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Direkte Summe abelscher Gruppen Der Begriff direkte Summe abelscher Gruppen verallgemeinert den Begriff der direkten Sum

Direkte Summe abelscher Gruppen

Der Begriff direkte Summe abelscher Gruppen verallgemeinert den Begriff der direkten Summe von Vektorräumen. Er ist von großer Bedeutung für die Theorie abelscher Gruppen. Kann eine Gruppe in eine direkte Summe zerlegt werden, so wird dadurch die Struktur der Gruppe auf einfachere Gruppen zurückgeführt. Neue Gruppen können aus den direkten Summanden gebildet werden. Die meisten Struktursätze machen eine Aussage über eine direkte Zerlegung von Gruppen.

Definitionen Bearbeiten

  • Die abelsche Gruppe heißt genau dann direkte Summe zweier Untergruppen , , wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind.
  1. .
  2. .
  • Eine Untergruppe heißt direkter Summand, wenn es eine Untergruppe gibt mit: . In diesem Fall heißt Komplement von .
  • heißt direkt unzerlegbar, wenn und die einzigen direkten Summanden von sind.
  • Sei eine Familie von Untergruppen von . Die Gruppe heißt direkte Summe der , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
  1. . Die Familie erzeugt .
  2. Für jedes gilt: .

Erläuterungen, einfache Sätze Bearbeiten

  • Es seien Untergruppen der abelschen Gruppe . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
    • Es ist .
    • Jedes lässt sich eindeutig schreiben als mit .
    • Es ist und aus mit folgt .
  • Ist , so haben die beiden Endomorphismen und die folgende Eigenschaft: und . Dabei ist die Identität auf .

Homomorphismen liefern eine Möglichkeit, direkte Summanden zu kennzeichnen und zu erkennen:

  • Seien Homomorphismen. Dann gilt:
  1. ist ein Monomorphismus und ist ein Monomorphismus.
  2. Ist ein Epimorphismus, dann ist .
  3. Ist ein Isomorphismus, dann ist .
  • Für eine Untergruppe sind folgende Aussagen äquivalent:
  1. ist direkter Summand in .
  2. Es gibt einen Endomorphismus mit: und .
  3. Ist die Inklusionsabbildung, so gibt es einen Homomorphismus mit .

Beispiele Bearbeiten

  • ist direkter Summand in jeder Gruppe.
  • Es sei die zyklische Gruppe mit der zugehörigen Addition. Es sei . Dann ist . Es sind und Untergruppen von . Ihr Durchschnitt ist und ihre Summe ist . Es ist beispielsweise .
  • Die Gruppen der ganzen Zahlen und der rationalen Zahlen sind unzerlegbar. Ist eine Primzahl, so ist direkt unzerlegbar.
  • Hat die abelsche Gruppe eine größte Untergruppe , dann ist direkt unzerlegbar. Ist eine Primzahl, so hat die größte Untergruppe . Also ist direkt unzerlegbar.
  • Sind teilerfremde ganze Zahlen, so ist .
  • Das letzte Beispiel hat eine starke Verallgemeinerung: Sei eine Gruppe und mit . Außerdem sei mit teilerfremden . Dann ist .
  • Ist , so ist , wobei ist. Das Komplement von ist keineswegs eindeutig bestimmt. Es ist zum Beispiel auch für alle .
  • Das letzte Beispiel gilt allgemeiner. Sei eine natürliche Zahl. die Menge der - Tupel mit Komponenten aus . Weiter sei das Tupel, das an der Stelle eine hat und an anderen Stellen . Dann ist .
  • Um zu bestimmen, ob eine Untergruppe von direkter Summand ist, gibt es ein einfaches Kriterium:
  1. ist direkter Summand in .
  2. Es gibt mit .
  • Einige Gitter und Determinante als Flächeninhalt

Die Eigenschaft 2. des letzten Satzes hat eine geometrische Bedeutung: Die Untergruppe ist genau dann direkter Summand in , wenn es einen Vektor gibt, so dass ein Parallelogramm vom Flächeninhalt 1 aufspannen.

  • Die letzte Aussage lässt sich verallgemeinern. Ist so gilt: ist genau dann direkter Summand in , wenn die Zahlen den größten gemeinsamen Teiler haben.

Primäre Gruppen Bearbeiten

Der folgende Satz macht eine Aussage über die Zerlegung von Torsionsgruppen. Dazu wird definiert: Sei eine Primzahl. Die Gruppe heißt -primär genau dann, wenn es zu jedem ein gibt mit . Die Summe aller -primären Untergruppen einer Gruppe ist -primär. Es ist die größte -primäre Untergruppe von . Sie wird mit bezeichnet und heißt -Primärkomponente von . Es gilt:

Universelle Eigenschaft Bearbeiten

  • Sei für zwei Untergruppen und die kanonischen Inklusionen. Es sind äquivalent:
  1. .
  2. Zu je zwei Homomorphismen gibt es genau einen Homomorphismus mit für .

