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Montel Raum Der mathematische Begriff bezeichnet eine spezielle Klasse lokalkonvexer Räume Ihren Namen tragen sie nach d

Montel-Raum

Der mathematische Begriff Montel-Raum bezeichnet eine spezielle Klasse lokalkonvexer Räume. Ihren Namen tragen sie nach dem Satz von Montel aus der Funktionentheorie. Viele lokalkonvexe Räume aus der Theorie der Distributionen sind Montelräume.

Definition Bearbeiten

Ein lokalkonvexer Raum heißt Montel-Raum, wenn er quasitonneliert ist und der Abschluss jeder beschränkten Menge kompakt ist.

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften von Montelräumen Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  • Klaus Floret, Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 56, ISSN 0075-8434). Springer, Berlin u. a. 1968, doi:10.1007/BFb0098549.
  • H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971 ISBN 0-387-98726-6
  • H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981 ISBN 3-519-02224-9
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8
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Der mathematische Begriff Montel Raum bezeichnet eine spezielle Klasse lokalkonvexer Raume Ihren Namen tragen sie nach dem Satz von Montel aus der Funktionentheorie Viele lokalkonvexe Raume aus der Theorie der Distributionen sind Montelraume Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften von Montelraumen 4 QuellenDefinition BearbeitenEin lokalkonvexer Raum heisst Montel Raum wenn er quasitonneliert ist und der Abschluss jeder beschrankten Menge kompakt ist Beispiele BearbeitenEin normierter Raum ist genau dann Montelraum wenn er endlich dimensional ist Ist G C displaystyle G subset mathbb C nbsp ein Gebiet und ist H G displaystyle H G nbsp der Raum der holomorphen Funktionen auf G mit den Halbnormen p K f sup z K f z displaystyle textstyle p K f sup z in K f z nbsp wobei K G displaystyle K subset G nbsp die kompakten Teilmengen von G durchlauft so hat nach dem Satz von Montel jede in H G displaystyle H G nbsp beschrankte Menge einen kompakten Abschluss Da H G displaystyle H G nbsp als Frechet Raum auch quasitonneliert ist erweist sich H G displaystyle H G nbsp als Montel Raum Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp offen und E W displaystyle mathcal E Omega nbsp der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen f W R displaystyle f colon Omega rightarrow mathbb R nbsp mit den Halbnormen p K m f sup a m sup x K D a f x displaystyle textstyle p K m f sup alpha leq m sup x in K D alpha f x nbsp so ist E W displaystyle mathcal E Omega nbsp ein Montel Raum Dabei wurde fur a a 1 a n displaystyle alpha alpha 1 ldots alpha n nbsp die Multiindex Schreibweise verwendet Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp offen und D W E W displaystyle mathcal D Omega subset mathcal E Omega nbsp der Unterraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit einem kompakten Trager in W displaystyle Omega nbsp Fur kompaktes K W displaystyle K subset Omega nbsp sei D K W displaystyle mathcal D K Omega nbsp der Raum der Funktionen mit Trager in K mit der von E W displaystyle mathcal E Omega nbsp induzierten Teilraumtopologie Dann gibt es eine feinste lokalkonvexe Topologie auf D W displaystyle mathcal D Omega nbsp die alle Einbettungen D K W D W displaystyle mathcal D K Omega subset mathcal D Omega nbsp stetig macht D W displaystyle mathcal D Omega nbsp mit dieser Topologie ist der Raum der Testfunktionen und ist ein Beispiel fur einen nicht metrisierbaren Montel Raum Sei S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp der Raum aller Funktionen f R n R displaystyle f colon mathbb R n rightarrow mathbb R nbsp fur die alle Suprema p k m f sup a k sup x R n 1 x 2 m D a f x displaystyle textstyle p k m f sup alpha leq k sup x in mathbb R n 1 x 2 m D alpha f x nbsp endlich sind Dabei wurde wieder von der Multiindex Schreibweise Gebrauch gemacht Der Raum S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp mit den Halbnormen p k m k m N 0 displaystyle p k m k m in mathbb N 0 nbsp heisst Raum der schnell fallenden Funktionen und ist ein Montel Raum Vollstandige quasitonnelierte Schwartz Raume sind Montel Raume Jeder lokalkonvexe Raum mit der feinsten lokalkonvexen Topologie das heisst mit der von allen absolutkonvexen absorbierenden Mengen als Nullumgebungsbasis erzeugten Topologie ist ein Montel Raum Eigenschaften von Montelraumen BearbeitenMontel Raume sind reflexiv und daher tonneliert Montel Raume sind quasivollstandig d h jedes beschrankte Cauchy Netz konvergiert Es gibt unvollstandige Montel Raume Direkte Produkte mit der Produkttopologie und direkte Summen mit der Finaltopologie von Montel Raumen sind wieder Montel Raume Im Allgemeinen sind weder abgeschlossene Unterraume noch Quotienten von Montel Raumen wieder Montel Raume Ist E ein Montel Raum so auch der starke Dualraum E Insbesondere sind also die in der Distributionstheorie auftretenden Raume E W displaystyle mathcal E Omega nbsp D W displaystyle mathcal D Omega nbsp und S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp Montel Raume Quellen BearbeitenKlaus Floret Joseph Wloka Einfuhrung in die Theorie der lokalkonvexen Raume Lecture Notes in Mathematics Bd 56 ISSN 0075 8434 Springer Berlin u a 1968 doi 10 1007 BFb0098549 H H Schaefer Topological Vector Spaces Springer 1971 ISBN 0 387 98726 6 H Jarchow Locally Convex Spaces Teubner Stuttgart 1981 ISBN 3 519 02224 9 R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Montel Raum amp oldid 231109571