Dieser Artikel behandelt die Taylorformel also die Darstellung von Funktionen durch ein endliches Taylorpolynom und ein Restglied Fur die Darstellung von Funktionen durch den Grenzwert der Taylorpolynome siehe Taylorreihe Die Taylor Formel auch Satz von Taylor ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor Man kann diese Formel verwenden um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome die sogenannten Taylorpolynome 1 anzunahern Man spricht auch von der Taylor Naherung Die Taylor Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nutzlichkeit ein Hilfsmittel in vielen Ingenieur Sozial und Naturwissenschaften geworden So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch ein Taylorpolynom geringen Grades oftmals gut angenahert werden z B in der Physik oder bei der Ausgleichung geodatischer Netze Die oft verwendete Kleinwinkelnaherung des Sinus ist eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe dieser Funktion Eng verwandt mit der Taylor Formel ist die sogenannte Taylorreihe Taylor Entwicklung Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 1 1 Annaherung durch Tangente 1 2 Annaherung durch Schmiegparabel 1 3 Annaherung durch Polynome vom Grad n 2 Qualitative Taylorformel 3 Definitionen und Satz 3 1 Taylorpolynom 3 2 Integralrestglied 3 3 Satz Taylorformel mit Integralrestglied 4 Beweis 5 Restgliedformeln 5 1 Schlomilch Restglied und dessen Herleitung 5 2 Spezialfalle des Schlomilch Restglieds 5 2 1 Peano Restglied 5 3 Weitere Darstellung 6 Restgliedabschatzung 7 Naherungsformeln fur Sinus und Kosinus 8 Taylor Formel im Mehrdimensionalen 8 1 Mehrdimensionales Taylorpolynom 8 1 1 Schmiegquadrik 8 2 Mehrdimensionales Integralrestglied 8 3 Mehrdimensionale Taylor Formel 8 4 Mehrdimensionale Restgliedformeln 8 5 Qualitative Taylorformel 8 6 Beispiel 9 Taylor Formel fur Operatoren auf Banachraumen 10 Literatur 11 EinzelnachweiseMotivation BearbeitenAnnaherung durch Tangente Bearbeiten Eine Naherung fur eine differenzierbare Funktion f displaystyle f nbsp an einer Stelle a displaystyle a nbsp durch eine Gerade also durch ein Polynom 1 Grades ist gegeben durch die Tangente mit der Gleichung T 1 f x a f a f a x a displaystyle T 1 f x a f a f a x a nbsp Sie lasst sich dadurch charakterisieren dass an der Stelle x a displaystyle x a nbsp die Funktionswerte und die Werte der 1 Ableitung Steigung von f x displaystyle f x nbsp und T 1 f x a displaystyle T 1 f x a nbsp ubereinstimmen f a T 1 f a a f a T 1 f a a displaystyle f a T 1 f a a f a T 1 f a a nbsp Wenn man den Rest R 1 f x a f x T 1 f x a displaystyle R 1 f x a f x T 1 f x a nbsp definiert so gilt f x T 1 f x a R 1 f x a displaystyle f x T 1 f x a R 1 f x a nbsp Die Funktion T 1 f x a displaystyle T 1 f x a nbsp approximiert f displaystyle f nbsp in der Nahe der Stelle x a displaystyle x a nbsp in dem Sinne dass fur den Rest gilt 1 lim x a R 1 f x a x a lim x a f x T 1 f x a x a lim x a f x f a x a f a 0 displaystyle 1 lim x to a frac R 1 f x a x a lim x to a frac f