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Quotientennorm Eine oder Quotientenhalbnorm ist in der Funktionalanalysis eine auf natürliche Weise erzeugte Norm bzw Ha

Quotientennorm

Eine Quotientennorm oder Quotientenhalbnorm ist in der Funktionalanalysis eine auf natürliche Weise erzeugte Norm bzw. Halbnorm auf einem Faktorraum.

Definition Bearbeiten

Es seien ein normierter Raum und ein Untervektorraum. Auf dem Faktorraum definiere man

Dann ist durch diese Definition eine Halbnorm auf dem Faktorraum gegeben; sie ist genau dann eine Norm, wenn der Unterraum abgeschlossen ist, man nennt sie die Quotientennorm bzw. Quotientenhalbnorm.

Quotient nach einem Kern Bearbeiten

Ist ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes , so ist die Quotientenabbildung linear, stetig, bildet die offene Einheitskugel von auf die offene Einheitskugel von ab und es ist . Die Operatornorm der Quotientabbildung ist , falls ein echter Unterraum ist, anderenfalls gleich .

Seien umgekehrt normierte Räume und eine lineare Abbildung, die die offene Einheitskugel von auf die offene Einheitskugel von abbildet. Dann ist stetig, surjektiv und die Isomorphie ist eine Isometrie.

Eigenschaften Bearbeiten

Viele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm:

  • Ist ein Banachraum und ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ein Banachraum, d. h. die Vollständigkeit vererbt sich auf die Quotientennorm.
  • Ist ein Hilbertraum und ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ein Hilbertraum, d. h. auch die Quotientennorm wird durch ein Skalarprodukt erzeugt.
  • Ist ein gleichmäßig konvexer Raum und ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch gleichmäßig konvex.
  • Ist eine Banachalgebra und ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch eine Banachalgebra, d. h. die Submultiplikativität der Norm überträgt sich auf die Quotientennorm.
  • Ist eine C*-Algebra und ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch eine C*-Algebra, d. h. die C*-Eigenschaft der Norm gilt auch für die Quotientennorm.

Quotientenhalbnormen Bearbeiten

Die Topologie eines lokalkonvexen Raumes wird durch eine Menge von Halbnormen erzeugt. Sei ein Unterraum. Für jedes ist die Quotientenhalbnorm eine Halbnorm auf dem Quotientenraum , wobei

Dann stimmt die Finaltopologie auf mit der durch die Halbnormen erzeugten Topologie überein, insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex.

Quelle Bearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 54
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Veröffentlichungsdatum:
Eine Quotientennorm oder Quotientenhalbnorm ist in der Funktionalanalysis eine auf naturliche Weise erzeugte Norm bzw Halbnorm auf einem Faktorraum Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Quotient nach einem Kern 3 Eigenschaften 4 Quotientenhalbnormen 5 QuelleDefinition BearbeitenEs seien X displaystyle X nbsp ein normierter Raum und U X displaystyle U subset X nbsp ein Untervektorraum Auf dem Faktorraum X U displaystyle X U nbsp definiere man x U inf x y y U d i s t x U displaystyle x U inf x y y in U mathrm dist x U nbsp Dann ist durch diese Definition eine Halbnorm auf dem Faktorraum gegeben sie ist genau dann eine Norm wenn der Unterraum abgeschlossen ist man nennt sie die Quotientennorm bzw Quotientenhalbnorm Quotient nach einem Kern BearbeitenIst U X displaystyle U subset X nbsp ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes X displaystyle X nbsp so ist die Quotientenabbildung T X X U displaystyle T X rightarrow X U nbsp linear stetig bildet die offene Einheitskugel von X displaystyle X nbsp auf die offene Einheitskugel von X U displaystyle X U nbsp ab und es ist U k e r T displaystyle U mathrm ker T nbsp Die Operatornorm der Quotientabbildung ist 1 displaystyle 1 nbsp falls U displaystyle U nbsp ein echter Unterraum ist anderenfalls gleich 0 displaystyle 0 nbsp Seien umgekehrt X Y displaystyle X Y nbsp normierte Raume und T X Y displaystyle T X rightarrow Y nbsp eine lineare Abbildung die die offene Einheitskugel von X displaystyle X nbsp auf die offene Einheitskugel von Y displaystyle Y nbsp abbildet Dann ist T displaystyle T nbsp stetig surjektiv und die Isomorphie X k e r T Y displaystyle X mathrm ker T cong Y nbsp ist eine Isometrie Eigenschaften BearbeitenViele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm Ist X displaystyle X nbsp ein Banachraum und U X displaystyle U subset X nbsp ein abgeschlossener Unterraum so ist auch X U displaystyle X U nbsp ein Banachraum d h die Vollstandigkeit vererbt sich auf die Quotientennorm Ist X displaystyle X nbsp ein Hilbertraum und U X displaystyle U subset X nbsp ein abgeschlossener Unterraum so ist auch X U displaystyle X U nbsp ein Hilbertraum d h auch die Quotientennorm wird durch ein Skalarprodukt erzeugt Ist X displaystyle X nbsp ein gleichmassig konvexer Raum und U X displaystyle U subset X nbsp ein abgeschlossener Unterraum so ist auch X U displaystyle X U nbsp gleichmassig konvex Ist X displaystyle X nbsp eine Banachalgebra und U X displaystyle U subset X nbsp ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal so ist auch X U displaystyle X U nbsp eine Banachalgebra d h die Submultiplikativitat der Norm ubertragt sich auf die Quotientennorm Ist X displaystyle X nbsp eine C Algebra und U X displaystyle U subset X nbsp ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal so ist auch X U displaystyle X U nbsp eine C Algebra d h die C Eigenschaft der Norm gilt auch fur die Quotientennorm Quotientenhalbnormen BearbeitenDie Topologie eines lokalkonvexen Raumes X displaystyle X nbsp wird durch eine Menge P displaystyle mathcal P nbsp von Halbnormen erzeugt Sei U X displaystyle U subset X nbsp ein Unterraum Fur jedes p P displaystyle p in mathcal P nbsp ist die Quotientenhalbnorm p displaystyle hat p nbsp eine Halbnorm auf dem Quotientenraum X U displaystyle X U nbsp wobei p x U inf p x y y U displaystyle hat p x U inf p x y y in U nbsp Dann stimmt die Finaltopologie auf X U displaystyle X U nbsp mit der durch die Halbnormen p p P displaystyle hat p p in mathcal P nbsp erzeugten Topologie uberein insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex Quelle BearbeitenDirk Werner Funktionalanalysis 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 Seite 54 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quotientennorm amp oldid 195010562