Satz von Ulam Der ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Teilgebiet der Maßtheorie der auf den Mathematiker Stanisław M

Satz von Ulam

Der Satz von Ulam ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Teilgebiet der Maßtheorie, der auf den Mathematiker Stanisław Marcin Ulam zurückgeht. Der Satz behandelt spezielle Eigenschaften von Borelmaßen auf polnischen Räumen.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz von Ulam lässt sich angeben wie folgt:

Verschärfung Bearbeiten

Wie Paul-André Meyer zeigte, lässt sich der Satz von Ulam noch erheblich verschärfen, indem man an die Stelle der polnischen Räume die sogenannten Suslinräume treten lässt. Dabei ist ein Suslinraum ein Hausdorffraum derart, dass dazu ein polnischer Raum mit einer stetigen Surjektion existiert.

Der Satz von Paul-André Meyer besagt dann:

Dass dieser Satz den ulamschen Satz verschärft, ergibt sich angesichts der Tatsache, dass jeder polnische Raum unter der identischen Abbildung stets auch ein Suslinraum ist.

Quellen Bearbeiten

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17904-4.
John C. Oxtoby, S. M. Ulam: On the existence of a measure invariant under a transformation. In: Ann. of Math. (2). Band 40, 1939, S. 560–566, JSTOR:1968940. MR0000097
John C. Oxtoby: Invariant measures in groups which are not locally compact. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 60, 1946, S. 215–237, JSTOR:1990145. MR0018188

Einzelnachweise Bearbeiten

↑ Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 320–323
Die durch eine abzählbare Vereinigung entstehende Vereinigungsmenge ist nicht notwendig selbst abzählbar.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 04, 2023, 18:27 pm

Der Satz von Ulam ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Teilgebiet der Masstheorie der auf den Mathematiker Stanislaw Marcin Ulam zuruckgeht Der Satz behandelt spezielle Eigenschaften von Borelmassen auf polnischen Raumen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Verscharfung 3 Quellen 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz von Ulam lasst sich angeben wie folgt 1 Sei X displaystyle X nbsp ein polnischer Raum und sei weiter m B X 0 displaystyle mu colon mathfrak B X to 0 infty nbsp ein Borelmass auf der s Algebra der Borelmengen von X displaystyle X nbsp Dann gilt 1 m displaystyle mu nbsp ist ein regulares Mass 2 m displaystyle mu nbsp ist ein moderates Mass in dem Sinne dass X displaystyle X nbsp eine Darstellung als abzahlbare Vereinigung der Form 2 X n N U n displaystyle X bigcup n in mathbb N U n nbsp hat in der jedes U n n N displaystyle U n n in mathbb N nbsp eine offene Menge von X displaystyle X nbsp mit m U n lt displaystyle mu U n lt infty nbsp ist dd Verscharfung BearbeitenWie Paul Andre Meyer zeigte lasst sich der Satz von Ulam noch erheblich verscharfen indem man an die Stelle der polnischen Raume die sogenannten Suslinraume treten lasst Dabei ist ein Suslinraum ein Hausdorffraum S displaystyle S nbsp derart dass dazu ein polnischer Raum X displaystyle X nbsp mit einer stetigen Surjektion f X S f X displaystyle f colon X to S f X nbsp existiert Der Satz von Paul Andre Meyer besagt dann 1 Jedes Borelmass m B S 0 displaystyle mu colon mathfrak B S to 0 infty nbsp auf einem Suslinraum S displaystyle S nbsp ist regular und moderat Dass dieser Satz den ulamschen Satz verscharft ergibt sich angesichts der Tatsache dass jeder polnische Raum X displaystyle X nbsp unter der identischen Abbildung stets auch ein Suslinraum ist Quellen BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie Springer Lehrbuch Grundwissen Mathematik 7 korrigierte und aktualisierte Auflage Springer Verlag Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 642 17904 4 John C Oxtoby S M Ulam On the existence of a measure invariant under a transformation In Ann of Math 2 Band 40 1939 S 560 566 JSTOR 1968940 MR0000097 John C Oxtoby Invariant measures in groups which are not locally compact In Transactions of the American Mathematical Society Band 60 1946 S 215 237 JSTOR 1990145 MR0018188Einzelnachweise Bearbeiten a b c Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2011 S 320 323 Die durch eine abzahlbare Vereinigung entstehende Vereinigungsmenge ist nicht notwendig selbst abzahlbar Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Ulam amp oldid 156611925