Die zweite Aussage des Satzes ist die sogenannte universelle Eigenschaft der direkten Summe. Sie gilt für beliebige Indexmengen.

  • Sei eine Familie von Untergruppen mit . Und seien die Inklusionen. Dann sind äquivalent:
  1. Es ist .
  2. Zu jeder Familie von Homomorphismen gibt es genau ein mit . Das heißt, folgendes Diagramm ist für alle kommutativ.
  • Seien und zwei abelsche Gruppen mit und . Gibt es zu jeder Familie genau ein mit und genau ein mit , so sind und isomorph.

Einige Struktursätze Bearbeiten

  1. Satz: Ist ein Homomorphismus, so ist mit und .
  2. Satz: Jede Untergruppe von ist direkte Summe von höchstens zyklischen Untergruppen.
  3. Satz: Ist torsionsfrei und von Elementen erzeugt, so gibt es einen Monomorphismus .
  4. Folgerung: Ist eine von Elementen erzeugte torsionsfreie Gruppe, so gibt es ein , so dass isomorph zu ist.
  5. Ist endlich erzeugt, so ist die Torsionsuntergruppe direkter Summand von .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. László Fuchs: Abelian Groups. Springer, 2015, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 43.
  2. Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, 1992, ISBN 0-387-97845-3, S. 66.

Literatur Bearbeiten

  • Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings an Categories of Modules. Springer, 1992, ISBN 0-387-97845-3.
  • László Fuchs: Abelian Groups. (= Springer Monographs in Mathematics). Springer International, 2015, ISBN 978-3-319-19421-9.
  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.

