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Eine Summe von Permutationen ist in der Kombinatorik eine Verknupfung zweier Permutationen durch die eine neue Permutation entsteht Die Lange der Ergebnispermutation entspricht dabei der Summe der Langen der beiden Ausgangspermutationen Man unterscheidet zwei Moglichkeiten der Summenbildung die direkte Summe und die schiefe Summe Bei der direkten Summe wird die zweite Permutation verschoben an die erste angehangt bei der schiefen Summe die erste Permutation verschoben der zweiten vorangestellt Die zugehorigen Permutationsmatrizen weisen eine entsprechende Blockstruktur auf Permutationsmatrizen der direkten Summe links und der schiefen Summe rechts zweier PermutationenDie Bildung rein direkter oder rein schiefer Summen von Permutationen ist assoziativ fur gemischte direkte und schiefe Summen gilt jedoch das Assoziativgesetz im Allgemeinen nicht Summen komplementarer oder reverser Permutationen lassen sich durch Summen der Ausgangspermutationen darstellen Auch die Inverse einer Summe von Permutationen ergibt sich als Summe von Inversen Direkte und schiefe Summen von Permutationen spielen eine wichtige Rolle bei der Zerlegung von Permutationen in ihre Grundbausteine und bei der Charakterisierung separabler Permutationen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Matrixdarstellung 4 Eigenschaften 4 1 Assoziativitat 4 2 Symmetrien 4 3 Inverse 5 Verwendung 6 Siehe auch 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIst S n displaystyle S n nbsp die symmetrische Gruppe der Permutationen der Lange n displaystyle n nbsp und sind p p 1 p m S m displaystyle pi pi 1 ldots pi m in S m nbsp sowie s s 1 s n S n displaystyle sigma sigma 1 ldots sigma n in S n nbsp zwei Permutationen in Tupelschreibweise nicht notwendigerweise gleicher Lange dann wird ihre direkte Summe englisch direct sum durch p s p 1 p m s 1 m s n m S m n displaystyle pi oplus sigma pi 1 ldots pi m sigma 1 m ldots sigma n m in S m n nbsp und ihre schiefe Summe englisch skew sum durch p s p 1 n p m n s 1 s n S m n displaystyle pi ominus sigma pi 1 n ldots pi m n sigma 1 ldots sigma n in S m n nbsp definiert 1 In Tupelschreibweise wird demnach bei einer direkten Summe die zweite Permutation um m displaystyle m nbsp verschoben an die erste angehangt und bei einer schiefen Summe die erste Permutation um n displaystyle n nbsp verschoben der zweiten vorangestellt Beispiele BearbeitenDie direkte Summe der beiden identischen Permutationen p 1 2 3 4 S 4 displaystyle pi 1 2 3 4 in S 4 nbsp und s 1 2 3 S 3 displaystyle sigma 1 2 3 in S 3 nbsp ergibt sich zu p s 1 2 3 4 5 6 7 S 7 displaystyle pi oplus sigma 1 2 3 4 5 6 7 in S 7 nbsp wahrend ihre schiefe Summe durch p s 4 5 6 7 1 2 3 S 7 displaystyle pi ominus sigma 4 5 6 7 1 2 3 in S 7 nbsp gegeben ist Matrixdarstellung BearbeitenIst P p 0 1 n n displaystyle P pi in 0 1 n times n nbsp die zur Permutation p S n displaystyle pi in S n nbsp zugehorige Permutationsmatrix dann ist die Permutationsmatrix der direkten Summe zweier Permutationen p S m displaystyle pi in S m nbsp und s S n displaystyle sigma in S n nbsp eine Blockmatrix der Form P p s P p 0 0 P s displaystyle P pi oplus sigma begin pmatrix P pi amp 0 0 amp P sigma end pmatrix nbsp und die Permutationsmatrix der entsprechenden schiefen Summe eine Blockmatrix der Form P p s 0 P p P s 0 displaystyle P pi ominus sigma begin pmatrix 0 amp P pi P sigma amp 0 end pmatrix nbsp Hierbei steht jeweils 0 displaystyle 0 nbsp fur eine Nullmatrix passender Grosse Sind beispielsweise p 3 1 2 S 3 displaystyle pi 3 1 2 in S 3 nbsp und s 2 1 S 2 displaystyle sigma 2 1 in S 2 nbsp dann ergibt sich P p s 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 displaystyle P pi oplus sigma begin pmatrix 0 amp 0 amp 1 amp 0 amp 0 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 2mm 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 0 amp 1 amp 0 end pmatrix nbsp und P p s 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 displaystyle P pi ominus sigma begin pmatrix 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 amp 0 2mm 0 