Dieser Artikel behandelt direkte Summen von Vektorraumen zu direkten Summen von Permutationen siehe Summe von Permutationen Der Begriff direkte Summe bezeichnet in der Mathematik die aussere direkte Summe und die innere direkte Summe In beiden Fallen wird die direkte Summe mit dem Verknupfungszeichen displaystyle oplus geschrieben eingekreistes Pluszeichen Unicode U 2295 circled plus sign bzw als mehrstelliger Operator analog dem Summenzeichen U 2A01 n ary circled plus operator Inhaltsverzeichnis 1 Aussere direkte Summe 1 1 Definition 2 Innere direkte Summe 3 Zusammenhang 4 Direkte Summe von Darstellungen 5 Siehe auch 6 LiteraturAussere direkte Summe BearbeitenAls aussere auch externe direkte Summe bezeichnet man in der Mathematik den Standardvertreter des in der Kategorientheorie nur bis auf Isomorphie definierten Koprodukts von abelschen Gruppen oder Moduln und damit auch Vektorraumen Er ist gegeben durch die Untergruppe bzw den Untermodul des direkten Produktes welche aus den Tupeln mit hochstens endlich vielen vom jeweiligen Nullelement verschiedenen Eintragen besteht Im Falle nur endlich vieler Faktoren stimmt diese Struktur offenbar mit dem direkten Produkt uberein Im Folgenden werden wir uns der Einfachheit halber nur mit dem Fall von Vektorraumen beschaftigen fur die direkte Summe abelscher Gruppen und die direkte Summe von Moduln geht dies aber analog Eine weitere Moglichkeit das Koprodukt zu beschreiben ist die unten erklarte innere direkte Summe welche zur ausseren direkten Summe isomorph ist Definition Bearbeiten Sei K displaystyle K nbsp ein Korper und V i i I displaystyle left V i right i in I nbsp eine Familie von K displaystyle K nbsp Vektorraumen Dann heisst i I V i v i i I i I V i v i 0 displaystyle bigoplus i in I V i Big left v i right i in I in prod i in I V i Big v i 0 nbsp fur fast alle i I displaystyle i in I Big nbsp die aussere direkte Summe der Familie V i i I displaystyle V i i in I nbsp wobei i I V i displaystyle textstyle prod i in I V i nbsp das direkte Produkt von Vektorraumen ist Im endlichen Fall ergibt sich also zum Beispiel V 1 V 2 v 1 v 2 v 1 V 1 v 2 V 2 V 1 V 2 displaystyle V 1 oplus V 2 left left v 1 v 2 right mid v 1 in V 1 v 2 in V 2 right V 1 times V 2 nbsp Die Unterscheidung zwischen direkter Summe und direktem Produkt ist somit nur bei unendlicher Indexmenge notwendig Ausserdem gilt bei einer solchen direkten Summe von endlich vielen Vektorraumen dass die Dimension der Summe gleich der Summe der Dimensionen ihrer Summanden ist Innere direkte Summe BearbeitenBei einer Familie von Untervektorraumen U i i I displaystyle U i i in I nbsp des Vektorraumes V displaystyle V nbsp heisst V displaystyle V nbsp innere auch interne direkte Summe der U i displaystyle U i nbsp die U i displaystyle U i nbsp heissen dann auch direkte Zerlegung von V displaystyle V nbsp falls jedes v V displaystyle v in V nbsp bis auf die Reihenfolge eindeutig als Summe endlich vieler Elemente der Untervektorraume wobei aus jedem Untervektorraum hochstens ein Element und niemals das Nullelement ausgewahlt wird darstellbar ist d h Zu jedem Vektor v V displaystyle v in V nbsp gibt es genau eine Familie u i i I displaystyle u i i in I nbsp von Vektoren mit u i U i displaystyle u i in U i nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp und u i 0 displaystyle u i neq 0 nbsp nur fur endlich viele der u i displaystyle u i nbsp so dass v i I u i displaystyle v sum i in I u i nbsp ist Wie die aussere Summe wird auch die innere wie folgt symbolisiert V i I U i displaystyle V bigoplus i in I U i nbsp oder im endlichen Fall V U 1 U n displaystyle V U 1 oplus dotsb oplus U n nbsp Eine Summe V i I U i displaystyle V sum i in I U i nbsp einer Familie von Untervektorraumen ist genau dann direkt wenn fur alle j I displaystyle j in I nbsp gilt U j i I j U i 0 displaystyle U j cap sum i in I setminus j U i 0 nbsp also wenn fur jedes U j displaystyle U j nbsp der Schnitt mit der Summe der ubrigen Untervektorraume nur den Nullvektor enthalt Im Spezialfall U 1 U 2 V displaystyle U 1 oplus U 2 V nbsp nennt man U 1 displaystyle U 1 nbsp und U 2 displaystyle U 2 nbsp zueinander komplementar Dabei gilt U 1 U 2 V U 1 U 2 V U 1 U 2 0 displaystyle U 1 oplus U 2 V Leftrightarrow U 1 U 2 V land U 1 cap U 2 0 nbsp Ein Untervektorraum U 1 V displaystyle U 1 subset V nbsp eines