Weblinks Bearbeiten

  • Da es recht mühsam ist die Beweise zu den Tatsachen in der angegebenen Literatur zusammen zu suchen sind hier Beweise zusammengestellt.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Begriff direkte Summe abelscher Gruppen verallgemeinert den Begriff der direkten Summe von Vektorraumen Er ist von grosser Bedeutung fur die Theorie abelscher Gruppen Kann eine Gruppe in eine direkte Summe zerlegt werden so wird dadurch die Struktur der Gruppe auf einfachere Gruppen zuruckgefuhrt Neue Gruppen konnen aus den direkten Summanden gebildet werden Die meisten Struktursatze machen eine Aussage uber eine direkte Zerlegung von Gruppen Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Erlauterungen einfache Satze 3 Beispiele 3 1 Primare Gruppen 4 Universelle Eigenschaft 5 Einige Struktursatze 6 Einzelnachweise 7 Literatur 8 WeblinksDefinitionen BearbeitenDie abelsche Gruppe A displaystyle A nbsp heisst genau dann direkte Summe zweier Untergruppen A 1 displaystyle A 1 nbsp A 2 displaystyle A 2 nbsp wenn folgende zwei Bedingungen erfullt sind A 1 A 2 A displaystyle A 1 A 2 A nbsp A 1 A 2 0 displaystyle A 1 cap A 2 0 nbsp In diesem Fall wird geschrieben A A 1 A 2 displaystyle A A 1 oplus A 2 nbsp Dabei bezeichnet 0 displaystyle 0 nbsp die Untergruppe die nur das neutrale Element 0 displaystyle 0 nbsp enthalt Eine Untergruppe A 1 A displaystyle A 1 hookrightarrow A nbsp heisst direkter Summand wenn es eine Untergruppe A 2 displaystyle A 2 nbsp gibt mit A A 1 A 2 displaystyle A A 1 oplus A 2 nbsp In diesem Fall heisst A 2 displaystyle A 2 nbsp Komplement von A 1 displaystyle A 1 nbsp A displaystyle A nbsp heisst direkt unzerlegbar wenn A displaystyle A nbsp und 0 displaystyle 0 nbsp die einzigen direkten Summanden von A displaystyle A nbsp sind Sei A i i I displaystyle A i mid i in I nbsp eine Familie von Untergruppen von A displaystyle A nbsp Die Gruppe A displaystyle A nbsp heisst direkte Summe der A i i I displaystyle A i i in I nbsp wenn folgende Bedingungen erfullt sind i I A i A displaystyle sum i in I A i A nbsp Die Familie A i i I displaystyle A i mid i in I nbsp erzeugt A displaystyle A nbsp Fur jedes i I displaystyle i in I nbsp gilt A i j i A j 0 displaystyle A i cap sum j neq i A j 0 nbsp Es wird geschrieben A i I A i displaystyle A bigoplus limits i in I A i nbsp oder A A 1 A n displaystyle A A 1 oplus dots oplus A n nbsp falls I 1 n displaystyle I 1 dots n nbsp 1 Erlauterungen einfache Satze BearbeitenEs seien B C displaystyle B C nbsp Untergruppen der abelschen Gruppe A displaystyle A nbsp Dann sind folgende Aussagen aquivalent Es ist A B C displaystyle A B oplus C nbsp Jedes a A displaystyle a in A nbsp lasst sich eindeutig schreiben als a b c displaystyle a b c nbsp mit b B c C displaystyle b in B c in C nbsp Es ist A B C displaystyle A B C nbsp und aus 0 b c displaystyle 0 b c nbsp mit b B c C displaystyle b in B c in C nbsp folgt b 0 c displaystyle b 0 c nbsp Ist A B C displaystyle A B oplus C nbsp so haben die beiden Endomorphismen p B A b c b A displaystyle pi B colon A ni b c mapsto b in A nbsp und p C a b c c A displaystyle pi C colon a ni b c mapsto c in A nbsp die folgende Eigenschaft p B 2 p B p C 2 p C p C p B p B p C 0 displaystyle pi B 2 pi B pi C 2 pi C pi C pi B pi B pi C 0 nbsp und 1 A p B p C displaystyle 1 A pi B pi C nbsp Dabei ist 1 A displaystyle 1 A nbsp die Identitat auf A displaystyle A nbsp Homomorphismen liefern eine Moglichkeit direkte Summanden zu kennzeichnen und zu erkennen Seien A f B g C displaystyle A overset f longrightarrow B overset g longrightarrow C nbsp Homomorphismen Dann gilt g f displaystyle gf nbsp ist ein Monomorphismus Bild f Kern g 0 displaystyle iff operatorname Bild f cap operatorname Kern g 0 nbsp und f displaystyle f nbsp ist ein Monomorphismus Ist g f displaystyle gf nbsp ein Epimorphismus dann ist Bild f Kern g B displaystyle operatorname Bild f operatorname Kern g B nbsp Ist g f displaystyle gf nbsp ein Isomorphismus dann ist Bild f Kern g B displaystyle operatorname Bild f oplus operatorname Kern g B nbsp 2 Fur eine Untergruppe B A displaystyle B hookrightarrow A nbsp sind folgende Aussagen aquivalent B displaystyle B nbsp ist direkter Summand in A displaystyle A nbsp Es gibt einen Endomorphismus p A A displaystyle pi colon A to A nbsp mit p 2 p displaystyle pi 2 pi nbsp und p A B displaystyle pi A B nbsp Ist i B A displaystyle iota