Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen. Vor Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans sind sie die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Sinus und Kosinus werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. Auch in der Analysis sind sie wichtig.
Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen und elektromagnetische Wellen lassen sich als Zusammensetzung aus Sinus- und Kosinuswellen beschreiben, sodass die Funktionen auch in der Physik als harmonische Schwingungen allgegenwärtig sind.
Herkunft des Namens Bearbeiten
Die lateinische Bezeichnung Sinus „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen Begriff wählte Gerhard von Cremona 1175 als Übersetzung der arabischen Bezeichnung dschaib oder dschība / جيب / ‚Tasche, Kleiderfalte‘, selbst entlehnt von Sanskrit jiva „Bogensehne“ indischer Mathematiker.
Die Bezeichnung „Cosinus“ ergibt sich aus complementi sinus, also Sinus des Komplementärwinkels. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von Georg von Peuerbach und seinem Schüler Regiomontanus erstellt wurden.
Geometrische Definition Bearbeiten
Definition am rechtwinkligen Dreieck Bearbeiten
Alle ebenen, zueinander ähnlichen Dreiecke haben gleiche Winkel und gleiche Längenverhältnisse der Seiten.
Diese Eigenschaft wird benutzt, um Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen. Sind nämlich die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck bekannt, lassen sich die Maße von Winkeln und die Längen von Seiten berechnen. Deshalb haben die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck auch besondere Namen.
Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel abhängig. Denn die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°. Und weil im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel, nämlich der rechte Winkel, mit 90° bekannt ist, müssen die beiden anderen Winkel in der Summe ebenfalls 90° ergeben. Deswegen wird das Maß eines dieser Winkel durch das Maß des anderen Winkels bereits festgelegt. Aufgrund der Kongruenzsätze (z. B. WSW) hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur noch vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.
Deshalb werden die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel wie folgt definiert:
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).
Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.
Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abbildung) gilt hier:
Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten die Ungleichungen und .
Wird statt von α von dem gegenüberliegenden Winkel β ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α wird zur Gegenkathete von β, die Gegenkathete von α bildet nun die Ankathete von β und es gilt:
Da im rechtwinkligen Dreieck gilt, folgt:
und
Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus als Sinus des Komplementärwinkels.
Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung („trigonometrischer Pythagoras“) ableiten:
Im rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definiert. Für beliebige Winkel wird der Wert der Kosinusfunktion als -Koordinate und der Wert der Sinusfunktion als -Koordinate eines Punktes am Einheitskreis (siehe unten) definiert. Hier ist es üblich, den Wert, auf den die Funktion angewendet wird (hier: den Winkel), als Argument zu bezeichnen. Dies betrifft insbesondere die Winkelfunktionen und die komplexe Exponentialfunktion (siehe unten).
Definition am Einheitskreis Bearbeiten
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0 bis 90 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt mit den Koordinaten auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt . Die positive -Achse schließt mit dem Ortsvektor von einen Winkel ein. Der Koordinatenursprung , der Punkt auf der -Achse und der Punkt bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt . Die Ankathete des Winkels ist die Strecke zwischen und und hat die Länge . Es gilt:
Die Gegenkathete des Winkels ist die Strecke zwischen und und hat die Länge . Somit gilt:
Wegen des Strahlensatzes ist die folgende Definition des Tangens wohldefiniert:
Die -Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises ist also der Kosinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der -Achse, während die -Koordinate der Sinus dieses Winkels ist. Die Fortsetzung über den ersten Quadranten hinaus ergibt eine Definition von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel.
Die Umkehrungen der Sinus- und Kosinusfunktion sind nicht eindeutig. Zu jeder Zahl zwischen −1 und 1 () gibt es schon zwischen 0° und 360° () immer genau zwei Winkel. Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:
Punktsymmetrien:
Achsensymmetrien:
Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade.
Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit der Periode 360 Grad. (Man kann einen Winkel von beispielsweise 365° nicht von einem Winkel von 5° unterscheiden. Aber der eine beschreibt eine Drehbewegung von reichlich einer Umdrehung, der andere eine sehr kleine Drehbewegung ‒ nur eine zweiundsiebzigstel Umdrehung.) Also gilt auch
sowie
wobei eine beliebige ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu (cos) bzw. (sin) und zu (sin) bzw. (cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetriezentren für beide Funktionen.
Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus der Drehbewegung eines Winkelschenkels beginnend bei der -Achse veranschaulicht folgende Animation. Der Winkel wird im Bogenmaß gemessen. Ein Winkel von entspricht einem Bogenmaß von .
Analytische Definition Bearbeiten
Sinus und Kosinus können auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden; dieser formalere Zugang spielt auch in der Analysis eine Rolle. Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die Erweiterung auf komplexe Argumente. Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion aufgefasst sind holomorph und surjektiv.
