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Moderates Maß Ein moderates Maß auch moderates Borel Maß genannt ist ein Begriff aus der Maßtheorie einem Teilgebiet der

Moderates Maß

Ein moderates Maß, auch moderates Borel-Maß genannt, ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten und abstrahierten Längen- und Volumenbegriffen beschäftigt und damit die Basis für die Stochastik und die Integrationstheorie bildet.

Als moderate Maße bezeichnet man hier spezielle Maße auf Hausdorff-Räumen, die Borel-Maße sind und für die eine abzählbare Überdeckung des Grundraumes aus offenen Mengen endlichen Maßes existiert. Moderate Maße ermöglichen es, allgemeinere Kriterien für die Regularität des Maßes anzugeben, wie es zum Beispiel die Endlichkeit des Borel-Maßes erlauben würde.

Moderate Maße wurden erstmals von Nicolas Bourbaki 1969 eingeführt.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum und sei die zugehörige Borelsche σ-Algebra. Ein Borel-Maß

heißt ein moderates Maß, wenn es offene Mengen gibt, so dass für alle ist und

Dabei wird ein Maß als Borel-Maß bezeichnet, wenn es lokal endlich ist, also wenn es zu jedem eine Umgebung mit gibt.

Beispiel Bearbeiten

Das Lebesgue-Maß auf ist ein moderates Maß, denn es ist lokal endlich. Dazu wählt man zu jedem Punkt die Umgebung , dann ist und damit endlich. Eine mögliche offene Überdeckung wären die Mengen .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jedes moderate Maß ist ein σ-endliches Maß, denn die Forderung einer offenen Überdeckung ist eine stärkere Forderung als die Überdeckung mit beliebigen Mengen wie sie bei der σ-Endlichkeit gefordert wird. Die umgekehrte Folgerung, also von der σ-Endlichkeit zum moderaten Maß, gilt aber im Allgemeinen nicht.
  • Jedes von außen reguläre σ-endliche Borel-Maß ist moderat. Denn ist eine Folge von Mengen endlichen Maßes, die überdeckt, so folgt aus der Regularität von außen, dass es zu jedem eine offene Menge gibt mit . Demnach liefern die eine offene Überdeckung mit Mengen endlichen Maßes wie für ein moderates Maß gefordert wird.
  • Jedes Borel-Maß auf einem σ-kompakten Raum ist moderat. Denn dann existieren kompakte Mengen , so dass
  • Jedes Borel-Maß auf einem Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis ist moderat. Dies zeigt man, indem man eine gegebene Basis so modifiziert, dass sie nur Mengen endlichen Maßes enthält und anschließend zeigt, dass es sich immer noch um eine Basis handelt. Die abzählbar vielen Basismengen sind dann per Definition offen, besitzen jeweils nur endliches Maß und erfüllen damit die Anforderungen.
  • Jedes Borel-Maß auf einem Lindelöf-Raum ist moderat. Die lokale Endlichkeit von liefert eine offene Überdeckung des Raumes durch Mengen endlichen Maßes, die Lindelöf-Eigenschaft erlaubt nun aus dieser eine abzählbare Teilüberdeckung auszuwählen. Die beiden obigen Beispiele sind somit ein Spezialfall dieser Eigenschaft.

Moderate Maße und reguläre Maße Bearbeiten

Moderate Maße liefern wichtige Regularitätsaussagen für Borel-Maße. Dabei nutzt man aus, dass für eine offene endliche Überdeckung das Borel-Maß eingeschränkt auf endlich ist und damit viele Regularitätseigenschaften endlicher Borel-Maße sich auf moderate Borel-Maße übertragen.

Auf Hausdorff-Räumen Bearbeiten

Beispielsweise gilt in Hausdorff-Räumen, dass wenn ein moderate Borel-Maß ist und jede offene Menge mit endlichem Maß von innen regulär ist, dass dann auch regulär ist.

Daraus folgt mit den obigen Eigenschaften sofort, dass für einen Hausdorff-Raum die folgenden Schlüsse gelten:

  1. Ist σ-kompakt, so ist jedes Borel-Maß, bei dem jede offene Menge endlichen Maßes von innen regulär ist, auch regulär.
  2. Daraus folgt direkt, dass jedes Radon-Maß auf σ-kompaktem moderat und regulär ist. Hierbei bezeichnet ein Radon-Maß ein von innen reguläres Borel-Maß.
  3. Ist jede offene Menge σ-kompakt, so ist jedes Borel-Maß moderat und regulär. Denn jede σ-kompakte Menge ist von innen regulär.

Auf polnischen Räumen Bearbeiten

Nach dem Satz von Ulam ist jedes Borel-Maß auf einem polnischen Raum regulär und moderat.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 381.

