Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet. Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist abzählbar im Unendlichen genau dann, wenn der bei der Alexandroff-Kompaktifizierung hinzugekommene unendlich ferne Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T3 garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.
Beispielsweise ist , ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt , so dass sich als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume darstellen lässt.
Literatur Bearbeiten
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.
- Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-56860-2, S. 111 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 336.