x T 1 f x a x a lim x to a frac f x f a x a f a 0 nbsp siehe bei der Definition der Ableitung Annaherung durch Schmiegparabel Bearbeiten Man kann vermuten dass man fur zweimal differenzierbares f displaystyle f nbsp eine noch bessere Naherung erhalt wenn man dazu ein quadratisches Polynom T 2 f x a displaystyle T 2 f x a nbsp verwendet von dem man verlangt dass zusatzlich noch T 2 f a a f a displaystyle T 2 f a a f a nbsp gilt Der Ansatz T 2 f x a a 0 a 1 x a a 2 x a 2 displaystyle T 2 f x a a 0 a 1 x a a 2 x a 2 nbsp fuhrt durch Berechnung der Ableitungen auf a 0 f a a 1 f a displaystyle a 0 f a a 1 f a nbsp und a 2 1 2 f a displaystyle a 2 frac 1 2 f a nbsp also T 2 f x a f a f a x a 1 2 f a x a 2 displaystyle T 2 f x a f a f a x a frac 1 2 f a x a 2 nbsp Diese Naherungsfunktion bezeichnet man auch als Schmiegparabel Man definiert nun dazu den passenden Rest R 2 f x a f x T 2 f x a displaystyle R 2 f x a f x T 2 f x a nbsp sodass wieder f x T 2 f x a R 2 f x a displaystyle f x T 2 f x a R 2 f x a nbsp Dann erhalt man dass die Schmiegparabel die gegebene Funktion bei x a displaystyle x a nbsp in der Tat besser approximiert da nun mit der Regel von de L Hospital lim x a R 2 f x a x a 2 lim x a f x f a f a x a x a 2 1 2 f a lim x a f x f a 2 x a 1 2 f a 0 displaystyle lim x to a frac R 2 f x a x a 2 lim x to a frac f x f a f a x a x a 2 frac 1 2 f a lim x to a frac f x f a 2 x a frac 1 2 f a 0 nbsp gilt Annaherung durch Polynome vom Grad n Bearbeiten Dieses Vorgehen lasst sich nun leicht auf Polynome n displaystyle n nbsp ten Grades T n x displaystyle T n x nbsp verallgemeinern Hier soll gelten T n f a a f a T n f a a f a T n n f a a f n a displaystyle T n f a a f a T n f a a f a ldots T n n f a a f n a nbsp Es ergibt sich T n f x a f a f a 1 x a f a 2 x a 2 f n a n x a n displaystyle T n f x a f a frac f a 1 x a frac f a 2 x a 2 dotsb frac f n a n x a n nbsp Mit der Regel von de L Hospital finden wir ausserdem lim x a f x T n f x a x a n lim x a f x T n f x a n x a n 1 displaystyle lim x to a frac f x T n f x a x a n lim x to a frac f x T n f x a n x a n 1 nbsp Daher ergibt sich mit vollstandiger Induktion uber n displaystyle n nbsp dass fur R n f x a f x T n f x a displaystyle R n f x a f x T n f x a nbsp gilt lim x a R n f x a x a n 0 displaystyle lim x to a frac R n f x a x a n 0 nbsp Qualitative Taylorformel BearbeitenIst f displaystyle f nbsp n displaystyle n nbsp mal differenzierbar so folgt sofort aus der obigen Betrachtung dass f x T n f x a R n f x a T n f x a o x a n x a displaystyle f x T n f x a R n f x a T n f x a o x a n quad x rightarrow a nbsp wobei o displaystyle o nbsp fur die Landau Notation steht Diese Formel nennt man qualitative Taylorformel Je naher x displaystyle x nbsp bei a displaystyle a nbsp liegt desto besser approximiert also T n f x a displaystyle T n f x a nbsp das sog Taylorpolynom siehe unten an der Stelle x displaystyle x nbsp die Funktion f displaystyle f nbsp Definitionen und Satz BearbeitenIm Folgenden wird die