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Relativ kompakte Teilmenge Eine relativ kompakte Teilmenge oder präkompakte Teilmenge ist ein Begriff aus dem mathematis

Relativ kompakte Teilmenge

Eine relativ kompakte Teilmenge (oder präkompakte Teilmenge) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um eine Abschwächung des topologischen Begriffs des kompakten Raums.

Definition Bearbeiten

Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt relativ kompakt, wenn ihr topologischer Abschluss in kompakt ist. selbst muss dabei nicht kompakt sein. Ist jedoch bereits eine abgeschlossene Teilmenge von , ist also , so ist eine kompakte Teilmenge von .

Manche Autoren beschreiben ein relativ kompaktes mittels .

Andere Charakterisierungen Bearbeiten

  • Es sei eine (in Anwendungen häufig: offene) Teilmenge. Eine Teilmenge ist genau dann relativ kompakt in , wenn beschränkt ist und der Abschluss von in den Rand von nicht trifft.
  • Es seien allgemeiner eine Teilmenge eines Hausdorffraumes und eine Teilmenge von ; weiter sei der Abschluss von in . Dann ist genau dann relativ kompakt in , wenn kompakt und in enthalten ist.
  • Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist genau dann relativ kompakt, falls jede Folge in eine in konvergente Teilfolge hat.

Ein Beispiel Bearbeiten

Als Beispiel soll eine Menge reeller Zahlen dienen (mit der üblichen euklidischen Topologie). Eine solche Menge reeller Zahlen ist kompakt, wenn jede unendliche Folge von Zahlen aus dieser Menge eine unendliche Teilfolge enthält, die einer weiteren Zahl „beliebig nahe kommt“, wobei diese weitere Zahl auch zu dieser Menge gehören muss.

Die Menge aller reellen Zahlen zwischen und (aber ohne die Randpunkte und ) ist nicht kompakt, denn die unendliche Folge , , , , ... kommt zwar dem Häufungspunkt beliebig nahe, aber die gehört nicht mehr zu (dasselbe gilt auch für alle Teilfolgen).

Wie steht es aber mit der relativen Kompaktheit von in , wenn die Menge aller reellen Zahlen ist? Um zu einer kompakten Menge zu vergrößern, müssen die Häufungspunkte und (dem die Folge , , , , ... beliebig nahe kommt) hinzugenommen werden. Auf diese Weise erhält man den Abschluss von , das ist die Menge aller reellen Zahlen von bis (einschließlich dieser beiden Randpunkte). In der Tat ist dieser Abschluss kompakt, also ist relativ kompakt in .

Während es zu () keine Randpunkte gibt, existiert zur Menge aller positiven reellen Zahlen der Randpunkt (der aber nicht zu gehört). Weil der Abschluss diesen Randpunkt trifft, ist der Abschluss von in gleich der Menge aller reellen Zahlen zwischen (ausschließlich) und (einschließlich). Diese Menge ist aber nicht kompakt (weil ihr wieder der Häufungspunkt fehlt), ist also nicht relativ kompakt in .

