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Satz von Minkowski Der nach Hermann Minkowski ist ein mathematischer Satz der sich mit gewissen geometrischen Gebilden u

Satz von Minkowski

Der Satz von Minkowski (nach Hermann Minkowski) ist ein mathematischer Satz, der sich mit gewissen geometrischen Gebilden und ihren äußersten Randpunkten beschäftigt. Genauer stammt er aus der Theorie der konvexen Mengen in endlichdimensionalen Räumen und stellt eine Beziehung zwischen einer kompakten konvexen Menge und ihren Extremalpunkten her. (Dieser Satz ist nicht mit dem Minkowskischen Gitterpunktsatz zu verwechseln.)

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Für eine kompakte, konvexe Menge und eine Teilmenge sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist die konvexe Hülle von .
  • Die Extremalpunkte von sind in enthalten.

Insbesondere ist in einem endlichdimensionalen Raum eine kompakte, konvexe Menge gleich der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte. Auch diese Aussage wird oft Satz von Minkowski genannt.

Satz von Carathéodory Bearbeiten

Der Mathematiker Constantin Carathéodory hat im Jahre 1911 den folgenden bekannten Lehrsatz bewiesen:

(1) Ist (für zwei gegebene natürliche Zahlen und mit ) im euklidischen Raum eine Teilmenge gegeben und ist diese in einem n-dimensionalen affinen Unterraum von enthalten, so ist die konvexe Hülle von gleich der Menge aller Konvexkombinationen, die aus maximal Elementen von gebildet werden. Formal ausgedrückt gilt also:

Kombiniert man dies mit dem Satz von Minkowski, so erhält man:

(2) Jeder Punkt einer kompakten, konvexen Teilmenge , die in einem n-dimensionalen affinen Unterraum enthalten ist, ist eine Konvexkombination von höchstens Extremalpunkten.

Da man stets als affinen Unterraum wählen kann, erhält man eine Aussage, die manchmal auch als Satz von Minkowski bezeichnet wird:

(3) Jeder Punkt einer kompakten, konvexen Teilmenge ist eine Konvexkombination von höchstens Extremalpunkten.

Verallgemeinerung des Satzes von Carathéodory Bearbeiten

Im Jahre 1982 stellte der ungarische Mathematiker Imre Bárány eine Verallgemeinerung des Carathéodory'schen Satzes vor, den man als Satz von Bárány (englisch Bárány's Theorem) bezeichnen kann und der folgendes besagt:

(4) Sind Teilmengen gegeben sowie ein Raumpunkt , so existieren auch stets ausgewählte Raumpunkte derart, dass schon in der konvexen Hülle dieser Raumpunkte liegt.

Den Satz von Carathéodory gewinnt man dabei für den Spezialfall .

Bemerkungen Bearbeiten

  • Obiger Satz von Minkowski verallgemeinert sich in unendlichdimensionalen lokalkonvexen Räumen zum Satz von Krein-Milman. Die dort geltenden Aussagen sind schwächer, da Abschlussbildungen hinzukommen.
  • Obige Aussage (3) lässt sich nicht weiter verbessern. Für die Darstellung des Mittelpunktes eines nicht-ausgearteten Simplexes im muss man alle Ecken verwenden.
  • Eine weitere nicht-triviale Folgerung aus dem Satz von Minkowski ist, dass eine kompakte, konvexe Menge überhaupt Extremalpunkte hat. Solche Überlegungen spielen bei der Begründung des Simplex-Verfahrens eine Rolle.

