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Radon Nikodym Eigenschaft Die benannt nach Johann Radon und Otton Marcin Nikodým ist eine im mathematischen Teilgebiet d

Radon-Nikodym-Eigenschaft

Die Radon-Nikodym-Eigenschaft, benannt nach Johann Radon und Otton Marcin Nikodým, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen bzw. vektoriellen Maßen. Ein Banachraum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, oft mit RNP (nach der englischen Bezeichnung "Radon-Nikodym property") abgekürzt, wenn für vektorielle Maße mit Werten in eine zum klassischen Satz von Radon-Nikodym analoge Aussage gilt.

Definitionen Bearbeiten

Es seien ein Banachraum, ein messbarer Raum und ein vektorielles Maß. Man sagt, habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, falls folgendes gilt:

  1. ist von beschränkter Variation.
  2. Ist ein endliches, positives Maß mit , so gibt es eine bzgl. Bochner-integrierbare Funktion mit für alle .

Die Schreibweise bedeutet wie üblich, dass absolut stetig bzgl. ist, das heißt, dass für alle aus bereits folgt. In obiger Definition erfüllen die beiden Maße also eine vektorwertige Variante des klassischen Satzes von Radon-Nikodym.

Schließlich definiert man, ein Banachraum habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jedes vektorielle Maß von beschränkter Variation mit Werten in die Radon-Nikodym-Eigenschaft hat.

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

  • Abgeschlossene Unterräume von Räumen mit Radon-Nikodym-Eigenschaft haben wieder die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
  • Die Radon-Nikodym-Eigenschaft vererbt sich nicht auf Quotientenräume. Der Raum ist Quotient von , denn jeder separable Banachraum ist Quotient von , und dieser hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, jener aber nicht.
  • Der Satz von Davis-Huff-Maynard-Phelps ist eine geometrische Charakterisierung der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Ein Banachraum hat genau dann die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn es zu jeder beschränkten Menge und zu jedem ein gibt, das nicht in der abgeschlossenen konvexen Hülle von liegt. Dabei bezeichnet die -Kugel um .
  • Der Satz von Lewis-Stegall charakterisiert Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft mittels Operatoren: Ein Banachraum hat genau die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn für jeden Maßraum mit positivem, endlichen Maß jeder stetige, lineare Operator über faktorisiert. Letzteres bedeutet, dass es zu jedem stetigen, linearen Operator stetige, lineare Operatoren und gibt mit .
  • Ein Resultat von Srishti Dhar Chatterji lautet, dass die Existenz der meisten Konvergenzarten für Banach-wertige Martingale (d. h. existiert unter entsprechenden Voraussetzungen) äquivalent zur Radon-Nikodym-Eigenschaft des darunterliegenden Raumes ist.

Die Krein-Milman-Eigenschaft Bearbeiten

Motiviert durch den Satz von Krein-Milman sagt man, ein Banachraum habe die Krein-Milman-Eigenschaft, wenn jede abgeschlossene, beschränkte, konvexe Menge gleich dem Abschluss der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte ist. Beachte, dass hier keine Kompaktheitsforderung gestellt wird. Dies wird nach der englischen Bezeichnung "Krein-Milman property" oft als KMP abgekürzt.

Nach einem Satz von Lindenstrauss hat jeder Raum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft auch die Krein-Milman-Eigenschaft. Die Umkehrung dieser Aussage ist ein offenes mathematisches Problem, sie ist allerdings für Dualräume bekannt, genauer sind folgende Aussagen über einen Banachraum äquivalent:

