Dieser Artikel behandelt die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren deren Ergebnis ein Vektor ist Fur die Multiplikation zweier Vektoren deren Ergebnis ein Skalar ist siehe Skalarprodukt Die Skalarmultiplikation auch S Multiplikation oder skalare Multiplikation genannt ist eine aussere zweistellige Verknupfung zwischen einem Skalar und einem Vektor die in der Definition von Vektorraumen gefordert wird Die Skalare sind dabei Elemente des Korpers uber dem der Vektorraum definiert ist Auch die analoge Verknupfung bei Moduln wird Skalarmultiplikation genannt Skalarmultiplikation in der euklidischen Ebene der Vektor w wird mit der Zahl 2 multipliziert und der Vektor v mit der Zahl 1Das Ergebnis einer Skalarmultiplikation ist ein entsprechend skalierter Vektor Im anschaulichen Fall euklidischer Vektorraume verlangert oder verkurzt die Skalarmultiplikation die Lange des Vektors um den angegebenen Faktor Bei negativen Skalaren wird dabei zusatzlich die Richtung des Vektors umgekehrt Eine spezielle Form einer solchen Skalierung ist die Normierung Hierbei wird ein Vektor mit dem Kehrwert seiner Lange allgemein seiner Norm multipliziert wodurch man einen Einheitsvektor mit Lange oder Norm eins erhalt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Neutralitat 2 2 Inverse 3 Beispiele 3 1 Koordinatenvektoren 3 2 Matrizen 3 3 Polynome 3 4 Funktionen 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenIst V displaystyle V nbsp ein Vektorraum uber dem Korper K displaystyle K nbsp dann ist die Skalarmultiplikation eine zweistellige Verknupfung K V V displaystyle odot colon K times V to V nbsp die per Definition des Vektorraumes gemischt assoziativ und distributiv ist also fur alle Vektoren u v V displaystyle u v in V nbsp und alle Skalare a b K displaystyle alpha beta in K nbsp folgende Eigenschaften erfullt a b v a b v displaystyle alpha odot beta odot v alpha cdot beta odot v nbsp a u v a u a v displaystyle alpha odot u oplus v alpha odot u oplus alpha odot v nbsp a b v a v b v displaystyle alpha beta odot v alpha odot v oplus beta odot v nbsp Zudem gilt die Neutralitat des Einselements 1 displaystyle 1 nbsp des Korpers 1 v v displaystyle 1 odot v v nbsp Hierbei bezeichnet displaystyle oplus nbsp die Vektoraddition in V displaystyle V nbsp sowie displaystyle nbsp und displaystyle cdot nbsp jeweils die Addition und die Multiplikation im Korper K displaystyle K nbsp Haufig wird sowohl fur die Vektoraddition als auch fur die Korperaddition das Pluszeichen displaystyle nbsp und sowohl fur die Skalarmultiplikation als auch fur die Korpermultiplikation das Malzeichen displaystyle cdot nbsp verwendet Dieser Konvention wird auch aufgrund der einfacheren Lesbarkeit im weiteren Verlauf dieses Artikels gefolgt Das Multiplikationssymbol wird oft auch weggelassen und man schreibt kurz a b displaystyle alpha beta nbsp statt a b displaystyle alpha cdot beta nbsp und a v displaystyle alpha v nbsp statt a v displaystyle alpha cdot v nbsp Eigenschaften BearbeitenNeutralitat Bearbeiten Bezeichnet 0 K K displaystyle 0 K in K nbsp das Nullelement des Korpers und 0 V V displaystyle 0 V in V nbsp den Nullvektor des Vektorraums dann gilt fur alle Vektoren v V displaystyle v in V nbsp 0 K v 0 V displaystyle 0 K cdot v 0 V nbsp denn es gilt mit dem zweiten Distributivgesetz 0 K v 0 K v 0 K 0 K v 0 K v displaystyle 0 K cdot v 0 K cdot v 0 K 0 K cdot v 0 K cdot v nbsp und deswegen muss 0 K v displaystyle 0 K cdot v nbsp der Nullvektor sein Entsprechend gilt fur alle Skalare a K displaystyle alpha in K nbsp a 0 V 0 V displaystyle alpha cdot 0 V 0 V nbsp denn es gilt mit dem ersten Distributivgesetz a 0 V a 0 V a 0 V 0 V a 0 V displaystyle alpha cdot 0 V alpha cdot 0 V alpha cdot 0 V 0 V alpha cdot 0 V nbsp und daher muss auch hier a 0 V displaystyle alpha cdot 0 V nbsp der Nullvektor sein Insgesamt erhalt man so a v 0 V a 0 K oder v 0 V displaystyle alpha cdot v 0 V Leftrightarrow alpha 0 K text oder v 0 V nbsp denn aus a v 0 V displaystyle alpha cdot v 0 V nbsp folgt entweder a 0 K displaystyle alpha 0 K nbsp oder a 0 K displaystyle alpha neq 0 K nbsp und dann v a 1 0 V 0 V displaystyle v alpha 1 cdot 0 V 0 V nbsp wobei a 1 displaystyle alpha 1 nbsp das multiplikativ inverse Element zu a displaystyle alpha nbsp ist Inverse Bearbeiten Bezeichnet nun 1 displaystyle 1 nbsp das additiv inverse Element zum Einselement 1 displaystyle 1 nbsp und v displaystyle v nbsp den inversen Vektor zu v displaystyle v nbsp dann gilt 1 v v displaystyle 1 cdot v v nbsp denn mit der Neutralitat der Eins erhalt man 0 K 0 K v 1 1 v 1 v 1 v v 1 v displaystyle 0 K 0 K