Taylor Formel mit Integralrestglied vorgestellt Die Taylor Formel existiert auch in Varianten mit anderem Restglied diese Formeln folgen jedoch aus der Taylor Formel mit Integralrestglied Sie stehen unten im Abschnitt Restgliedformeln Sei I R displaystyle I subset mathbb R nbsp ein Intervall und f I R displaystyle f colon I to mathbb R nbsp eine n 1 displaystyle n 1 nbsp mal stetig differenzierbare Funktion In den folgenden Formeln stehen f f f k displaystyle f f dots f k nbsp fur die erste zweite k displaystyle k nbsp te Ableitung der Funktion f displaystyle f nbsp Taylorpolynom Bearbeiten Das n displaystyle n nbsp te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a I displaystyle a in I nbsp ist definiert durch T n f x a k 0 n f k a k x a k f a f a 1 x a f a 2 x a 2 f n a n x a n displaystyle begin aligned T n f x a amp sum k 0 n f k a over k x a k amp f a frac f a 1 x a frac f a 2 x a 2 ldots frac f n a n x a n end aligned nbsp Damit gehort es zu den Potenzreihen Integralrestglied Bearbeiten Das n displaystyle n nbsp te Integralrestglied ist definiert durch R n f x a a x x t n n f n 1 t d t displaystyle R n f x a int limits a x frac x t n n f n 1 t mathrm d t nbsp Satz Taylorformel mit Integralrestglied Bearbeiten Fur alle a displaystyle a nbsp und x displaystyle x nbsp aus I displaystyle I nbsp gilt f x T n f x a R n f x a k 0 n f k a k x a k a x x t n n f n 1 t d t displaystyle begin aligned f x amp T n f x a R n f x a amp sum k 0 n f k a over k x a k int limits a x frac x t n n f n 1 t mathrm d t end aligned nbsp Beweis BearbeitenDer Beweis der Taylor Formel mit Integralrestglied erfolgt durch vollstandige Induktion uber n displaystyle n nbsp Der Induktionsanfang n 0 displaystyle n 0 nbsp entspricht dabei genau dem Fundamentalsatz der Analysis angewendet auf die einmal stetig differenzierbare Funktion f displaystyle f nbsp f x f a a x f t d t T 0 f x a R 0 f x a displaystyle f x f a int limits a x f t mathrm d t T 0 f x a R 0 f x a nbsp Der Induktionsschritt n n 1 displaystyle n rightarrow n 1 nbsp es ist zu zeigen dass die Formel stets auch fur n 1 displaystyle n 1 nbsp gilt falls sie fur ein n displaystyle n nbsp gilt erfolgt durch partielle Integration Fur n 2 displaystyle n 2 nbsp mal stetig differenzierbares f displaystyle f nbsp ergibt sich f n 1 a n 1 x a n 1 R n 1 f x a f n 1 a n 1 x a n 1 a x x t n 1 n 1 f n 2 t d t f n 1 a n 1 x a n 1 x t n 1 n 1 f n 1 t t a t x a x x t n n f n 1 t d t x a n 1 n 1 f n 1 a x a n 1 n 1 f n 1 a R n f x a R n f x a displaystyle begin aligned amp frac f n 1 a n 1 x a n 1 R n 1 f x a amp frac f n 1 a n 1 x a n 1 int limits a x frac x t n 1 n 1 f n 2 t mathrm d t amp frac f n 1 a n 1 x a n 1 left frac x t n 1 n 1 f n 1 t right t a t x int limits a x frac x t n n f n 1 t mathrm d t amp frac x a n 1 n 1 f n 1 a frac x a n 1 n 1 f n 1 a R n f x a amp R n f x a end aligned nbsp und somit T n 1 f x a R n 1 f x a T n f x a R n f x a f x displaystyle T n 1 f x a R n 1 f x a T n f x a R n f x a f x nbsp