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Fréchet Metrik nach Maurice René Fréchet ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis Sie stellt eine Verbindung zwischen

Fréchet-Metrik

Fréchet-Metrik (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her.

Definition Bearbeiten

Sei ein beliebiger reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Fréchet-Metrik ist eine Funktion , die für folgende Bedingungen erfüllt:

  2. , wobei

Das heißt, ist symmetrisch, nichtnegativ und erfüllt die Dreiecksungleichung.

Beispiele Bearbeiten

  • Jede Norm auf ist eine Fréchet-Metrik, denn erfüllt offensichtlich die Bedingungen (2) und (3). Die Gültigkeit von (1) folgt aus der Homogenität von Normen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist für die Fréchet-Metrik

    keine Norm, da sie nicht homogen ist.
  • Ist eine abzählbare Familie von Halbnormen auf dem Vektorraum mit der Eigenschaft
    für alle
    dann wird durch

    eine Fréchet-Metrik definiert, die dieselbe Topologie erzeugt wie die Familie von Halbnormen.
  • Die -Räume für ausgestattet mit der Fréchet-Metrik

    sind Beispiele für im Allgemeinen nicht lokalkonvexe Räume.

Anwendungen Bearbeiten

  • Durch eine Fréchet-Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermöge . Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist, folgt direkt aus der Definition der Fréchet-Metrik.
  • Umgekehrt gilt: Jede Metrik auf einem Vektorraum, die translationsinvariant ist, d. h. , entsteht durch genau eine solche Fréchet-Metrik.
  • Ein (Hausdorffscher) topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist.
  • Wenn ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Fréchet-Metrik die zusätzlichen Eigenschaften hat, dass er vollständig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist, dann handelt es sich um einen Fréchet-Raum.

Literatur Bearbeiten

  • H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Aufl., Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43947-1.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11, S. 140.
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Veröffentlichungsdatum:
Frechet Metrik nach Maurice Rene Frechet ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Anwendungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei V displaystyle V nbsp ein beliebiger reeller oder komplexer Vektorraum Eine Frechet Metrik ist eine Funktion ϱ V R displaystyle varrho colon V to mathbb R nbsp die fur x y V displaystyle x y in V nbsp folgende Bedingungen erfullt ϱ x ϱ x displaystyle varrho x varrho x nbsp ϱ x 0 displaystyle varrho x geq 0 nbsp wobei ϱ x 0 x 0 displaystyle varrho x 0 iff x 0 nbsp ϱ x y ϱ x ϱ y displaystyle varrho x y leq varrho x varrho y nbsp Das heisst ϱ displaystyle varrho nbsp ist symmetrisch nichtnegativ und erfullt die Dreiecksungleichung Beispiele BearbeitenJede Norm x x displaystyle x mapsto x nbsp auf V displaystyle V nbsp ist eine Frechet Metrik denn displaystyle cdot nbsp erfullt offensichtlich die Bedingungen 2 und 3 Die Gultigkeit von 1 folgt aus der Homogenitat von Normen Die Umkehrung gilt jedoch nicht Beispielsweise ist fur V R n displaystyle V mathbb R n nbsp die Frechet Metrik ϱ x x 1 x displaystyle varrho x frac x 1 x nbsp keine Norm da sie nicht homogen ist Ist p k k N displaystyle p k k in mathbb N nbsp eine abzahlbare Familie von Halbnormen auf dem Vektorraum V displaystyle V nbsp mit der Eigenschaft p k x 0 displaystyle p k x 0 nbsp fur alle k N x 0 displaystyle k in mathbb N Longrightarrow x 0 nbsp dann wird durch ϱ x k N 1 2 k p k x 1 p k x displaystyle varrho x sum k in mathbb N frac 1 2 k frac p k x 1 p k x nbsp eine Frechet Metrik definiert die dieselbe Topologie erzeugt wie die Familie von Halbnormen Die L p displaystyle L p nbsp Raume fur 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 nbsp ausgestattet mit der Frechet Metrik ϱ p f W f x p d m x displaystyle varrho p f int Omega left f x right p mathrm d mu x nbsp sind Beispiele fur im Allgemeinen nicht lokalkonvexe Raume 1 Anwendungen BearbeitenDurch eine Frechet Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermoge d x y ϱ x y displaystyle d x y varrho x y nbsp Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist folgt direkt aus der Definition der Frechet Metrik Umgekehrt gilt Jede Metrik d displaystyle d nbsp auf einem Vektorraum die translationsinvariant ist d h d x c y c d x y displaystyle d x c y c d x y nbsp entsteht durch genau eine solche Frechet Metrik Ein Hausdorffscher topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Frechet Metrik die seine Topologie erzeugt wenn er erstabzahlbar ist Wenn ein reeller oder komplexer Vektorraum mit Frechet Metrik die zusatzlichen Eigenschaften hat dass er vollstandig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist dann handelt es sich um einen Frechet Raum Literatur BearbeitenH W Alt Lineare Funktionalanalysis 4 Aufl Springer Berlin 2002 ISBN 3 540 43947 1 Einzelnachweise Bearbeiten H W Alt Lineare Funktionalanalysis Eine anwendungsorientierte Einfuhrung 6 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 ISBN 978 3 642 22260 3 Kapitel 2 Teilmengen von Funktionenraumen U2 11 S 140 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Frechet Metrik amp oldid 174845787