Vektorraums V displaystyle V nbsp heisst ein direkter Summand von V displaystyle V nbsp wenn es einen zu U 1 displaystyle U 1 nbsp komplementaren Untervektorraum U 2 displaystyle U 2 nbsp gibt fur den also U 1 U 2 V displaystyle U 1 oplus U 2 V nbsp gilt Zusammenhang BearbeitenMan beachte Die aussere Summe von Unterraumen kann immer gebildet werden aber die innere Summe von Unterraumen ist meist nicht direkt Der Bezug zwischen innerer und ausserer Summe kann folgendermassen hergestellt werden Betrachte fur jedes j I displaystyle j in I nbsp die Einbettung f j V j V i displaystyle f j colon V j longrightarrow oplus V i nbsp in die aussere direkte Summe also f j x v i i I v i x displaystyle f j x v i i in I v i x nbsp fur i j displaystyle i j nbsp und v i 0 displaystyle v i 0 nbsp fur i j displaystyle i neq j nbsp Die innere direkte Summe der Bilder dieser Abbildungen bildet dann die aussere direkte Summe Direkte Summe von Darstellungen BearbeitenSeien r 1 V r 1 r 2 V r 2 displaystyle textstyle rho 1 V rho 1 rho 2 V rho 2 nbsp Darstellungen von G 1 displaystyle textstyle G 1 nbsp bzw G 2 displaystyle textstyle G 2 nbsp Die direkte Summe der Darstellungen wird definiert als r 1 r 2 G 1 G 2 GL V r 1 V r 2 displaystyle textstyle rho 1 oplus rho 2 G 1 times G 2 to text GL V rho 1 oplus V rho 2 nbsp wobei r 1 r 2 s 1 s 2 v 1 v 2 r 1 s 1 v 1 r 2 s 2 v 2 displaystyle textstyle rho 1 oplus rho 2 s 1 s 2 v 1 v 2 rho 1 s 1 v 1 oplus rho 2 s 2 v 2 nbsp fur alle s 1 s 2 G 1 G 2 displaystyle s 1 s 2 in G 1 times G 2 nbsp und v 1 V r 1 v 2 V r 2 displaystyle v 1 in V rho 1 v 2 in V rho 2 nbsp Auf diese Weise wird r 1 r 2 displaystyle textstyle rho 1 oplus rho 2 nbsp wieder zu einer linearen Darstellung Sind r 1 r 2 displaystyle textstyle rho 1 rho 2 nbsp Darstellungen der gleichen Gruppe G displaystyle textstyle G nbsp so definiert man die direkte Summe der Darstellungen der Einfachheit halber auch als Darstellung von G displaystyle textstyle G nbsp also r 1 r 2 G GL V 1 V 2 displaystyle textstyle rho 1 oplus rho 2 colon G to text GL V 1 oplus V 2 nbsp in dem man G displaystyle textstyle G nbsp als die diagonale Untergruppe von G G displaystyle textstyle G times G nbsp auffasst BeispielSei r 1 Z 2 Z GL 2 C displaystyle textstyle rho 1 colon mathbb Z 2 mathbb Z to text GL 2 mathbb C nbsp die lineare Darstellung die gegeben ist durch r 1 1 0 i i 0 displaystyle rho 1 overline 1 left begin array cc 0 amp i i amp 0 end array right nbsp Und sei r 2 Z 3 Z GL 3 C displaystyle textstyle rho 2 mathbb Z 3 mathbb Z to text GL 3 mathbb C nbsp die lineare Darstellung die gegeben ist durch r 2 1 1 0 e 2 p i 3 0 e 2 p i 3 0 0 0 e 4 p i 3 displaystyle rho 2 overline 1 left begin array ccc 1 amp 0 amp e frac 2 pi i 3 0 amp e frac 2 pi i 3 amp 0 0 amp 0 amp e frac 4 pi i 3 end array right nbsp Dann ist r 1 r 2 displaystyle textstyle rho 1 oplus rho 2 nbsp eine lineare Darstellung von Z 2 Z Z 3 Z displaystyle textstyle mathbb Z 2 mathbb Z times mathbb Z 3 mathbb Z nbsp in den C 2 C 3 C 5 displaystyle textstyle mathbb C 2 oplus mathbb C 3 mathbb C 5 nbsp die fur k Z 2 Z l Z 3 Z displaystyle k in mathbb Z 2 mathbb Z l in mathbb Z 3 mathbb Z nbsp nach Definition wie folgt aussieht r 1 r 2 k l r 1 k 0 0 r 2 l displaystyle rho 1 oplus rho 2 k l left begin array cc rho 1 k amp 0 0 amp rho 2 l end array right nbsp Da es reicht das Bild des Erzeugers der Gruppe anzugeben stellen wir fest dass r 1 r 2 Z 2 Z Z 3 Z GL 5 C displaystyle textstyle rho 1 oplus rho 2 colon mathbb Z 2 mathbb Z times mathbb Z 3 mathbb Z to text GL 5 mathbb C nbsp gegeben ist durch r 1 r 2 1 1 0 i 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 1 0 e 2 p i 3 0 0 0 e 2 p i 3 0 0 0 0 0 e 4 p i 3 displaystyle rho 1 oplus rho 2 overline 1 overline 1 left begin array ccccc 0 amp i amp 0 amp 0 amp 0 i amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 amp e frac 2 pi i 3 0 amp 0 amp 0 amp e frac 2 pi i 3 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp e frac 4 pi i 3 end array right nbsp Siehe auch BearbeitenDirekte Summe Banachraum Direkte Summe Abelsche Gruppe Orthogonale Summe Ausweitung auf mit Skalarprodukten versehene Raume insbesondere Hilbertraume Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Vieweg Verlag ISBN 3 528 03217 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Direkte Summe amp oldid 221818803