Restgliedformeln BearbeitenEs gibt ausser der Integralformel noch andere Darstellungen des Restgliedes Schlomilch Restglied und dessen Herleitung Bearbeiten Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ergibt sich fur jede naturliche Zahl p displaystyle p nbsp mit 1 p n 1 displaystyle 1 leq p leq n 1 nbsp dass es ein 3 displaystyle xi nbsp zwischen a displaystyle a nbsp und x displaystyle x nbsp gibt sodass a x f n 1 t x t n 1 p n x t p 1 d t f n 1 3 x 3 n 1 p n a x x t p 1 d t x a p p displaystyle int limits a x f n 1 t frac x t n 1 p n cdot x t p 1 mathrm d t frac f n 1 xi x xi n 1 p n cdot underbrace int limits a x x t p 1 mathrm d t frac x a p p nbsp Damit folgt die Schlomilchsche Restgliedform R n f x a a x x t n n f n 1 t d t f n 1 3 p n x 3 n 1 p x a p displaystyle R n f x a int limits a x frac x t n n f n 1 t mathrm d t frac f n 1 xi p cdot n x xi n 1 p x a p nbsp fur ein 3 displaystyle xi nbsp zwischen a displaystyle a nbsp und x displaystyle x nbsp Spezialfalle des Schlomilch Restglieds Bearbeiten Ein Spezialfall namlich der mit p 1 displaystyle p 1 nbsp ist die Form nach Cauchy R n f x a f n 1 3 n x 3 n x a displaystyle R n f x a frac f n 1 xi n x xi n x a nbsp fur ein 3 displaystyle xi nbsp zwischen a displaystyle a nbsp und x displaystyle x nbsp Im Spezialfall p n 1 displaystyle p n 1 nbsp erhalten wir das Lagrangesche Restglied R n f x a f n 1 3 n 1 x a n 1 displaystyle R n f x a frac f n 1 xi n 1 x a n 1 nbsp fur ein 3 displaystyle xi nbsp zwischen a displaystyle a nbsp und x displaystyle x nbsp Bei dieser Darstellung braucht die n 1 displaystyle n 1 nbsp te Ableitung von f displaystyle f nbsp nicht stetig zu sein Peano Restglied Bearbeiten Mit der Taylorformel mit Lagrange Restglied erhalt man fur n displaystyle n nbsp mal stetig differenzierbares f displaystyle f nbsp ausserdem f x T n 1 f x a f n 3 n x a n T n f x a f n 3 f n a n x a n displaystyle f x T n 1 f x a frac f n xi n x a n T n f x a frac f n xi f n a n x a n nbsp Darum kann man als Restglied auch R n f x a f n 3 f n a n x a n displaystyle R n f x a frac f n xi f n a n x a n nbsp verwenden wobei f displaystyle f nbsp hier nur n displaystyle n nbsp mal stetig differenzierbar sein muss Dieses Restglied nennt man Peano Restglied Weitere Darstellung Bearbeiten Setzt man 8 3 a x a displaystyle Theta tfrac xi a x a nbsp das heisst 3 a 8 x a displaystyle xi a Theta x a nbsp so erhalt die Lagrangesche Darstellung die Form R n f x a f n 1 a 8 x a n 1 x a n 1 displaystyle R n f x a frac f n 1 a Theta x a n 1 x a n 1 nbsp die Schlomilchsche R n f x a f n 1 a 8 x a p n 1 8 n 1 p x a n 1 displaystyle R n f x a frac f n 1 a Theta x a p cdot n 1 Theta n 1 p x a n 1 nbsp und die Cauchysche R n f x a f n 1 a 8 x a n 1 8 n x a n 1 displaystyle R n f x a frac f n 1 a Theta x a n 1 Theta n x a n 1 nbsp jeweils fur ein 8 displaystyle Theta nbsp zwischen 0 und 1 Restgliedabschatzung BearbeitenLiegt das Intervall a r a r displaystyle a r a r nbsp in I displaystyle I nbsp der Definitionsbereich