colon B to A nbsp die Inklusionsabbildung so gibt es einen Homomorphismus p A B displaystyle pi colon A to B nbsp mit p i 1 B displaystyle pi iota 1 B nbsp Beispiele Bearbeiten0 displaystyle 0 nbsp ist direkter Summand in jeder Gruppe Es sei A displaystyle A nbsp die zyklische Gruppe A Z 6 Z 0 1 2 3 4 5 displaystyle A mathbb Z 6 mathbb Z 0 1 2 3 4 5 nbsp mit der zugehorigen Addition Es sei U 0 3 V 0 2 4 displaystyle U 0 3 V 0 2 4 nbsp Dann ist A U V displaystyle A U oplus V nbsp Es sind U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp Untergruppen von A displaystyle A nbsp Ihr Durchschnitt ist 0 displaystyle 0 nbsp und ihre Summe ist A displaystyle A nbsp Es ist beispielsweise 3 4 1 mod 6 displaystyle 3 4 1 bmod 6 nbsp Die Gruppen der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp und der rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q nbsp sind unzerlegbar Ist p displaystyle p nbsp eine Primzahl so ist Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp direkt unzerlegbar Hat die abelsche Gruppe eine grosste Untergruppe A displaystyle neq A nbsp dann ist A displaystyle A nbsp direkt unzerlegbar Ist p displaystyle p nbsp eine Primzahl so hat A Z p n Z displaystyle A mathbb Z p n mathbb Z nbsp die grosste Untergruppe p Z p n Z A displaystyle p mathbb Z p n mathbb Z neq A nbsp Also ist A displaystyle A nbsp direkt unzerlegbar Sind a b displaystyle a b nbsp teilerfremde ganze Zahlen so ist Z a b Z a Z a b Z b Z a b Z displaystyle mathbb Z a cdot b mathbb Z a mathbb Z a cdot b mathbb Z oplus b mathbb Z a cdot b mathbb Z nbsp Das letzte Beispiel hat eine starke Verallgemeinerung Sei A displaystyle A nbsp eine Gruppe und n N displaystyle n in mathbb N nbsp mit A n 0 displaystyle A cdot n 0 nbsp Ausserdem sei n r s displaystyle n r cdot s nbsp mit teilerfremden r s displaystyle r s nbsp Dann ist A A r A s displaystyle A A cdot r oplus A cdot s nbsp Ist Z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 in mathbb Z nbsp so ist Z 2 e 1 Z e 2 Z displaystyle mathbb Z 2 vec e 1 mathbb Z oplus vec e 2 mathbb Z nbsp wobei e 1 1 0 e 2 0 1 displaystyle vec e 1 1 0 vec e 2 0 1 nbsp ist Das Komplement von e 1 Z displaystyle vec e 1 mathbb Z nbsp ist keineswegs eindeutig bestimmt Es ist zum Beispiel auch Z 2 e 1 Z z 1 Z displaystyle mathbb Z 2 vec e 1 mathbb Z oplus z 1 mathbb Z nbsp fur alle z Z displaystyle z in mathbb Z nbsp Das letzte Beispiel gilt allgemeiner Sei n 1 displaystyle n geq 1 nbsp eine naturliche Zahl Z n z 1 z n z i Z displaystyle mathbb Z n z 1 dots z n z i in mathbb Z nbsp die Menge der n displaystyle n nbsp Tupel mit Komponenten aus Z displaystyle mathbb Z nbsp Weiter sei e i displaystyle vec e i nbsp das Tupel das an der Stelle i displaystyle i nbsp eine 1 displaystyle 1 nbsp hat und an anderen Stellen 0 displaystyle 0 nbsp Dann ist Z n i 1 n e i Z displaystyle mathbb Z n bigoplus limits i 1 n vec e i mathbb Z nbsp Um zu bestimmen ob eine Untergruppe von Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp direkter Summand ist gibt es ein einfaches Kriterium Sei a a 1 a 2 Z 2 displaystyle vec a a 1 a 2 in mathbb Z 2 nbsp Dann sind folgende Aussagen aquivalent a Z displaystyle vec a mathbb Z nbsp ist direkter Summand in Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp Es gibt b 1 b 2 Z displaystyle b 1 b 2 in mathbb Z nbsp mit a 1 b 1 a 2 b 2 1 displaystyle a 1 cdot b 1 a 2 cdot b 2 1 nbsp dd Einige Gitter und Determinante als Flacheninhalt nbsp Ein Gitter mit den erzeugenden Vektoren 1 0 Z 0 1 Z displaystyle 1 0 mathbb Z 0 1 mathbb Z nbsp nbsp Die Determinante als Flacheninhalt nbsp Ein Gitter mit den erzeugenden Vektoren 1 1 Z 2 1 Z displaystyle 1 1 mathbb Z 2 1 mathbb Z nbsp wird dargestelltDie Eigenschaft 2 des letzten Satzes hat eine geometrische Bedeutung Die Untergruppe a Z displaystyle vec a mathbb Z nbsp ist genau dann direkter Summand in Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp wenn es einen Vektor b b 1 b 2 displaystyle vec b b 1 b 2 nbsp gibt so dass a b displaystyle vec a vec b nbsp ein Parallelogramm vom Flacheninhalt 1 aufspannen Die letzte Aussage lasst sich verallgemeinern Ist a a 1 a n Z n displaystyle vec a a 1 dots a n in mathbb Z n nbsp so gilt a Z displaystyle vec a mathbb Z nbsp ist genau dann direkter Summand in Z n displaystyle mathbb Z n nbsp wenn die Zahlen a 1 a n displaystyle a 1 dots a n nbsp den grossten gemeinsamen Teiler 1 displaystyle 1 