Anwendungen Bearbeiten

Der Begriff der relativen Kompaktheit wird u. a. verwendet

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser, Basel u. a. 1989, ISBN 3-7643-2229-2.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine relativ kompakte Teilmenge oder prakompakte Teilmenge ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie Es handelt sich um eine Abschwachung des topologischen Begriffs des kompakten Raums Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Andere Charakterisierungen 3 Ein Beispiel 4 Anwendungen 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition BearbeitenEine Teilmenge A displaystyle A nbsp eines topologischen Raumes X displaystyle X nbsp heisst relativ kompakt wenn ihr topologischer Abschluss A displaystyle overline A nbsp in X displaystyle X nbsp kompakt ist A displaystyle A nbsp selbst muss dabei nicht kompakt sein Ist jedoch A displaystyle A nbsp bereits eine abgeschlossene Teilmenge von X displaystyle X nbsp ist also A A displaystyle A overline A nbsp so ist A displaystyle A nbsp eine kompakte Teilmenge von X displaystyle X nbsp Manche Autoren beschreiben ein relativ kompaktes A X displaystyle A subset X nbsp mittels A X displaystyle A subset subset X nbsp Andere Charakterisierungen BearbeitenEs sei U R n displaystyle U subseteq mathbb R n nbsp eine in Anwendungen haufig offene Teilmenge Eine Teilmenge A U displaystyle A subseteq U nbsp ist genau dann relativ kompakt in U displaystyle U nbsp wenn A displaystyle A nbsp beschrankt ist und der Abschluss von A displaystyle A nbsp in R n displaystyle mathbb R n nbsp den Rand von U displaystyle U nbsp nicht trifft Es seien allgemeiner U displaystyle U nbsp eine Teilmenge eines Hausdorffraumes X displaystyle X nbsp und A displaystyle A nbsp eine Teilmenge von U displaystyle U nbsp weiter sei A displaystyle bar A nbsp der Abschluss von A displaystyle A nbsp in X displaystyle X nbsp Dann ist A displaystyle A nbsp genau dann relativ kompakt in U displaystyle U nbsp wenn A displaystyle bar A nbsp kompakt und in U displaystyle U nbsp enthalten ist Eine Teilmenge A displaystyle A nbsp eines metrischen Raumes X displaystyle X nbsp ist genau dann relativ kompakt falls jede Folge in A displaystyle A nbsp eine in X displaystyle X nbsp konvergente Teilfolge hat Ein Beispiel BearbeitenAls Beispiel soll eine Menge reeller Zahlen dienen mit der ublichen euklidischen Topologie Eine solche Menge reeller Zahlen ist kompakt wenn jede unendliche Folge von Zahlen aus dieser Menge eine unendliche Teilfolge enthalt die einer weiteren Zahl beliebig nahe kommt wobei diese weitere Zahl auch zu dieser Menge gehoren muss Die Menge A 0 2 displaystyle A 0 2 nbsp aller reellen Zahlen zwischen 0 displaystyle 0 nbsp und 2 displaystyle 2 nbsp aber ohne die Randpunkte 0 displaystyle 0 nbsp und 2 displaystyle 2 nbsp ist nicht kompakt denn die unendliche Folge 1 1 displaystyle 1 1 nbsp 1 2 displaystyle 1 2 nbsp 1 3 displaystyle 1 3 nbsp 1 4 displaystyle 1 4 nbsp kommt zwar dem Haufungspunkt 0 displaystyle 0 nbsp beliebig nahe aber die 0 displaystyle 0 nbsp gehort nicht mehr zu A displaystyle A nbsp dasselbe gilt auch fur alle Teilfolgen Wie steht es aber mit der relativen Kompaktheit von A displaystyle A nbsp in U displaystyle U nbsp wenn U displaystyle U nbsp die Menge aller reellen Zahlen ist Um A displaystyle A nbsp zu einer kompakten Menge zu vergrossern mussen die Haufungspunkte 0 displaystyle 0 nbsp und 2 displaystyle 2 nbsp dem die Folge 1 1 displaystyle 1 1 nbsp 3 2 displaystyle 3 2 nbsp 5 3 displaystyle 5 3 nbsp 7 4 displaystyle 7 4 nbsp beliebig nahe kommt hinzugenommen werden Auf diese Weise erhalt man den Abschluss von A displaystyle A nbsp das ist die Menge 0 2 displaystyle 0 2 nbsp aller reellen Zahlen von 0 displaystyle 0 nbsp bis 2 displaystyle 2 nbsp einschliesslich dieser beiden Randpunkte In der Tat ist dieser Abschluss kompakt also ist A displaystyle A nbsp relativ kompakt in U displaystyle U nbsp Wahrend es zu X displaystyle X nbsp X R displaystyle X mathbb R nbsp keine Randpunkte gibt existiert zur Menge X displaystyle X nbsp aller positiven reellen Zahlen der Randpunkt 0 displaystyle 0 nbsp der aber nicht zu X displaystyle X nbsp gehort Weil der Abschluss 0 2 displaystyle 0 2 nbsp diesen Randpunkt trifft ist der Abschluss von A displaystyle A nbsp in X displaystyle X nbsp gleich der Menge 0 2 displaystyle 0 2 nbsp aller reellen Zahlen zwischen 0 displaystyle 0 nbsp ausschliesslich und 2 displaystyle 2 nbsp einschliesslich Diese Menge ist aber nicht kompakt weil ihr wieder der Haufungspunkt 0 displaystyle 0 nbsp fehlt A displaystyle A nbsp ist also nicht relativ kompakt in X displaystyle X nbsp Anwendungen BearbeitenDer Begriff der relativen Kompaktheit wird u a verwendet in der Definition des Begriffes kompakter Operator im Satz von Arzela Ascoli im Fixpunktsatz von Schauder Siehe auch BearbeitenRelative Folgenkompaktheit TotalbeschranktheitLiteratur BearbeitenKarl Heinz Mayer Algebraische Topologie Birkhauser Basel u a 1989 ISBN 3 7643 2229 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Relativ kompakte Teilmenge amp oldid 173030269 Definition