cdot v 1 1 cdot v 1 cdot v 1 cdot v v 1 cdot v nbsp und damit ist 1 v displaystyle 1 cdot v nbsp der inverse Vektor zu v displaystyle v nbsp Ist nun allgemein a displaystyle alpha nbsp das additiv inverse Element zu a displaystyle alpha nbsp dann gilt a v a v a v displaystyle alpha cdot v alpha cdot v alpha cdot v nbsp denn mit b 1 displaystyle beta 1 nbsp erhalt man durch das gemischte Assoziativgesetz a v b a v b a v a v displaystyle alpha cdot v beta alpha cdot v beta cdot alpha cdot v alpha cdot v nbsp sowie mit der Kommutativitat der Multiplikation zweier Skalare a v a b v a b v a v displaystyle alpha cdot v alpha beta cdot v alpha cdot beta cdot v alpha cdot v nbsp Beispiele BearbeitenKoordinatenvektoren Bearbeiten Ist V K n displaystyle V K n nbsp der Koordinatenraum und v v 1 v n T K n displaystyle v v 1 ldots v n T in K n nbsp ein Koordinatenvektor so wird die Multiplikation mit einem Skalar a K displaystyle alpha in K nbsp komponentenweise wie folgt definiert a v a v 1 v n a v 1 a v n displaystyle alpha cdot v alpha cdot begin pmatrix v 1 vdots v n end pmatrix begin pmatrix alpha cdot v 1 vdots alpha cdot v n end pmatrix nbsp Bei der Skalarmultiplikation wird demnach jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert Im dreidimensionalen euklidischen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp erhalt man beispielsweise 3 1 4 2 3 1 3 4 3 2 3 12 6 displaystyle 3 cdot begin pmatrix 1 4 2 end pmatrix begin pmatrix 3 cdot 1 3 cdot 4 3 cdot 2 end pmatrix begin pmatrix 3 12 6 end pmatrix nbsp Matrizen Bearbeiten Ist V K m n displaystyle V K m times n nbsp der Matrizenraum und A a i j K m n displaystyle A a ij in K m times n nbsp eine Matrix so wird die Multiplikation mit einem Skalar a K displaystyle alpha in K nbsp ebenfalls komponentenweise definiert a A a a 11 a 1 n a m 1 a m n a a 11 a a 1 n a a m 1 a a m n displaystyle alpha cdot A alpha cdot begin pmatrix a 11 amp ldots amp a 1n vdots amp ddots amp vdots a m1 amp ldots amp a mn end pmatrix begin pmatrix alpha cdot a 11 amp ldots amp alpha cdot a 1n vdots amp ddots amp vdots alpha cdot a m1 amp ldots amp alpha cdot a mn end pmatrix nbsp Bei der Skalarmultiplikation wird also wiederum jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert Beispielsweise erhalt man fur eine reelle 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix 3 1 2 4 3 3 1 3 2 3 4 3 3 3 6 12 9 displaystyle 3 cdot begin pmatrix 1 amp 2 4 amp 3 end pmatrix begin pmatrix 3 cdot 1 amp 3 cdot 2 3 cdot 4 amp 3 cdot 3 end pmatrix begin pmatrix 3 amp 6 12 amp 9 end pmatrix nbsp Polynome Bearbeiten Ist V K X displaystyle V K X nbsp der Vektorraum der Polynome in der Variablen X displaystyle X nbsp mit Koeffizienten aus einem Korper K displaystyle K nbsp so wird die Multiplikation eines Polynoms P K X displaystyle P in K X nbsp mit einem Skalar a K displaystyle alpha in K nbsp wiederum komponentenweise definiert a P a a 0 a 1 X a n X n a a 0 a a 1 X a a n X n displaystyle alpha P alpha a 0 a 1 X dotsb a n X n alpha a 0 alpha a 1 X dotsb alpha a n X n nbsp Beispielsweise ergibt die Skalarmultiplikation der reellen Polynomfunktion p x x n x displaystyle p x x n x nbsp mit der Zahl 3 displaystyle 3 nbsp das Polynom 3 p x 3 x n x 3 x n 3 x displaystyle 3p x 3 x n x 3x n 3x nbsp Funktionen Bearbeiten Ist V F W W displaystyle V F Omega W nbsp ein linearer Funktionenraum und f F W W displaystyle f in F Omega W nbsp eine Funktion von einer nichtleeren Menge W displaystyle Omega nbsp in einen Vektorraum W displaystyle W nbsp dann wird das Ergebnis der Skalarmultiplikation einer solchen Funktion mit einem Skalar a K displaystyle alpha in K nbsp definiert als die Funktion a f W W x a f x a f x displaystyle alpha f colon Omega to W quad x mapsto alpha f x alpha cdot f x nbsp Betrachtet man beispielsweise den Vektorraum der linearen reellen Funktionen der Form f x a x b displaystyle f x ax b nbsp dann erhalt man durch Skalarmultiplikation mit einer reellen Zahl c displaystyle c nbsp die Funktion c f x c f x c a x b c a x c b displaystyle cf x c cdot f x c cdot ax b cax cb nbsp Durch die Skalarmultiplikation wird demnach jeder Funktionswert um den Faktor c displaystyle c nbsp skaliert Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Vieweg Teubner 2009 ISBN 3 8348 0996 9 Jorg Liesen Volker Mehrmann Lineare Algebra 3 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2021 ISBN 978 3 662 62741 9 doi 10 1007 978 3 662 62742 6 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Scalar Multiplication In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Skalarmultiplikation amp oldid 229956658
