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Produkttopologie Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die die natürlichste Topologie die ein kartesisches Prod

Produkttopologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die Produkttopologie die „natürlichste“ Topologie, die ein kartesisches Produkt von topologischen Räumen selbst zu einem topologischen Raum macht.

Definition Bearbeiten

Für jedes aus einer (möglicherweise unendlichen) Indexmenge sei ein topologischer Raum. Sei das kartesische Produkt der Mengen . Für jeden Index bezeichne die kanonische Projektion. Dann ist die Produkttopologie auf definiert als die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen stetig sind. Man nennt mit dieser Topologie den Produktraum der .

Explizite Beschreibung Bearbeiten

Man kann die Topologie auf explizit beschreiben. Die Urbilder offener Mengen der Faktorräume unter den kanonischen Projektionen bilden eine Subbasis der Produkttopologie, d. h. eine Teilmenge ist offen genau dann, wenn sie die Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Mengen ist, die jeweils als endliche Durchschnitte von Mengen dargestellt werden können. Dabei liegt in und sind offene Teilmengen von . Daraus folgt nicht, dass im Allgemeinen alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein müssen. Dies gilt nur, wenn endlich ist.

Universelle Eigenschaft Bearbeiten

Der Produktraum zusammen mit den kanonischen Projektionen wird durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: Ist ein topologischer Raum und für jedes ist stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion , so dass für alle gilt. Damit ist das kartesische Produkt mit der Produkttopologie das Produkt in der Kategorie der topologischen Räume.

Beispiele Bearbeiten

  • Wenn zwei metrische Räume sind und sowie , dann erhält man die Produkttopologie auf für und mit der Produktmetrik
  • Die Produkttopologie auf dem -fachen kartesischen Produkt der reellen Zahlen ist die gewöhnliche euklidische Topologie.
  • Der Raum der irrationalen Zahlen ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien der natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie.

Eigenschaften Bearbeiten

Die Produkttopologie heißt auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft: Eine Folge in konvergiert genau dann, wenn alle Projektionen auf die konvergieren. Insbesondere ist für den Raum aller Funktionen von nach die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz.

Um zu prüfen, ob eine gegebene Funktion stetig ist, kann man das folgende Kriterium benutzen: ist stetig genau dann, wenn alle stetig sind. Die Überprüfung, ob eine Funktion stetig ist, ist meist schwieriger; man versucht dann irgendwie die Stetigkeit der auszunutzen.

Ein wichtiger Satz über die Produkttopologie ist der Satz von Tichonow: Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt. Dies ist leicht für endliche Produkte zu zeigen, aber die Aussage ist überraschenderweise auch wahr für unendliche Produkte, zu deren Beweis man dann aber das Auswahlaxiom benötigt.

Wesentliche Teile der Theorie der Produkttopologie wurden von A. N. Tichonow entwickelt.