von f displaystyle f nbsp kann man mit dem Restglied von Lagrange siehe im Abschnitt Restgliedformeln fur alle x a r a r displaystyle x in a r a r nbsp und wegen 3 displaystyle xi nbsp zwischen a displaystyle a nbsp und x displaystyle x nbsp und somit auch 3 a r a r displaystyle xi in a r a r nbsp folgende Abschatzung herleiten R n f x a f n 1 3 n 1 x a n 1 sup 3 a r a r f n 1 3 n 1 x a n 1 displaystyle R n f x a left frac f n 1 xi n 1 x a n 1 right leq sup xi in a r a r left frac f n 1 xi n 1 x a n 1 right nbsp Gilt f n 1 x M n displaystyle f n 1 x leq M n nbsp fur alle x a r a r displaystyle x in a r a r nbsp so gilt daher fur das Restglied die Abschatzung x a r a r R n f x a M n x a n 1 n 1 M n r n 1 n 1 displaystyle forall x in a r a r R n f x a leq M n frac x a n 1 n 1 leq M n frac r n 1 n 1 nbsp Restgliedabschatzungen sind nicht auf den reellen Fall beschrankt Ist D K displaystyle D subseteq mathbb K nbsp mit K R C displaystyle mathbb K in mathbb R mathbb C nbsp konvex fur K R displaystyle mathbb K mathbb R nbsp zum Beispiel ein Intervall und fur K C displaystyle mathbb K mathbb C nbsp ein konvexes Gebiet mit a D displaystyle a in D nbsp so existiert fur jede n displaystyle n nbsp mal stetig differenzierbare Abbildung f D C displaystyle f colon D to mathbb C nbsp ein stetiges Restglied R n f a D C displaystyle R n f a colon D to mathbb C nbsp sodass 2 f x k 0 n f k x k x a k R n f a x x D displaystyle f x sum k 0 n frac f k x k x a k R n f a x qquad x in D nbsp Das Restglied genugt fur x D displaystyle x in D nbsp der Abschatzung R n f a x x a n n 1 sup 0 lt t lt 1 f n a t x a f n a displaystyle R n f a x leq frac x a n n 1 sup 0 lt t lt 1 f n a t x a f n a nbsp Naherungsformeln fur Sinus und Kosinus BearbeitenEine Anwendung der Taylorformel sind Naherungsformeln hier vorgestellt am Beispiel Sinus und Kosinus wobei das Argument im Bogenmass angegeben wird Fur f x sin x displaystyle f x sin x nbsp gilt f x cos x f x sin x f x cos x f x sin x displaystyle f x cos x f x sin x f x cos x f x sin x nbsp also lautet das 4 Taylorpolynom der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 T 4 sin x 0 f 0 f 0 x 1 2 f 0 x 2 1 6 f 0 x 3 1 24 f 0 x 4 x x 3 6 displaystyle T 4 sin x 0 f 0 f 0 x frac 1 2 f 0 x 2 frac 1 6 f 0 x 3 frac 1 24 f 0 x 4 x frac x 3 6 nbsp Aus f 5 x cos x displaystyle f 5 x cos x nbsp ergibt sich fur das Restglied von Lagrange R 4 sin x 0 f 5 3 5 x 5 cos 3 120 x 5 displaystyle R 4 sin x 0 frac f 5 xi 5 x 5 frac cos xi 120 x 5 nbsp mit 3 displaystyle xi nbsp zwischen 0 und x displaystyle x nbsp Wegen cos 3 1 displaystyle cos xi leq 1 nbsp folgt die Restgliedabschatzung T 4 sin x 0 sin x x 5 120 displaystyle T 4 sin x 0 sin x leq frac x 5 120 nbsp Liegt x displaystyle x nbsp zwischen p 4 displaystyle frac pi 4 nbsp und p 4 displaystyle frac pi 4 nbsp dann liegt die relative Abweichung T 4 sin x 0 sin x sin x displaystyle left frac T 4 sin x 0 sin x sin x right nbsp von T 3 sin x 0 displaystyle T 3 sin x 0 nbsp zu sin x displaystyle