vollständiger topologischer Vektorraum mit der Quasinorm

bzw. der Pseudonorm oder Fréchet-Metrik

Diese Räume sind im Allgemeinen nicht lokalkonvex, der Satz von Hahn-Banach also im Allgemeinen nicht anwendbar, sodass es möglicherweise „sehr wenige“ lineare stetige Funktionale gibt. Insbesondere ist nicht gesichert, dass die schwache Topologie auf Punkte trennen kann.

Prototypisch ist das Beispiel mit der Borel-Algebra über dem Intervall und dem Borel-Lebesgue-Maß . Hier sind die einzigen konvexen offenen Mengen die leere Menge und der gesamte Raum selbst. Da Urbilder konvexer offener Mengen in unter einem linearen stetigen Funktional konvexe offene Mengen in sind, folgt, dass das Nullfunktional das einzige lineare stetige Funktional ist. Der Dualraum ist somit trivial:

Insbesondere ist in diesem Raum die Aussage des Trennungssatzes nicht gültig, da sich keine zwei Punkte durch eine abgeschlossene Hyperebene trennen lassen. Die schwache Topologie auf ist indiskret.

Es gibt aber auch weniger extreme Beispiele, wie die Folgenräume mit dem Zählmaß . Diese Räume besitzen zwar nichttriviale absolutkonvexe offene Mengen, aber nicht genug um eine Nullumgebungsbasis zu bilden: Da jede konvexe offene Menge in unbeschränkt ist, sind auch die nicht lokalkonvex. Trotzdem gibt es „viele“ lineare stetige Funktionale. Es gilt nämlich für :

Die Inklusion „“ sieht man leicht, denn für und gilt:

Für , und das Zählmaß, also mit der -Quasinorm, ist die Topologie auf diesem Raum sogar mit der üblichen Topologie des identisch, da es auf jedem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum genau eine Hausdorff-Topologie gibt, die den Raum zu einem topologischen Vektorraum macht. Obwohl die Kugeln in der erzeugenden Quasinorm nicht konvex sind, erzeugt diese eine lokalkonvexe Topologie:

Der Satz von Hahn-Banach ist anwendbar und der Dualraum wieder , wie im euklidischen bzw. unitären Fall. Die schwache Topologie ist aus den gleichen Gründen wie oben mit der -Quasinormtopologie sowie der üblichen Topologie identisch.

Banachraum-wertige L^p-Funktionen

Ist neben dem Maßraum noch ein Banachraum gegeben, so kann man den Raum aller -messbaren Funktionen , für die das Integral endlich ist, bilden, wobei wie üblich fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden (siehe auch Bochner-Integral). Die Norm

macht zu einem Banachraum. Sind nun und , so kann man

bilden, und es gilt:

Man erhält daher wieder eine Abbildung

und man kann folgenden Satz zeigen:

ein isometrischer Isomorphismus.

Es gilt also die erwartete und leicht einprägsame Formel

Gewichtete l^p-Räume

Es sei eine Folge positiver Zahlen, sogenannter Gewichte, gegeben. Der zugehörige gewichtete -Raum ist der Folgenraum

mit der Norm

Dies ist nichts anderes als der Raum , wobei das Maß durch definiert ist. Wendet man darauf obigen Satz über die L^p-Dualität an, erhält man einen isometrischen Isomorphismus

In der Theorie der Folgenräume betrachtet man aber lieber eine durch den Ausdruck gegebene Dualität, das heißt, man möchte die Faktoren vermeiden. Dazu muss man von der Folge zur Folge übergehen. Da , gilt

wobei für die aus den Kehrwerten der gebildete Folge von Gewichten steht. Man erhält also einen isometrischen Isomorphismus

Kombiniert man diesen mit obigem isometrischen Isomorphismus , so gelangt man zu:

ein isometrischer Isomorphismus.

Dieser isometrische Isomorphismus ist gemeint, wenn man

schreibt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dieser nicht der isometrische Isomorphismus aus dem allgemeinen Satz über L^p-Dualität ist, außer wenn alle Gewichte gleich 1 sind.

Einzelnachweise

1. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17
2. Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part I, General Theory. ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 1
3. M. Fréchet: Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéares, C. R. Acad Sci Paris 144 (1907), Seiten 1414–1416
4. F. Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69 (1910), Seiten 449–497
5. O. M. Nikodým :Contribution à la théorie des fonctionelles linéaires en connexion avec la théorie de la mesure des ensembles abstraits, Mathematica Cluj 5 (1931), Seiten 130–141
6. E. J. McShane: Linear functionals on certain Banach spaces, Proc Amer. Math. Soc. 1 (1950), Seiten 401-408
7. H. Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Zeitschrift 5 (1919), Seiten 186–221
8. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17
9. Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part I, General Theory. ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 5
10. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 9.4.8
11. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, Kapitel 6, S. 223–225, 229–234, 263, 268. 
12. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, Kapitel X: Integrationstheorie, Aufgabe 13, S. 131. 
13. Walter Rudin: Functional Analysis. 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 36–37. 
14. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11, S. 140. 
15. S. M. Khaleelulla: Counterexamples in Topological Vector Spaces. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1982, ISBN 978-3-540-39268-2, Chapter 1 Example 3(ii), S. 13. 
16. Klaus Floret, Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume. 1. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 978-3-540-35855-8, §3.4, S. 17. 
17. R. E. Edwards: Functional Analysis: Theory And Applications, Dover Publications, ISBN 0-486-68143-2, 8.20
18. K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968, ISBN 3-540-04226-1, §5.4