Motivation durch Taylorreihen Bearbeiten
Sinus und Kosinus sind als Funktionen von nach erklärt. Sie sind beliebig oft differenzierbar. Für die Ableitungen im Nullpunkt gilt:
Die sich daraus ergebenden Taylorreihen stellen die Funktionen und dar, das heißt:
Reihenentwicklung in der Analysis Bearbeiten
In der Analysis geht man umgekehrt von den Reihenentwicklungen aus und leitet daraus alles her, indem die Funktionen sin und cos durch die oben angegebenen Potenzreihen erklärt werden. Mit dem Quotientenkriterium lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede komplexe Zahl absolut und in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßig konvergieren. Diese unendlichen Reihen verallgemeinern die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. Auch wird dort üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über die cos-Reihe und die Beziehung als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert. Damit ist eine präzise analytische Definition von gegeben.
Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischen Berechnung lassen sich daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und der -Wert bis auf den Bereich bis reduzieren. Danach sind je nach geforderter Genauigkeit nur noch relativ wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z. B. hat im Intervall einen relativen Fehler von unter 0,05 %. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser Taylorpolynome grafisch dargestellt und man findet eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in Abramowitz-Stegun finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.
Beziehung zur Exponentialfunktion Bearbeiten
Die trigonometrischen Funktionen sind eng mit der Exponentialfunktion verbunden, wie folgende Rechnung zeigt:
Dabei wurde verwendet:
Somit ergibt sich die sogenannte Eulerformel:
Für eine reelle Zahl ist also der Realteil und der Imaginärteil der komplexen Zahl .
Durch Ersetzung von durch ergibt sich:
Diese und die vorangegangenen Gleichungen lassen sich nach den trigonometrischen Funktionen auflösen. Es folgt:
Diese Gleichungen gelten nicht nur für reelle Argumente, sondern für beliebige komplexe Zahlen. Somit ergibt sich eine alternative Definition für die Sinus- und Kosinusfunktion. Durch Einsetzen der Exponentialreihe leiten sich die oben vorgestellten Potenzreihen ab.
Ausgehend von dieser Definition lassen sich viele Eigenschaften, wie zum Beispiel die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus, nachweisen.
Definition über das Integral Bearbeiten
Der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals zur Berechnung der Bogenlänge
also und (siehe unten).
Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge Bearbeiten
Die Definition des Sinus und Kosinus als Potenzreihe liefert einen sehr bequemen Zugang, da die Differenzierbarkeit durch die Definition als konvergente Potenzreihe automatisch gegeben ist. Die Eulerformel ist ebenfalls eine einfache Konsequenz aus den Reihendefinitionen, da sich die Reihen für und ganz offenbar zur Exponentialfunktion zusammenfügen, wie oben gezeigt wurde. Durch Betrachtung der Funktion , die das Intervall auf die Kreislinie abbildet, ergibt sich die Beziehung zur Geometrie, denn und sind nichts weiter als der Real- bzw. Imaginärteil von , das heißt die Projektionen dieses Punktes auf die Koordinatenachsen.
Neben gibt es auch andere sinnvolle Parametrisierungen des Einheitskreises, etwa
Geht man von dieser Formel aus, erhält man einen alternativen Zugang. Die Länge dieser Kurve wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich zu
Wie leicht zu zeigen ist, ist ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von gleich ist; wird bei dieser Vorgangsweise analytisch als Supremum von definiert.
Die Funktion
ist auch differenzierbar:
Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die Umkehrfunktion
gilt:
Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion lassen sich nun Sinus und Kosinus als - und -Komponente von analytisch definieren:
Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.
Definition als Lösung einer Funktionalgleichung Bearbeiten
Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen , das für alle die Gleichungen
erfüllt. Die Lösung definiert dann den Sinus, die Lösung den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass
ist. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die Differenzierbarkeit des Sinus an der Stelle 0 vorausgesetzt; wird in weiterer Folge analytisch als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den Zugang von Leopold Vietoris und berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger, auf geeignete Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis eingeschriebenen -Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise:
Unter den gewählten Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise durch die Taylorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung nachweisen und tatsächlich lösen.
Produktentwicklung Bearbeiten
Wertebereich und spezielle Funktionswerte Bearbeiten
Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus Bearbeiten
Insbesondere folgt daraus und . Diese Ungleichungen gelten aber nur für reelle Argumente ; für komplexe Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.
Verlauf des Sinus in den vier Quadranten Bearbeiten
In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:
| Quadrant | Gradmaß | Bogenmaß | Bildmenge | Monotonie | Konvexität | Punkttyp |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | Nullstelle, Wendepunkt | ||||
| 1. Quadrant | positiv: | steigend | konkav | |||
| 1 | Maximum | |||||
| 2. Quadrant | positiv: | fallend | konkav | |||
| 0 | Nullstelle, Wendepunkt | |||||
| 3. Quadrant | negativ: | fallend | konvex | |||
| Minimum | ||||||
| 4. Quadrant | negativ: | steigend | konvex |
Für Argumente außerhalb dieses Bereiches ergibt sich der Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) ist, d. h. . Außerdem gilt , , etc.
Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten Bearbeiten
Der Kosinus stellt einen um 90° (bzw. π/2 rad) phasenverschobenen Sinus dar und es gilt .