sin x nbsp bei unter 0 5 Tatsachlich genugt fur die Annaherung des Sinus auf diese Genauigkeit sogar schon das Taylorpolynom 3 Ordnung da f 0 0 displaystyle f 0 0 nbsp fur f x sin x displaystyle f x sin x nbsp und daher T 3 sin x 0 T 4 sin x 0 displaystyle T 3 sin x 0 T 4 sin x 0 nbsp Daraus ergibt sich auch folgende weitere Abschatzung fur drittes und viertes Taylorpolynom die bei sehr grossen x genauer ist T 4 sin x 0 sin x x 4 24 displaystyle T 4 sin x 0 sin x leq frac x 4 24 nbsp Die folgende Abbildung zeigt die Graphen einiger Taylorpolynome des Sinus um Entwicklungsstelle 0 fur n 1 3 5 15 displaystyle n 1 3 5 15 nbsp Der Graph zu n displaystyle n infty nbsp gehort zur Taylorreihe die mit der Sinusfunktion ubereinstimmt nbsp nbsp Approximation des Sinus durch Taylorpolynome T 1 sin x 0 displaystyle T 1 sin x 0 nbsp bis T 40 sin x 0 displaystyle T 40 sin x 0 nbsp Das vierte Taylorpolynom T 4 cos x 0 displaystyle T 4 cos x 0 nbsp der Kosinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 hat im Horner Schema diese Gestalt cos x T 4 cos x 0 x 2 12 1 x 2 2 1 displaystyle cos x approx T 4 cos x 0 left frac x 2 12 1 right cdot frac x 2 2 1 nbsp Liegt x zwischen p 4 displaystyle frac pi 4 nbsp und p 4 displaystyle frac pi 4 nbsp dann liegt die relative Abweichung T 4 cos x 0 cos x cos x displaystyle left frac T 4 cos x 0 cos x cos x right nbsp bei unter 0 05 Auch fur Kotangens und Tangens kann man diese Formeln nutzen denn es ist tan x t x T 3 sin x 0 T 4 cos x 0 displaystyle tan x sim t x frac T 3 sin x 0 T 4 cos x 0 nbsp mit einer relativen Abweichung von unter 0 5 fur x lt p 4 displaystyle left x right lt frac pi 4 nbsp und cot x 1 t x displaystyle cot x sim 1 t x nbsp mit derselben relativen Abweichung dabei ist t displaystyle t nbsp kein Taylorpolynom des Tangens Braucht man eine noch hohere Genauigkeit fur seine Naherungsformeln dann kann man auf hohere Taylorpolynome zuruckgreifen die die Funktionen noch besser approximieren Taylor Formel im Mehrdimensionalen BearbeitenSiehe auch Mehrdimensionale Taylorreihe im Artikel Taylorreihe Sei nun im Folgenden f R d R displaystyle f colon mathbb R d to mathbb R nbsp eine n 1 displaystyle n 1 nbsp mal stetig differenzierbare Funktion und x x 1 x d a a 1 a d R d displaystyle x x 1 ldots x d a a 1 ldots a d in mathbb R d nbsp Sei ferner F R R displaystyle F colon mathbb R to mathbb R nbsp F t f a t h displaystyle F t f a th nbsp wobei h x a displaystyle h x a nbsp Sei ferner wie in der Multiindex Notation D a a x 1 a 1 x d a d displaystyle D alpha frac partial alpha partial x 1 alpha 1 cdots partial x d alpha d nbsp Im folgenden Abschnitt wird die Multiindex Notation verwendet damit man sofort sieht dass der mehrdimensionale Fall fur d 1 displaystyle d 1 nbsp tatsachlich dieselben Formeln ergibt wie der eindimensionale Fall Mehrdimensionales Taylorpolynom Bearbeiten Mit der mehrdimensionalen Kettenregel und Induktion erhalt man dass F n t a n n a x a a D a f a t h displaystyle F n t sum alpha n