Gruppen-C*-Algebren werden in den mathematischen Teilgebieten der harmonischen Analyse und Funktionalanalysis untersucht. Einer lokalkompakten Gruppe wird in natürlicher Weise eine C*-Algebra zugeordnet, so dass diese die Darstellungstheorie der Gruppe enthält.
Unitäre Darstellungen lokalkompakter Gruppen Bearbeiten
Definition Bearbeiten
Für einen Hilbertraum bezeichne die C*-Algebra der beschränkten linearen Operatoren auf und die multiplikative Gruppe der unitären Operatoren.
Es sei eine lokalkompakte Gruppe. Eine unitäre Darstellung von auf einem Hilbertraum ist ein Homomorphismus , der bezüglich der schwachen Operatortopologie stetig ist.
Die linksreguläre Darstellung Bearbeiten
Um eine erfolgreiche Theorie unitärer Darstellungen aufbauen zu können, muss es genügend viele solcher Darstellungen geben, um die Gruppe treu, das heißt injektiv, darstellen zu können. Das wird durch die linksreguläre Darstellung geleistet. Zu einer lokalkompakten Gruppe gibt es bekanntlich ein links-Haarmaß . Daher kann man den Hilbertraum konstruieren, den man unter Auslassung des Haarschen Maßes kurz als schreibt. Für jedes sei nun durch definiert, wobei und seien.
Aus der Linksinvarianz des Haarschen Maßes folgt, dass die unitäre Operatoren sind. Man zeigt, dass eine unitäre Darstellung ist; dies ist die sogenannte linksreguläre Darstellung.
Bemerkung: Würde man in der Formel das auf der rechten Seite durch ersetzen, so erhielte man immer noch unitäre Operatoren, aber wäre kein Homomorphismus, man hätte in „falscher Reihenfolge“ . Die Verwendung von in obiger Formel bringt die Reihenfolge in Ordnung.
Die Gruppenalgebra Bearbeiten
Wie in der algebraischen Darstellungstheorie werden die Gruppendarstellungen auf Darstellungen zugehöriger Algebren ausgedehnt, weil Darstellungen von Algebren leichter zu handhaben sind.
Zur lokalkompakten Gruppe mit links-Haarschem Maß betrachtet man den -Banachraum . Für definiert man und durch die Formeln
- ,
- ,
wobei der Querstrich für die komplexe Konjugation steht und die modulare Funktion von ist. Man zeigt, dass , die sogenannte Faltung aus und , fast überall definiert ist, und dass mit der Faltung als Produkt und der Involution eine Banach-*-Algebra mit Approximation der Eins ist.
Zu jeder unitären Darstellung der Gruppe konstruiert man eine Darstellung , wobei durch folgende Formel definiert wird:
.
Man kann zeigen, dass die so definierte Darstellung eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung ist, die auch mit der Involution verträglich ist, das heißt, es gilt für alle -Funktionen , wobei der * auf der rechten Seite die Involution in der C*-Algebra ist.
Ist umgekehrt eine nicht-degenerierte *-Darstellung, so gibt es genau eine unitäre Darstellung , so dass sich gemäß obiger Konstruktion aus ergibt. Daher ist die Darstellungstheorie von äquivalent zu derjenigen von .
Die Gruppen-C*-Algebra Bearbeiten
Definition Bearbeiten
Es sei die universelle Darstellung von . Die Gruppen-C*-Algebra einer lokalkompakten Gruppe ist als der Normabschluss von in definiert. Ist also irgendeine nicht-degenerierte *-Darstellung, so gibt es nach Konstruktion einen surjektiven Homomorphismus , wobei der Querstrich für den Normabschluss in steht.
Der kommutative Fall Bearbeiten
Ist beispielsweise kommutativ und die Dualgruppe, so definiert jedes via Pontrjagin-Dualität einen Homomorphismus . Der durch definierte Multiplikationsoperator auf ist unitär, da nur Werte vom Betrag 1 annimmt. Man erhält daher eine unitäre Darstellung , was zu einer nicht-degenerierten *-Darstellung führt, deren Normabschluss isomorph zur C*-Algebra der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen ist. Nach obiger Konstruktion erhält man also einen surjektiven Homomorphismus , von dem man zeigen kann, dass er sogar ein Isomorphismus ist; man hat also die Formel .
Im Allgemeinen liegen nicht so einfache Verhältnisse vor, was auch daran liegt, dass der Hilbertraum der universellen Darstellung unzugänglich ist.
Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra Bearbeiten
Um den mit der universellen Darstellung verbundenen Schwierigkeiten aus dem Wege zu gehen, liegt es nahe, die linksreguläre Darstellung zu betrachten, denn dann hat man es nur mit dem Hilbertraum zu tun. Die zugehörige Darstellung ist nichts weiter als die Faltung: , wobei und . Den Normabschluss von in nennt man die reduzierte Gruppen-C*-Algebra und bezeichnet diese mit .
Nach oben vorgestellter Konstruktion setzt sich die linksreguläre Darstellung zu einem surjektiven Homomorphismus fort. Dieser ist im Allgemeinen nicht injektiv, obwohl die linksreguläre Darstellung von es ist. Man kann zeigen, dass dieser genau dann ein Isomorphismus ist, wenn die Gruppe mittelbar ist.
Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra enthält nicht die volle Darstellungstheorie der Gruppe, sofern diese nicht mittelbar ist, wie das Beispiel der von zwei Elementen frei erzeugten Gruppe zeigt. Man kann beweisen, dass viele endlichdimensionale Darstellungen besitzt, wohingegen einfach ist und daher keine endlichdimensionalen Darstellungen besitzen kann.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Jacques Dixmier: C*-Algebras. North-Holland Publishing Company, 1977, ISBN 0-7204-0762-1, Kapitel 13.2.
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Satz 7.1.4.
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Satz 7.1.6.
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Satz 7.2.1.
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.3.9.
- K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Satz VII.6.1.
- K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Korollar VII,7.5