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Schwartz Raum Dieser Artikel behandelt den Funktionenraum der schnell fallenden Funktionen für die lokalkonvexe Klasse d

Schwartz-Raum

Der Schwartz-Raum ist ein Funktionenraum, der im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird. Benannt ist dieser nach dem Mathematiker Laurent Schwartz, der zentrale Ergebnisse in der Distributionentheorie lieferte, wobei auch der Schwartz-Raum eine wichtige Rolle spielte. Die Elemente des Schwartz-Raums werden Schwartz-Funktionen genannt. Eine Besonderheit dieses Raumes ist, dass die Fouriertransformation einen linearen Automorphismus auf diesem Raum bildet.

Graph der zweidimensionalen Gauß’schen Glockenkurve

Definition Bearbeiten

Eine Funktion heißt Schwartz-Funktion oder schnell-fallend, wenn sie beliebig oft stetig differenzierbar ist, und wenn für alle Multiindizes die Funktion auf beschränkt ist, wobei die -te Ableitung kennzeichnet.

Der Vektorraum aller Schwartz-Funktionen heißt Schwartz-Raum und wird mit bezeichnet. In aller Kürze gilt also

Der Schwartz-Raum ist ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum, welcher durch die Familie von Halbnormen

induziert wird.

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

Temperierte Distributionen Bearbeiten

Eine stetige, lineare Abbildung heißt temperierte Distribution. Die Menge aller temperierten Distributionen wird mit bezeichnet. Dies ist der topologische Dualraum zu .

Literatur Bearbeiten

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operators. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 10–11.
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt den Funktionenraum der schnell fallenden Funktionen fur die lokalkonvexe Klasse der Schwartz Raume siehe Schwartz Raum allgemein Der Schwartz Raum ist ein Funktionenraum der im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird Benannt ist dieser nach dem Mathematiker Laurent Schwartz der zentrale Ergebnisse in der Distributionentheorie lieferte wobei auch der Schwartz Raum eine wichtige Rolle spielte Die Elemente des Schwartz Raums werden Schwartz Funktionen genannt Eine Besonderheit dieses Raumes ist dass die Fouriertransformation einen linearen Automorphismus auf diesem Raum bildet Graph der zweidimensionalen Gauss schen Glockenkurve Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Temperierte Distributionen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Funktion f R n C displaystyle f colon mathbb R n rightarrow mathbb C nbsp heisst Schwartz Funktion oder schnell fallend wenn sie beliebig oft stetig differenzierbar ist und wenn fur alle Multiindizes a b N 0 n displaystyle alpha beta in mathbb N 0 n nbsp die Funktion x a D b f x displaystyle x alpha D beta f x nbsp auf R n displaystyle mathbb R n nbsp beschrankt ist wobei D b displaystyle D beta nbsp die b displaystyle beta nbsp te Ableitung kennzeichnet Der Vektorraum aller Schwartz Funktionen heisst Schwartz Raum und wird mit S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp bezeichnet In aller Kurze gilt also S R n ϕ C R n a b N 0 n sup x R n x a D b ϕ x lt ϕ C R n a b N 0 n C 0 x R n x a D b ϕ x C displaystyle begin aligned mathcal S mathbb R n amp overset left phi in C infty mathbb R n Big forall alpha beta in mathbb N 0 n sup x in mathbb R n x alpha D beta phi x lt infty right 4em amp left phi in C infty mathbb R n Big forall alpha beta in mathbb N 0 n exists C geq 0 forall x in mathbb R n x alpha D beta phi x leq C right end aligned nbsp Der Schwartz Raum ist ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum welcher durch die Familie von Halbnormen f N sup x R n max a b lt N x a D b f x displaystyle left f right N sup x in mathbb R n max alpha beta lt N x alpha D beta f x nbsp induziert wird Beispiele BearbeitenDie Funktionen exp a x 2 displaystyle exp a left x right 2 nbsp sind fur a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp Schwartz Funktionen auf R n displaystyle mathbb R n nbsp Jede beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Trager ist eine Schwartz Funktion Der Vektorraum der Testfunktionen mit kompaktem Trager C c R n D R n displaystyle C c infty mathbb R n cong mathcal D mathbb R n nbsp ist also ein echter Teilraum des Schwartz Raums Die hermiteschen Funktionen sind ebenfalls Schwartz Funktionen Eigenschaften BearbeitenDer Schwartz Raum ist vollstandig bezuglich der Topologie beziehungsweise der Metrik die durch die Familie der Halbnormen N N displaystyle cdot N N nbsp induziert wird und ist somit ein Frechet Raum Er hat auch die Montel Eigenschaft Die Fouriertransformation bildet einen linearen Automorphismus auf dem Schwartz Raum Wie bei den Beispielen erwahnt ist der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Trager ein Unterraum des Schwartz Raums Dieser liegt sogar dicht im Schwartz Raum 1 Der Schwartz Raum ist separabel S R n L p R n displaystyle mathcal S mathbb R n subset L p mathbb R n nbsp fur 1 p displaystyle 1 leq p leq infty nbsp Fur 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp liegt der Schwartz Raum S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp dicht im Raum der p integrierbaren Funktionen L p R n displaystyle L p mathbb R n nbsp 1 Mithilfe dieses Dichtheitsargumentes kann man die Fourier Transformation auf dem Hilbertraum L 2 R n displaystyle L 2 mathbb R n nbsp definieren Temperierte Distributionen Bearbeiten Hauptartikel Temperierte Distribution Eine stetige lineare Abbildung f S R n C displaystyle f colon mathcal S mathbb R n rightarrow mathbb C nbsp heisst temperierte Distribution Die Menge aller temperierten Distributionen wird mit S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp bezeichnet Dies ist der topologische Dualraum zu S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp Literatur BearbeitenLars Hormander The Analysis of Linear Partial Differential Operators Band 1 Distribution Theory and Fourier Analysis Second Edition Springer Verlag Berlin u a 1990 ISBN 3 540 52345 6 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 Einzelnachweise Bearbeiten a b Man Wah Wong An introduction to pseudo differential operators World Scientific River Edge N J 1999 ISBN 978 981 02 3813 1 S 10 11 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schwartz Raum amp oldid 238098950