www.wikidata.de-de.nina.az

Quotientenabbildung kanonische Surjektion oder kanonische Projektion ist ein mathematischer Begriff der in vielen mathem

Quotientenabbildung

Quotientenabbildung, kanonische Surjektion oder kanonische Projektion ist ein mathematischer Begriff, der in vielen mathematischen Teilgebieten auftritt. Es handelt sich dabei um eine Abbildung, die jedem Element einer Menge, auf der eine Äquivalenzrelation vorliegt, seine Äquivalenzklasse zuordnet. In der Kategorientheorie wird der Begriff für Quotientenobjekte verallgemeinert.

Beispiele Bearbeiten

Beiden Beispielen liegt eine Äquivalenzrelation zu Grunde. Im Vektorraumbeispiel hat man genau dann, wenn , und ganz analog im Gruppenbeispiel genau dann, wenn . Daher verallgemeinert die folgende Konstruktion obige Beispiele.

  • Es sei eine Menge und eine Äquivalenzrelation auf . Dann sei die Menge der Äquivalenzklassen . Die Abbildung heißt Quotientenabbildung.
  • Ist eine surjektive Abbildung, so ist durch eine Äquivalenzrelation gegeben. In diesem Falle ist die Abbildung bijektiv. Man nennt dann auch eine Quotientenabbildung.
  • Ist eine surjektive Abbildung auf einem topologischen Raum , so gibt es eine feinste Topologie auf , bzgl. der stetig ist, die sogenannte Quotiententopologie. Daher nennt man die Abbildung auch in diesem Fall eine Quotientenabbildung.

Diese Beispiele werden in der Kategorientheorie zu sogenannten Quotientenobjekten verallgemeinert. In der Tat sind solche Quotientobjekte gewisse Epimorphismen, so dass es sich dabei im Wesentlichen um die hier vorgestellten Quotientenabbildungen handelt, allerdings müssen Morphismen in der Kategorientheorie keine Abbildungen sein.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Kap. 0, §1
  2. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Kapitel 2.6.

Siehe auch Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Quotientenabbildung kanonische Surjektion oder kanonische Projektion ist ein mathematischer Begriff der in vielen mathematischen Teilgebieten auftritt Es handelt sich dabei um eine Abbildung die jedem Element einer Menge auf der eine Aquivalenzrelation vorliegt seine Aquivalenzklasse zuordnet In der Kategorientheorie wird der Begriff fur Quotientenobjekte verallgemeinert Beispiele BearbeitenIst V displaystyle V nbsp ein Vektorraum und U V displaystyle U subset V nbsp ein Untervektorraum so kann man den Quotientenvektorraum V U displaystyle V U nbsp bilden der aus allen Nebenklassen x U displaystyle x U nbsp mit x V displaystyle x in V nbsp besteht Die Abbildung V V U displaystyle V rightarrow V U nbsp die den Vektor x V displaystyle x in V nbsp auf x U displaystyle x U nbsp abbildet nennt man die Quotientenabbildung 1 Ist allgemeiner G displaystyle G nbsp eine Gruppe mit einem Normalteiler N G displaystyle N subset G nbsp so kann man die Quotientengruppe G N displaystyle G N nbsp der Nebenklassen x N displaystyle xN nbsp bilden wobei x G displaystyle x in G nbsp Wieder nennt man die kanonische Abbildung G G N x x N displaystyle G rightarrow G N x mapsto xN nbsp die Quotientenabbildung Beiden Beispielen liegt eine Aquivalenzrelation displaystyle sim nbsp zu Grunde Im Vektorraumbeispiel hat man x y displaystyle x sim y nbsp genau dann wenn x y U displaystyle x y in U nbsp und ganz analog im Gruppenbeispiel x y displaystyle x sim y nbsp genau dann wenn x y 1 N displaystyle xy 1 in N nbsp Daher verallgemeinert die folgende Konstruktion obige Beispiele Es sei X displaystyle X nbsp eine Menge und displaystyle sim nbsp eine Aquivalenzrelation auf X displaystyle X nbsp Dann sei X displaystyle X sim nbsp die Menge der Aquivalenzklassen x displaystyle x nbsp Die Abbildung X X x x displaystyle X rightarrow X sim x mapsto x nbsp heisst Quotientenabbildung Ist f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp eine surjektive Abbildung so ist durch x y f x f y displaystyle x sim y Leftrightarrow f x f y nbsp eine Aquivalenzrelation gegeben In diesem Falle ist die Abbildung X Y x f x displaystyle X sim rightarrow Y x mapsto f x nbsp bijektiv Man nennt dann auch f displaystyle f nbsp eine Quotientenabbildung Ist f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp eine surjektive Abbildung auf einem topologischen Raum X displaystyle X nbsp so gibt es eine feinste Topologie auf Y displaystyle Y nbsp bzgl der f displaystyle f nbsp stetig ist die sogenannte Quotiententopologie Daher nennt man die Abbildung auch in diesem Fall eine Quotientenabbildung 2 Diese Beispiele werden in der Kategorientheorie zu sogenannten Quotientenobjekten verallgemeinert In der Tat sind solche Quotientobjekte gewisse Epimorphismen so dass es sich dabei im Wesentlichen um die hier vorgestellten Quotientenabbildungen handelt allerdings mussen Morphismen in der Kategorientheorie keine Abbildungen sein Einzelnachweise Bearbeiten R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Kap 0 1 Johann Cigler Hans Christian Reichel Topologie Eine Grundvorlesung Bibliographisches Institut Mannheim 1978 ISBN 3 411 00121 6 Kapitel 2 6 Siehe auch BearbeitenFaktorring Homomorphiesatz Quotientennorm Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quotientenabbildung amp oldid 200555826