nbsp haben Primare Gruppen Bearbeiten Der folgende Satz macht eine Aussage uber die Zerlegung von Torsionsgruppen Dazu wird definiert Sei p displaystyle p nbsp eine Primzahl Die Gruppe A displaystyle A nbsp heisst p displaystyle p nbsp primar genau dann wenn es zu jedem a A displaystyle a in A nbsp ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp gibt mit a p n 0 displaystyle a cdot p n 0 nbsp Die Summe aller p displaystyle p nbsp primaren Untergruppen einer Gruppe A displaystyle A nbsp ist p displaystyle p nbsp primar Es ist die grosste p displaystyle p nbsp primare Untergruppe von A displaystyle A nbsp Sie wird mit A p displaystyle A p nbsp bezeichnet und heisst p displaystyle p nbsp Primarkomponente von A displaystyle A nbsp Es gilt Ist A displaystyle A nbsp eine Torsionsgruppe so ist A p prim A p displaystyle A bigoplus limits p text prim A p nbsp Es ist A displaystyle A nbsp direkte Summe ihrer Primarkomponenten Universelle Eigenschaft BearbeitenSei A A 1 A 2 displaystyle A A 1 A 2 nbsp fur zwei Untergruppen A 1 A 2 displaystyle A 1 A 2 nbsp und q i A i A displaystyle q i colon A i hookrightarrow A nbsp die kanonischen Inklusionen Es sind aquivalent A A 1 A 2 displaystyle A A 1 oplus A 2 nbsp Zu je zwei Homomorphismen f i A i B i 1 2 displaystyle f i colon A i to B i in 1 2 nbsp gibt es genau einen Homomorphismus f A B displaystyle f colon A to B nbsp mit f q i f i displaystyle f circ q i f i nbsp fur i 1 2 displaystyle i in 1 2 nbsp Die zweite Aussage des Satzes ist die sogenannte universelle Eigenschaft der direkten Summe Sie gilt fur beliebige Indexmengen Sei A i i I displaystyle A i mid i in I nbsp eine Familie von Untergruppen mit i I A i A displaystyle sum limits i in I A i A nbsp Und q i A i A displaystyle q i colon A i hookrightarrow A nbsp seien die Inklusionen Dann sind aquivalent Es ist i I A i A displaystyle bigoplus limits i in I A i A nbsp Zu jeder Familie von Homomorphismen f i A i B displaystyle f i colon A i to B nbsp gibt es genau ein f A B displaystyle f colon A to B nbsp mit f q i f i displaystyle f circ q i f i nbsp Das heisst folgendes Diagramm ist fur alle i I displaystyle i in I nbsp kommutativ nbsp Seien A q i displaystyle A q i nbsp und S s i displaystyle S s i nbsp zwei abelsche Gruppen mit q i A i A displaystyle q i colon A i to A nbsp und s i A i S displaystyle s i colon A i to S nbsp Gibt es zu jeder Familie f i A i B displaystyle f i colon A i to B nbsp genau ein f A B displaystyle f colon A to B nbsp mit f i f q i displaystyle f i f circ q i nbsp und genau ein g S B displaystyle g colon S to B nbsp mit f i g s i displaystyle f i g circ s i nbsp so sind A displaystyle A nbsp und S displaystyle S nbsp isomorph Einige Struktursatze BearbeitenSatz Ist f A Z displaystyle f colon A to mathbb Z nbsp ein Homomorphismus so ist A Kern f a Z displaystyle A operatorname Kern f oplus a mathbb Z nbsp mit a A displaystyle a in A nbsp und a Z Z displaystyle a cdot mathbb Z cong mathbb Z nbsp Satz Jede Untergruppe von Z n displaystyle mathbb Z n nbsp ist direkte Summe von hochstens n displaystyle n nbsp zyklischen Untergruppen Satz Ist F displaystyle F nbsp torsionsfrei und von n displaystyle n nbsp Elementen erzeugt so gibt es einen Monomorphismus F Z n displaystyle F to mathbb Z n nbsp Folgerung Ist F displaystyle F nbsp eine von n displaystyle n nbsp Elementen erzeugte torsionsfreie Gruppe so gibt es ein k n displaystyle k leq n nbsp so dass F displaystyle F nbsp isomorph zu Z k displaystyle mathbb Z k nbsp ist Ist A displaystyle A nbsp endlich erzeugt so ist die Torsionsuntergruppe direkter Summand von A displaystyle A nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Laszlo Fuchs Abelian Groups Springer 2015 ISBN 978 3 319 19421 9 S 43 Frank W Anderson Kent R Fuller Rings and Categories of Modules Springer 1992 ISBN 0 387 97845 3 S 66 Literatur BearbeitenFrank W Anderson Kent R Fuller Rings an Categories of Modules Springer 1992 ISBN 0 387 97845 3 Laszlo Fuchs Abelian Groups Springer Monographs in Mathematics Springer International 2015 ISBN 978 3 319 19421 9 Friedrich Kasch Moduln und Ringe Teubner Stuttgart 1977 ISBN 3 519 02211 7 Weblinks BearbeitenDa es recht muhsam ist die Beweise zu den Tatsachen in der angegebenen Literatur zusammen zu suchen sind hier Beweise zusammengestellt Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Direkte Summe abelscher Gruppen amp oldid 223046982