  • (der Dualraum von ) hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
  • hat die Krein-Milman-Eigenschaft.
  • Ist ein separabler Unterraum von , so ist separabel.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Seite 106
  2. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3, Seite 213
  3. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.45
  4. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.42
  5. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4: The Dunford-Pettis Theorem
  6. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Theorem 2
  7. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Korollar 4
  8. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, (5.13)+(5.15)
  9. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Satz 5.49
  10. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3: The Davis-Huff-Maynard-Phelps Theorem
  11. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.36
  12. S. D. Chatterji: Martingale Convergence and the Radon-Nikodym Theorem in Banach Spaces. In: Mathematica Scandinavica. Band 22, 1968, S. 11–12 (eudml.org – Kapitel 6).
  13. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §5, Theorem 1
  14. F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 118
  15. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §6, Korollar 1
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Die Radon Nikodym Eigenschaft benannt nach Johann Radon und Otton Marcin Nikodym ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachraumen bzw vektoriellen Massen Ein Banachraum X displaystyle X hat die Radon Nikodym Eigenschaft oft mit RNP nach der englischen Bezeichnung Radon Nikodym property abgekurzt wenn fur vektorielle Masse mit Werten in X displaystyle X eine zum klassischen Satz von Radon Nikodym analoge Aussage gilt Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Die Krein Milman Eigenschaft 5 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenEs seien X displaystyle X nbsp ein Banachraum W A displaystyle Omega mathcal A nbsp ein messbarer Raum und m A X displaystyle mu colon mathcal A rightarrow X nbsp ein vektorielles Mass Man sagt m displaystyle mu nbsp habe die Radon Nikodym Eigenschaft falls folgendes gilt m displaystyle mu nbsp ist von beschrankter Variation Ist l A R displaystyle lambda colon mathcal A rightarrow mathbb R 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displaystyle mathbb R nbsp hat die Radon Nikodym Eigenschaft Das ist genau die Aussage des Satzes von Radon Nikodym Jeder reflexive Raum hat die Radon Nikodym Eigenschaft 3 Damit haben die Folgenraume ℓ p displaystyle ell p nbsp und die Lp Raume fur 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp sowie alle Hilbertraume die Radon Nikodym Eigenschaft Satz von Dunford Pettis Jeder separable Dualraum hat die Radon Nikodym Eigenschaft 4 5 Beispiele hierfur sind ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp oder der Raum N ℓ 2 displaystyle mathcal N ell 2 nbsp der nuklearen Operatoren auf dem Hilbertraum ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp Allgemeiner hat jeder Dualraum der Unterraum eines schwach kompakt erzeugten Banachraums ist die Radon Nikodym Eigenschaft 6 Ist I displaystyle I nbsp eine beliebige Indexmenge so hat ℓ 1 I displaystyle ell 1 I nbsp die Radon Nikodym Eigenschaft Hat der Banachraum eine aquivalente sehr glatte Norm so hat dessen Dualraum die Radon Nikodym Eigenschaft Insbesondere haben lokal schwach gleichmassig konvexe Dualraume die Radon Nikodym Eigenschaft 7 Der Raum der Nullfolgen c 0 displaystyle c 0 nbsp der Raum der beschrankten Folgen ℓ displaystyle ell infty nbsp und die Funktionenraume C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp L 1 0 1 displaystyle L 1 0 1 nbsp L 0 1 displaystyle L infty 0 1 nbsp haben nicht die Radon Nikodym Eigenschaft 8 Eigenschaften BearbeitenAbgeschlossene Unterraume von Raumen mit Radon Nikodym Eigenschaft haben wieder die Radon Nikodym Eigenschaft 9 Die Radon Nikodym Eigenschaft vererbt sich nicht auf Quotientenraume Der Raum c 0 displaystyle c 0 nbsp ist Quotient von ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp denn jeder separable Banachraum ist Quotient von ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp und dieser hat die Radon Nikodym Eigenschaft jener aber nicht Der Satz von Davis Huff Maynard Phelps ist eine geometrische Charakterisierung der Radon Nikodym Eigenschaft Ein Banachraum X displaystyle X nbsp hat genau dann die Radon Nikodym Eigenschaft wenn es zu jeder beschrankten Menge B X displaystyle B subset X nbsp und zu jedem e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ein x B displaystyle x in B nbsp gibt das nicht in der abgeschlossenen konvexen Hulle von B K e x displaystyle B setminus K varepsilon x nbsp liegt Dabei bezeichnet K e x displaystyle K varepsilon x nbsp die e displaystyle varepsilon nbsp Kugel um x displaystyle x nbsp 10 Der Satz von Lewis Stegall 11 charakterisiert Raume mit der Radon Nikodym Eigenschaft mittels Operatoren Ein Banachraum X displaystyle X nbsp hat genau die Radon Nikodym Eigenschaft wenn fur jeden Massraum W A l displaystyle Omega mathcal A lambda nbsp mit positivem endlichen Mass l displaystyle lambda nbsp jeder stetige lineare Operator L 1 W A l X displaystyle L 1 Omega mathcal A lambda rightarrow X nbsp uber ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp faktorisiert Letzteres bedeutet dass es zu jedem stetigen linearen Operator T L 1 W A l X displaystyle T colon L 1 Omega mathcal A lambda rightarrow X nbsp stetige lineare Operatoren R L 1 W A l ℓ 1 displaystyle R colon L 1 Omega mathcal A lambda rightarrow ell 1 nbsp und S ℓ 1 X displaystyle S colon ell 1 rightarrow X nbsp gibt mit T S R displaystyle T S circ R nbsp Ein Resultat von Srishti Dhar Chatterji lautet dass die Existenz der meisten Konvergenzarten fur Banach wertige Martingale M n displaystyle M n nbsp d h M displaystyle M infty nbsp existiert unter entsprechenden Voraussetzungen aquivalent zur Radon Nikodym Eigenschaft des darunterliegenden Raumes ist 12 Die Krein Milman Eigenschaft BearbeitenMotiviert durch den Satz von Krein Milman sagt man ein Banachraum habe die Krein Milman Eigenschaft wenn jede abgeschlossene beschrankte konvexe Menge gleich dem Abschluss der konvexen Hulle ihrer Extremalpunkte ist Beachte dass hier keine Kompaktheitsforderung gestellt wird Dies wird nach der englischen Bezeichnung Krein Milman property oft als KMP abgekurzt Nach einem Satz von Lindenstrauss hat jeder Raum mit der Radon Nikodym Eigenschaft auch die Krein Milman Eigenschaft 13 Die Umkehrung dieser Aussage ist ein offenes mathematisches Problem 14 sie ist allerdings fur Dualraume bekannt genauer sind folgende Aussagen uber einen Banachraum X displaystyle X nbsp aquivalent 15 X displaystyle X nbsp der Dualraum von X displaystyle X nbsp hat die Radon Nikodym Eigenschaft X displaystyle X nbsp hat die Krein Milman Eigenschaft Ist Y X displaystyle Y subset X nbsp ein separabler Unterraum von X displaystyle X nbsp so ist Y displaystyle Y nbsp separabel Einzelnachweise Bearbeiten Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Seite 106 Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 6 3 Seite 213 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Korollar 5 45 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Korollar 5 42 Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 6 4 The Dunford Pettis Theorem Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 6 4 Theorem 2 Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 6 4 Korollar 4 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 5 13 5 15 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Satz 5 49 Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 6 3 The Davis Huff Maynard Phelps Theorem Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Theorem 5 36 S D Chatterji Martingale Convergence and the Radon Nikodym Theorem in Banach Spaces In Mathematica Scandinavica Band 22 1968 S 11 12 eudml org Kapitel 6 Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 6 5 Theorem 1 F Albiac N J Kalton Topics in Banach Space Theory Springer Verlag 2006 ISBN 978 0 387 28142 1 Seite 118 Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 6 6 Korollar 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Radon Nikodym Eigenschaft amp oldid 234172500