left begin matrix n alpha end matrix right x a alpha D alpha f a th nbsp wobei n a displaystyle left begin matrix n alpha end matrix right nbsp der Multinomialkoeffizient ist siehe auch Multinomialtheorem Stellt man F displaystyle F nbsp im Punkt 1 durch ein Taylorpolynom mit Entwicklungsstelle 0 dar so erhalt man durch diese Formel die Definition des mehrdimensionalen Taylorpolynoms von f displaystyle f nbsp an der Entwicklungsstelle a displaystyle a nbsp T n f x a T n F 1 0 a 0 n x a a a D a f a displaystyle T n f x a T n F 1 0 sum alpha 0 n frac x a alpha alpha D alpha f a nbsp Hierbei hat man verwendet dass n a 1 n 1 a displaystyle left begin matrix n alpha end matrix right cdot frac 1 n frac 1 alpha nbsp Schmiegquadrik Bearbeiten Das zweite Taylorpolynom einer skalarwertigen Funktion in mehr als einer Variable kann bis zur zweiten Ordnung kompakter geschrieben werden als T 2 f x a f a f a T x a 1 2 x a T H f a x a displaystyle T 2 f x a f a nabla f a mathrm T x a frac 1 2 x a mathrm T operatorname H f a x a nbsp Dabei ist f a displaystyle nabla f a nbsp der Gradient und H f a displaystyle operatorname H f a nbsp die Hesse Matrix von f displaystyle f nbsp jeweils an der Stelle a displaystyle a nbsp Das zweite Taylorpolynom nennt man auch Schmiegquadrik Mehrdimensionales Integralrestglied Bearbeiten Ebenso definiert man das mehrdimensionale Restglied mithilfe der Multiindex Notation R n f x a R n F 1 0 0 1 1 t n n F n 1 t d t n 1 0 1 a n 1 1 t n x a a a D a f a t h d t displaystyle begin aligned R n f x a amp R n F 1 0 int limits 0 1 frac 1 t n n F n 1 t mathrm d t amp n 1 int limits 0 1 sum alpha n 1 frac 1 t n x a alpha alpha D alpha f a th mathrm d t end aligned nbsp Mehrdimensionale Taylor Formel Bearbeiten Aus der eindimensionalen Taylor Formel folgt dass F 1 T n F 1 0 R n F 1 0 displaystyle F 1 T n F 1 0 R n F 1 0 nbsp Nach der obigen Definition von F t displaystyle F t nbsp erhalt man daher f x T n f x a R n f x a displaystyle f x T n f x a R n f x a nbsp Mehrdimensionale Restgliedformeln Bearbeiten Man kann auch die eindimensionalen Nicht Integral Restgliedformeln mithilfe der Formel fur F n t displaystyle F n t nbsp fur den mehrdimensionalen Fall verallgemeinern Das Schlomilch Restglied wird so zu R n f x a n 1 1 8 n 1 p p a n 1 x a a D a f a 8 h a displaystyle R n f x a frac n 1 1 theta n 1 p p sum alpha n 1 frac x a alpha D alpha f a theta h alpha nbsp das Lagrange Restglied zu R n f x a a n 1 x a a D a f a 8 h a displaystyle R n f x a sum alpha n 1 frac x a alpha D alpha f a theta h alpha nbsp und das Cauchy Restglied zu R n f x a n 1 1 8 n a n 1 x a a D a f a 8 h a displaystyle R n f x a n 1 1 theta n sum alpha n 1 frac x a alpha D alpha f a theta h alpha nbsp fur jeweils ein 8 0 1 displaystyle theta in 0 1 nbsp Qualitative Taylorformel Bearbeiten Nach der mehrdimensionalen Taylorformel ergibt sich mit dem Lagrange Restglied f x T n 1 f x a n 1 a n 1 x a a D a f a 8 h a a n 1 x a a D a f a a displaystyle f x T n 1 f x a n 1 left sum