Sonstiges Bearbeiten

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die Produkttopologie die naturlichste Topologie die ein kartesisches Produkt von topologischen Raumen selbst zu einem topologischen Raum macht Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Explizite Beschreibung 1 2 Universelle Eigenschaft 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Sonstiges 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition BearbeitenFur jedes i displaystyle i nbsp aus einer moglicherweise unendlichen Indexmenge I displaystyle I nbsp sei X i displaystyle X i nbsp ein topologischer Raum Sei X i I X i displaystyle X textstyle prod i in I X i nbsp das kartesische Produkt der Mengen X i displaystyle X i nbsp Fur jeden Index i I displaystyle i in I nbsp bezeichne p i X X i displaystyle p i colon X to X i nbsp die kanonische Projektion Dann ist die Produkttopologie auf X displaystyle X nbsp definiert als die grobste Topologie die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen bezuglich der alle Projektionen p i displaystyle p i nbsp stetig sind Man nennt X displaystyle X nbsp mit dieser Topologie den Produktraum der X i displaystyle X i nbsp Explizite Beschreibung Bearbeiten Man kann die Topologie auf X displaystyle X nbsp explizit beschreiben Die Urbilder offener Mengen der Faktorraume X i displaystyle X i nbsp unter den kanonischen Projektionen p i X X i displaystyle p i colon X to X i nbsp bilden eine Subbasis der Produkttopologie d h eine Teilmenge Y X displaystyle Y subset X nbsp ist offen genau dann wenn sie die Vereinigung von moglicherweise unendlich vielen Mengen Y a displaystyle Y alpha nbsp ist die jeweils als endliche Durchschnitte von Mengen Y i k a p i 1 Y k a displaystyle Y i k alpha p i 1 Y k alpha nbsp dargestellt werden konnen Dabei liegt i displaystyle i nbsp in I displaystyle I nbsp und Y k a displaystyle Y k alpha nbsp sind offene Teilmengen von X i displaystyle X i nbsp Daraus folgt nicht dass im Allgemeinen alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein mussen Dies gilt nur wenn I displaystyle I nbsp endlich ist Universelle Eigenschaft Bearbeiten Der Produktraum X displaystyle X nbsp zusammen mit den kanonischen Projektionen p i displaystyle p i nbsp wird durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert Ist Y displaystyle Y nbsp ein topologischer Raum und fur jedes i I displaystyle i in I nbsp ist f i Y X i displaystyle f i colon Y to X i nbsp stetig dann gibt es genau eine stetige Funktion f Y X displaystyle f colon Y to X nbsp so dass p i f f i displaystyle p i circ f f i nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp gilt Damit ist das kartesische Produkt mit der Produkttopologie das Produkt in der Kategorie der topologischen Raume Beispiele BearbeitenWenn X 1 d 1 X 2 d 2 displaystyle X 1 d 1 X 2 d 2 nbsp zwei metrische Raume sind und p 1 q 1 X 1 displaystyle p 1 q 1 in X 1 nbsp sowie p 2 q 2 X 2 displaystyle p 2 q 2 in X 2 nbsp dann erhalt man die Produkttopologie auf X 1 X 2 displaystyle X 1 times X 2 nbsp fur p 1 p 2 displaystyle p 1 p 2 nbsp und q 1 q 2 X 1 X 2 displaystyle q 1 q 2 in X 1 times X 2 nbsp mit der Produktmetrikd p 1 p 2 q 1 q 2 d 1 p 1 q 1 2 d 2 p 2 q 2 2 displaystyle d p 1 p 2 q 1 q 2 sqrt d 1 p 1 q 1 2 d 2 p 2 q 2 2 nbsp Die Produkttopologie auf dem n displaystyle n nbsp fachen kartesischen Produkt R n displaystyle mathbb R n nbsp der reellen Zahlen ist die gewohnliche euklidische Topologie Die Produkttopologie auf einem Funktionenraum R M displaystyle mathbb R M nbsp ist die Topologie der punktweisen Konvergenz Die Cantor Menge ist homoomorph zum Produktraum von abzahlbar vielen Kopien des diskreten Raums 0 1 Der Raum der irrationalen Zahlen ist homoomorph zum Produkt abzahlbar vieler Kopien der naturlichen Zahlen mit der diskreten Topologie Der Ring Z p displaystyle mathbb Z p nbsp der ganzen p adischen Zahlen wird mit der Produkttopologie der diskreten Raume Z p n Z displaystyle mathbb Z p n mathbb Z nbsp versehen und ist dann kompakt Diese Topologie wird auch erzeugt vom p adischen Betrag auf Z p displaystyle mathbb Z p nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Produkttopologie heisst auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft Eine Folge in X i I X i displaystyle X textstyle prod i in I X i nbsp konvergiert genau dann wenn alle Projektionen auf die X i displaystyle X i nbsp konvergieren Insbesondere ist fur den Raum R I displaystyle mathbb R I nbsp aller Funktionen von I displaystyle I nbsp nach R displaystyle mathbb R nbsp die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz Um zu prufen ob eine gegebene Funktion f Y X displaystyle f colon Y to X nbsp stetig ist kann man das folgende Kriterium benutzen f displaystyle f nbsp ist stetig genau dann wenn alle p i f displaystyle p i circ f nbsp stetig sind Die Uberprufung ob eine Funktion g X Z displaystyle g colon X to Z nbsp stetig ist ist meist schwieriger man versucht dann irgendwie die Stetigkeit der p i displaystyle p i nbsp auszunutzen Ein wichtiger Satz uber die Produkttopologie ist der Satz von Tichonow Jedes Produkt kompakter Raume ist kompakt Dies ist leicht fur endliche Produkte zu zeigen aber die Aussage ist uberraschenderweise auch wahr fur unendliche Produkte zu deren Beweis man dann aber das Auswahlaxiom benotigt Wesentliche Teile der Theorie der Produkttopologie wurden von A N Tichonow entwickelt Sonstiges BearbeitenEin verwandter Begriff ist die Summentopologie Die Produkttopologie ist eine spezielle Initialtopologie Siehe auch BearbeitenEingeschranktes direktes Produkt Faserbundel ein Raum der lokal wie ein Produkt aussiehtLiteratur BearbeitenBoto von Querenburg Mengentheoretische Topologie Springer Lehrbuch 3 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Berlin u a 2001 ISBN 3 540 67790 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Produkttopologie amp oldid 224289614