Literatur Bearbeiten

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Ein moderates Mass auch moderates Borel Mass genannt ist ein Begriff aus der Masstheorie einem Teilgebiet der Mathematik das sich mit verallgemeinerten und abstrahierten Langen und Volumenbegriffen beschaftigt und damit die Basis fur die Stochastik und die Integrationstheorie bildet Als moderate Masse bezeichnet man hier spezielle Masse auf Hausdorff Raumen die Borel Masse sind und fur die eine abzahlbare Uberdeckung des Grundraumes aus offenen Mengen endlichen Masses existiert Moderate Masse ermoglichen es allgemeinere Kriterien fur die Regularitat des Masses anzugeben wie es zum Beispiel die Endlichkeit des Borel Masses erlauben wurde Moderate Masse wurden erstmals von Nicolas Bourbaki 1969 eingefuhrt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Eigenschaften 4 Moderate Masse und regulare Masse 4 1 Auf Hausdorff Raumen 4 2 Auf polnischen Raumen 5 Einzelnachweise 6 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein Hausdorff Raum X t displaystyle X tau nbsp und sei B s t displaystyle mathcal B sigma tau nbsp die zugehorige Borelsche s Algebra Ein Borel Mass m B 0 displaystyle mu mathcal B to 0 infty nbsp heisst ein moderates Mass wenn es offene Mengen O n n N displaystyle O n n in mathbb N nbsp gibt so dass m O n lt displaystyle mu O n lt infty nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp ist und X n N O n displaystyle X bigcup n in mathbb N O n nbsp gilt Dabei wird ein Mass als Borel Mass bezeichnet wenn es lokal endlich ist also wenn es zu jedem x X displaystyle x in X nbsp eine Umgebung U x displaystyle U x nbsp mit m U x lt displaystyle mu U x lt infty nbsp gibt Beispiel BearbeitenDas Lebesgue Mass auf R displaystyle mathbb R nbsp ist ein moderates Mass denn es ist lokal endlich Dazu wahlt man zu jedem Punkt x displaystyle x nbsp die Umgebung U x x ϵ 2 x ϵ 2 displaystyle U x x epsilon 2 x epsilon 2 nbsp dann ist l U x ϵ displaystyle lambda U x epsilon nbsp und damit endlich Eine mogliche offene Uberdeckung waren die Mengen O n n n displaystyle O n n n nbsp Eigenschaften BearbeitenJedes moderate Mass ist ein s endliches Mass denn die Forderung einer offenen Uberdeckung ist eine starkere Forderung als die Uberdeckung mit beliebigen Mengen wie sie bei der s Endlichkeit gefordert wird Die umgekehrte Folgerung also von der s Endlichkeit zum moderaten Mass gilt aber im Allgemeinen nicht Jedes von aussen regulare s endliche Borel Mass ist moderat Denn ist M n n N displaystyle M n n in mathbb N nbsp eine Folge von Mengen endlichen Masses die X displaystyle X nbsp uberdeckt so folgt aus der Regularitat von aussen dass es zu jedem M n displaystyle M n nbsp eine offene Menge U M n displaystyle U M n nbsp gibt mit m M n m U M n m M n ϵ lt displaystyle mu M n leq mu U M n mu M n epsilon lt infty nbsp Demnach liefern die U M n displaystyle U M n nbsp eine offene Uberdeckung mit Mengen endlichen Masses wie fur ein moderates Mass gefordert wird Jedes Borel Mass auf einem s kompakten Raum ist moderat Denn dann existieren kompakte Mengen K n n N 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Basismengen sind dann per Definition offen besitzen jeweils nur endliches Mass und erfullen damit die Anforderungen Jedes Borel Mass auf einem Lindelof Raum ist moderat Die lokale Endlichkeit von m displaystyle mu nbsp liefert eine offene Uberdeckung des Raumes durch Mengen endlichen Masses die Lindelof Eigenschaft erlaubt nun aus dieser eine abzahlbare Teiluberdeckung auszuwahlen Die beiden obigen Beispiele sind somit ein Spezialfall dieser Eigenschaft Moderate Masse und regulare Masse BearbeitenModerate Masse liefern wichtige Regularitatsaussagen fur Borel Masse Dabei nutzt man aus dass fur eine offene endliche Uberdeckung O n n N displaystyle O n n in mathbb N nbsp das Borel Mass m displaystyle mu nbsp eingeschrankt auf B O n displaystyle mathcal B O n nbsp endlich ist und damit viele Regularitatseigenschaften endlicher Borel Masse sich auf moderate Borel Masse ubertragen Auf Hausdorff Raumen Bearbeiten Beispielsweise gilt in Hausdorff Raumen dass wenn m displaystyle mu nbsp ein moderate Borel Mass ist und jede offene Menge mit endlichem Mass von innen regular ist dass dann auch m displaystyle mu nbsp regular ist Daraus folgt mit den obigen Eigenschaften sofort dass fur einen Hausdorff Raum X displaystyle X nbsp die folgenden Schlusse gelten Ist X displaystyle X nbsp s kompakt so ist jedes Borel Mass bei dem jede offene Menge endlichen Masses von innen regular ist auch regular Daraus folgt direkt dass jedes Radon Mass auf s kompaktem X displaystyle X nbsp moderat und regular ist Hierbei bezeichnet ein Radon Mass ein von innen regulares Borel Mass Ist jede offene Menge s kompakt so ist jedes Borel Mass moderat und regular Denn jede s kompakte Menge ist von innen regular Auf polnischen Raumen Bearbeiten Nach dem Satz von Ulam ist jedes Borel Mass auf einem polnischen Raum regular und moderat Einzelnachweise Bearbeiten Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2009 S 381 Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 S 318 322 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Moderates Mass amp oldid 222815302