Literatur Bearbeiten

  • W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry (= Australian Mathematical Society Lecture Series. Band 12). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63970-0 (MR1629043).
  • Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications. John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1982, ISBN 0-471-09584-2.
  • Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235).
  • Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Arne Brøndsted: An Introduction to Convex Polytopes, Springer New York Heidelberg Berlin (1983), Th. 5.10
  2. C. Carathéodory: Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen. In: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Band 32, 1911, S. 193–217.
  3. Arne Brøndsted: An Introduction to Convex Polytopes, Springer New York Heidelberg Berlin (1983), Cor. 2.4
  4. W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. 1998, S. 67
  5. Imre Bárány: A generalization of Carathéodory's theorem. In: Discrete Mathematics. Band 40, 1982, S. 141–152 (MR0676720).
  6. ↑ Coppel, op. cit., S. 68
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Der Satz von Minkowski nach Hermann Minkowski ist ein mathematischer Satz der sich mit gewissen geometrischen Gebilden und ihren aussersten Randpunkten beschaftigt Genauer stammt er aus der Theorie der konvexen Mengen in endlichdimensionalen Raumen und stellt eine Beziehung zwischen einer kompakten konvexen Menge und ihren Extremalpunkten her Dieser Satz ist nicht mit dem Minkowskischen Gitterpunktsatz zu verwechseln Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Satz von Caratheodory 2 1 Verallgemeinerung des Satzes von Caratheodory 3 Bemerkungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenFur eine kompakte konvexe Menge C R d displaystyle C subset mathbb R d nbsp und eine Teilmenge M C displaystyle M subset C nbsp sind folgende Aussagen aquivalent 1 C displaystyle C nbsp ist die konvexe Hulle von M displaystyle M nbsp Die Extremalpunkte von C displaystyle C nbsp sind in M displaystyle M nbsp enthalten Insbesondere ist in einem endlichdimensionalen Raum eine kompakte konvexe Menge gleich der konvexen Hulle ihrer Extremalpunkte Auch diese Aussage wird oft Satz von Minkowski genannt Satz von Caratheodory BearbeitenDer Mathematiker Constantin Caratheodory hat im Jahre 1911 den folgenden bekannten Lehrsatz bewiesen 2 3 4 1 Ist fur zwei gegebene naturliche Zahlen n displaystyle n nbsp und d displaystyle d nbsp mit n d displaystyle n leq d nbsp im euklidischen Raum R d displaystyle mathbb R d nbsp eine Teilmenge M R d displaystyle M subset mathbb R d nbsp gegeben und ist diese in einem n dimensionalen affinen Unterraum von R d displaystyle mathbb R d nbsp enthalten so ist die konvexe Hulle von M displaystyle M nbsp gleich der Menge aller Konvexkombinationen die aus maximal n 1 displaystyle n 1 nbsp Elementen von M displaystyle M nbsp gebildet werden Formal ausgedruckt gilt also conv M T M T n 1 conv T displaystyle operatorname conv M bigcup T subseteq M T leq n 1 operatorname conv T nbsp dd Kombiniert man dies mit dem Satz von Minkowski so erhalt man 2 Jeder Punkt einer kompakten konvexen Teilmenge C R d displaystyle C subset mathbb R d nbsp die in einem n dimensionalen affinen Unterraum enthalten ist ist eine Konvexkombination von hochstens n 1 displaystyle n 1 nbsp Extremalpunkten Da man stets R d displaystyle mathbb R d nbsp als affinen Unterraum wahlen kann erhalt man eine Aussage die manchmal auch als Satz von Minkowski bezeichnet wird 3 Jeder Punkt einer kompakten konvexen Teilmenge C R d displaystyle C subset mathbb R d nbsp ist eine Konvexkombination von hochstens d 1 displaystyle d 1 nbsp Extremalpunkten Verallgemeinerung des Satzes von Caratheodory Bearbeiten Im Jahre 1982 stellte der ungarische Mathematiker Imre Barany eine Verallgemeinerung des Caratheodory schen Satzes vor den man als Satz von Barany englisch Barany s Theorem bezeichnen kann und der folgendes besagt 5 6 4 Sind d 1 displaystyle d 1 nbsp Teilmengen T 1 T d 1 R d displaystyle T 1 ldots T d 1 subseteq mathbb R d nbsp gegeben sowie ein Raumpunkt x 0 j 1 d 1 conv T j displaystyle x 0 in bigcap j 1 d 1 operatorname conv T j nbsp so existieren auch stets d 1 displaystyle d 1 nbsp ausgewahlte Raumpunkte x j T j j 1 d 1 displaystyle x j in T j j 1 ldots d 1 nbsp derart dass x 0 displaystyle x 0 nbsp schon in der konvexen Hulle conv x 1 x d 1 displaystyle operatorname conv x 1 ldots x d 1 nbsp dieser d 1 displaystyle d 1 nbsp Raumpunkte liegt Den Satz von Caratheodory gewinnt man dabei fur den Spezialfall T 1 T 2 T d 1 displaystyle T 1 T 2 cdots T d 1 nbsp 6 Bemerkungen BearbeitenObiger Satz von Minkowski verallgemeinert sich in unendlichdimensionalen lokalkonvexen Raumen zum Satz von Krein Milman Die dort geltenden Aussagen sind schwacher da Abschlussbildungen hinzukommen Obige Aussage 3 lasst sich nicht weiter verbessern Fur die Darstellung des Mittelpunktes eines nicht ausgearteten Simplexes im R d displaystyle mathbb R d nbsp muss man alle d 1 displaystyle d 1 nbsp Ecken verwenden Eine weitere nicht triviale Folgerung aus dem Satz von Minkowski ist dass eine kompakte konvexe Menge uberhaupt Extremalpunkte hat Solche Uberlegungen spielen bei der Begrundung des Simplex Verfahrens eine Rolle Literatur BearbeitenW A Coppel Foundations of Convex Geometry Australian Mathematical Society Lecture Series Band 12 Cambridge University Press Cambridge 1998 ISBN 0 521 63970 0 MR1629043 Steven R Lay Convex Sets and Their Applications John Wiley amp Sons New York Chichester Brisbane Toronto Singapore 1982 ISBN 0 471 09584 2 Kurt Leichtweiss Konvexe Mengen Hochschultext Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1980 ISBN 3 540 09071 1 MR0586235 Jurg T Marti Konvexe Analysis Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften Mathematische Reihe Band 54 Birkhauser Verlag Basel Stuttgart 1977 ISBN 3 7643 0839 7 MR0511737 Einzelnachweise Bearbeiten Arne Brondsted An Introduction to Convex Polytopes Springer New York Heidelberg Berlin 1983 Th 5 10 C Caratheodory Uber den Variabilitatsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen In Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Band 32 1911 S 193 217 Arne Brondsted An Introduction to Convex Polytopes Springer New York Heidelberg Berlin 1983 Cor 2 4 W A Coppel Foundations of Convex Geometry 1998 S 67 Imre Barany A generalization of Caratheodory s theorem In Discrete Mathematics Band 40 1982 S 141 152 MR0676720 a b Coppel op cit S 68 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Minkowski amp oldid 225436627