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp Eigenschaften BearbeitenAssoziativitat Bearbeiten nbsp Assoziativitat direkter Summen von PermutationenDie Bildung rein direkter und rein schiefer Summen ist assoziativ das heisst fur Permutationen p S m displaystyle pi in S m nbsp s S n displaystyle sigma in S n nbsp und t S k displaystyle tau in S k nbsp gilt p s t p s t displaystyle pi oplus sigma oplus tau pi oplus sigma oplus tau nbsp und p s t p s t displaystyle pi ominus sigma ominus tau pi ominus sigma ominus tau nbsp Fur gemischte direkte und schiefe Summen gilt jedoch das Assoziativgesetz im Allgemeinen nicht wie das Beispiel 1 1 1 2 3 1 1 3 2 1 1 1 displaystyle 1 oplus 1 ominus 1 2 3 1 neq 1 3 2 1 oplus 1 ominus 1 nbsp zeigt Auch das Kommutativgesetz ist im Allgemeinen nicht erfullt Symmetrien Bearbeiten nbsp Horizontale and vertikale Spiegelungen der Summe der Permutationen 3 2 1 und 1 2 3 Die zu einer Permutation p S n displaystyle pi in S n nbsp komplementare Permutation ist p n p 1 1 n p n 1 displaystyle pi n pi 1 1 ldots n pi n 1 nbsp Fur das Komplement der Summe zweier Permutationen p S m displaystyle pi in S m nbsp und s S n displaystyle sigma in S n nbsp gilt p s p s displaystyle pi oplus sigma pi ominus sigma nbsp sowie p s p s displaystyle pi ominus sigma pi oplus sigma nbsp Entsprechend ist die zu einer Permutation p S n displaystyle pi in S n nbsp reverse Permutation p p n p n 1 p 1 displaystyle pi pi n pi n 1 ldots pi 1 nbsp Fur die Reverse der Summe zweier Permutationen p S m displaystyle pi in S m nbsp und s S n displaystyle sigma in S n nbsp gilt p s s p displaystyle pi oplus sigma sigma ominus pi nbsp sowie p s s p displaystyle pi ominus sigma sigma oplus pi nbsp Die zugehorigen Permutationsmatrizen sind entsprechend an einer horizontalen beziehungsweise vertikalen Achse gespiegelt Inverse Bearbeiten Fur die Inverse der Summe zweier Permutationen p S m displaystyle pi in S m nbsp und s S n displaystyle sigma in S n nbsp ergibt sich p s 1 p 1 s 1 displaystyle pi oplus sigma 1 pi 1 oplus sigma 1 nbsp sowie p s 1 s 1 p 1 displaystyle pi ominus sigma 1 sigma 1 ominus pi 1 nbsp Die zugehorigen Permutationsmatrizen sind jeweils an der Hauptdiagonale gespiegelt also transponiert Verwendung Bearbeiten nbsp Blockstrukturierung der Permutationsmatrix der separablen Permutation 4 3 5 1 2 7 8 6 Direkte und schiefe Summen spielen in der Kombinatorik eine wichtige Rolle bei der Zerlegung von Permutationen in ihre Grundbausteine Eine solche Zerlegung ist allerdings aufgrund der Assoziativitat der Summenbildung nicht notwendigerweise eindeutig Diejenigen Permutationen die sich vollstandig als direkte oder schiefe Summe trivialer Permutationen darstellen lassen heissen separable Permutationen Die Anzahl separabler Permutationen der Lange n displaystyle n nbsp wird durch die grossen Schroder Zahlen S n displaystyle S n nbsp angegeben Folge A006318 in OEIS Separable Permutationen zeichnen sich durch eine spezielle rekursive Blockstrukturierung der zugehorigen Permutationsmatrizen aus Sie werden unter anderem in der Sortierungstheorie untersucht 2 Direkte und schiefe Summen treten auch beim Studium von Permutationsmustern englisch permutation pattern auf Die Zerlegung von Permutationen in nicht weiter zerlegbare Teilpermutationen erlaubt die Charakterisierung und Aufzahlung bestimmter Patternklassen 3 Siehe auch BearbeitenDirekte Summe von Vektorraumen Direktes Produkt von Gruppen und anderen algebraischen StrukturenLiteratur BearbeitenMiklos Bona Combinatorics of Permutations Discrete Mathematics and Its Applications Nr 72 2 Auflage CRC Press 2012 ISBN 1 4398 5051 8 Sergey Kitaev Patterns in Permutations and Words Monographs in theoretical computer science Springer 2011 ISBN 978 3 642 17333 2 Einzelnachweise Bearbeiten S Kitaev Patterns in Permutations and Words Springer 2011 S 57 D Avis M Newborn On pop stacks in series In Utilitas Mathematica Nr 19 1981 S 129 140 P Bose J F Buss A Lubiw Pattern matching for permutations In Information Processing Letters Band 65 1998 S 277 283 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Summe von Permutationen amp oldid 183084125