In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:
| Quadrant | Gradmaß | Bogenmaß | Bildmenge | Monotonie | Konvexität | Punkttyp |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | Maximum | ||||
| 1. Quadrant | positiv: | fallend | konkav | |||
| 0 | Nullstelle, Wendepunkt | |||||
| 2. Quadrant | negativ: | fallend | konvex | |||
| Minimum | ||||||
| 3. Quadrant | negativ: | steigend | konvex | |||
| Nullstelle, Wendepunkt | ||||||
| 4. Quadrant | positiv: | steigend | konkav |
Für Argumente außerhalb dieses Bereiches lässt sich der Wert des Kosinus – so wie der des Sinus – periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) bestimmen, d. h. . Außerdem gilt .
Komplexes Argument Bearbeiten
Für komplexe Argumente kann man Sinus und Kosinus entweder über die Reihenentwicklung oder über die Formeln
definieren.
Für komplexe Argumente gilt
und
was aus den Additionstheoremen und den Zusammenhängen sowie hergeleitet werden kann, wobei und die Hyperbelfunktionen Sinus und Cosinus hyperbolicus bezeichnen.
Sinus und Kosinus sind für reelle Argumente auf Werte aus dem Intervall beschränkt; im Definitionsbereich der komplexen Zahlen sind sie dagegen unbeschränkt, was aus dem Satz von Liouville folgt. Sinus und Kosinus können für komplexe Argumente sogar beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen.
Zum Beispiel gilt:
Für reelle nimmt diesen Wert aber nie an.
In den Bildern auf der rechten Seite gibt die Farbe den Winkel des Arguments an, die Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen ein Übergang zu weiß stattfindet. Die genaue Zuordnung ergibt sich aus nebenstehendem Bild, das jeder komplexen Zahl eine Farbe und eine Intensität zuordnet. An den Bildern zu Sinus und Kosinus ist erkennbar, dass auch im Komplexen Periodizität in -Richtung vorliegt (nicht aber in -Richtung) und dass Sinus und Kosinus durch eine Verschiebung um auseinander hervorgehen.
Wichtige Funktionswerte Bearbeiten
Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode (entspricht im Gradmaß ) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich (entspricht dem Bereich bis ) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang
bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog:
Hierbei bezeichnet eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.
| Winkel (Grad) | Bogenmaß | Sinus | Kosinus |
|---|---|---|---|
Weitere wichtige Werte sind:
| Winkel (Grad) | Bogenmaß | Sinus | Kosinus |
|---|---|---|---|
Beweisskizzen:
- , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt .
- , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der -Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1) und somit die Gegenkathete (Sinus) die halbe Seitenlänge beträgt.
- , weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen für den Cosinus nach Pythagoras gilt .
- , weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
- , weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
- und lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.
Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte Bearbeiten
Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung ergibt sich:
Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich viele weitere solche Ausdrücke berechnen wie beispielsweise die Seitenlänge eines regulären Fünfecks über
und aus
Aus und lassen sich dann z. B. und rekursiv weiter auch alle , ermitteln.
Generell gilt, dass und genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also, wenn von der Gestalt
ist, wobei , und die für paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen sind. In obigem Beispiel von ist und der Nenner gleich .
Multiplikationsformeln Bearbeiten
Die folgenden Ausdrücke gelten für alle und komplexen Argumente :
Fixpunkte Bearbeiten
Die Fixpunktgleichung besitzt
als einzige reelle Lösung.
Die Gleichung hat als einzige reelle Lösung
Die Lösung dieser Fixpunktgleichung wurde bereits 1748 von Leonhard Euler untersucht. Sie ist ein einfaches Beispiel für einen nichttrivialen global attraktiven Fixpunkt. Das heißt, die Fixpunktiteration konvergiert für jeden Startwert gegen die Lösung. Mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß kann nachgewiesen werden, dass es sich dabei um eine transzendente Zahl handelt. Diese mathematische Konstante wird im englischen Sprachraum auch als Dottie number bezeichnet und mit dem armenischen Buchstaben ա (Ayb) abgekürzt.
Berechnung Bearbeiten
Zur Berechnung von Sinus und Cosinus gibt es mehrere Verfahren. Die Wahl des Berechnungsverfahrens richtet sich nach Kriterien wie Genauigkeit, Geschwindigkeit der Berechnung und Leistungsfähigkeit der verwendeten Hardware wie zum Beispiel Mikrocontroller:
- Tabellierung aller benötigten Funktionswerte
- Tabellierung von Funktionswerten zusammen mit Interpolationsverfahren
- Berechnung mit dem CORDIC-Algorithmus
- Verwendung der Taylor-Reihe
- schnelle, aber grob genäherte Abschätzung mit Hilfe der Zwölftel-Regel
Die Tabellierung aller Werte ist angezeigt bei geschwindigkeitskritischen Echtzeitsystemen, wenn diese nur eine recht kleine Winkelauflösung benötigen. CORDIC ist i. d. R. effizienter umsetzbar als die Taylor-Reihe und zudem besser konditioniert.
Umkehrfunktion Bearbeiten
Da sich zu einem gegebenen Wert ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen