Der Satz von Krein-Milman (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.
Aussage Bearbeiten
Ist ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum und darin eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge, so besitzt Extremalpunkte und ist dabei gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge all dieser Extremalpunkte.
Der Beweis des Krein-Milman'schen Satzes basiert auf dem Lemma von Zorn (oder einem gleichwertigen Maximalprinzip der Mengenlehre) und dem Satz von Hahn-Banach und setzt damit die Gültigkeit des Auswahlaxioms voraus.
Der Krein-Milman’sche Satz hat eine teilweise Umkehrung, die in der Regel als Satz von Milman bezeichnet wird: Ist eine kompakte, konvexe Menge und ist so beschaffen, dass gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle von ist, so sind in dem topologischen Abschluss von alle Extremalpunkte von enthalten.
Eine Verschärfung des Satzes von Krein-Milman ist der Satz von Choquet. Noch erheblich mehr gilt in endlich-dimensionalen und insbesondere euklidischen Räumen: Hier liegen mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory noch wesentlich schärfere Aussagen vor.
Mit dem Satz von Krein-Milman eng verwandt sind der Satz von Straszewicz sowie der Satz von Klee-Straszewicz, bei denen die Menge der exponierten Punkte an die Stelle der Menge der Extremalpunkte tritt.
Anwendung Bearbeiten
Der Banachraum der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm ist kein Dualraum.
Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index mit , denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun definiert durch für und , so ist und und , das heißt, der beliebig vorgegebene Punkt ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von keine Extremalpunkte und kann daher kein Dualraum sein.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Harro Heuser: Funktionalanalysis, Theorie und Anwendung, Teubner, November 2006, 362–363.
- Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
- A. P. Robertson, W. J. Robertson: Topologische Vektorräume. Übersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgrün (= B. I.-Hochschultaschenbücher. 164/164a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 147–149 (MR0209926).
- Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 75–77 (MR1157815).
- Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 6., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 418 ff.
Einzelnachweise Bearbeiten
- M. Krein, D. Milman (1940): "On extreme points of regular convex sets", Studia Mathematica 9, 133–138.
- Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, S. 75
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2007, S. 418 ff.
- Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, S. 75 ff.
- Diese Umkehrsatz zum Krein-Milman'schen ist nicht mit dem Satz von Milman-Pettis identisch.
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2007, S. 423