alpha n 1 frac x a alpha D alpha f a theta h alpha sum alpha n 1 frac x a alpha D alpha f a alpha right nbsp Wegen x i a i x a displaystyle x i a i leq x a nbsp erhalten wir ferner n 1 a n 1 x a a D a f a 8 h a a n 1 x a a D a f a a n 1 x a n 1 a n 1 D a f a 8 h D a f a a 0 x a displaystyle begin aligned amp n 1 left sum alpha n 1 frac x a alpha D alpha f a theta h alpha sum alpha n 1 frac x a alpha D alpha f a alpha right leq amp n 1 x a n 1 cdot underbrace left sum alpha n 1 frac D alpha f a theta h D alpha f a alpha right to 0 text x to a end aligned nbsp Der letzte Teil geht gegen null da die partiellen Ableitungen vom Grad n 1 displaystyle n 1 nbsp nach Voraussetzung alle stetig sind und a 8 h displaystyle a theta h nbsp sich zwischen x displaystyle x nbsp und a displaystyle a nbsp befindet und somit auch nach a displaystyle a nbsp konvergiert falls x a displaystyle x to a nbsp Wir erhalten folgende Abschatzung welche mehrdimensionale qualitative Taylorformel genannt wird f x T n 1 f x a O x a n 1 displaystyle f x T n 1 f x a mathcal O x a n 1 nbsp fur x a displaystyle x to a nbsp wobei O displaystyle mathcal O nbsp fur die Landau Notation steht 3 Beispiel Bearbeiten Es soll die Funktion f x 1 x 2 R 2 x 2 lt 1 R x 1 x 2 exp x 1 x 2 log 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 in mathbb R 2 x 2 lt 1 to mathbb R x 1 x 2 mapsto exp x 1 x 2 cdot log 1 x 2 nbsp um den Punkt a a 1 a 2 1 0 R 2 displaystyle a a 1 a 2 1 0 in mathbb R 2 nbsp entwickelt werden nbsp Funktion rot und Taylorentwicklung grun In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden d h man will ein Taylorpolynom zweiter Ordnung berechnen also die sog Schmiegquadrik Es gilt also n 2 displaystyle n 2 nbsp Wegen a n displaystyle alpha leq n nbsp mussen gemass der Multiindexschreibweise die Tupel 0 0 displaystyle 0 0 nbsp 1 0 displaystyle 1 0 nbsp 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 2 0 displaystyle 2 0 nbsp 1 1 displaystyle 1 1 nbsp und 0 2 displaystyle 0 2 nbsp berucksichtigt werden Dabei gilt wegen des Satzes von Schwarz dass 2 f x 1 x 2 a 2 f x 2 x 1 a displaystyle frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 a frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 a nbsp Die partiellen Ableitungen der Funktion lauten f x 1 a exp x 1 x 2 log 1 x 2 x 1 0 0 displaystyle frac partial f partial x 1 a left exp x 1 x 2 cdot log 1 x 2 right x 1 0 0 nbsp f x 2 a exp x 1 x 2 log 1 x 2 1 1 x 2 x 1 0 e displaystyle frac partial f partial x 2 a left exp x 1 x 2 cdot left log 1 x 2 frac 1 1 x 2 right right x 1 0 e nbsp 2 f x 1 2 a exp x 1 x 2 log 1 x 2 x 1 0 0 displaystyle frac partial 2 f partial x 1 2 a left exp x 1 x 2 cdot log 1 x 2 right x 1 0 0 nbsp 2 f x 1 x 2 a 2 f x 2 x 1 a exp x 1 x 2 log 1 x 2 1 1 x 2 x 1 0 e displaystyle frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 a frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 a left exp x 1 x 2 cdot left log 1 x 2 frac 1 1 x 2 right right x 1 0 e nbsp 2 f x 2 2 a exp x 1 x 2 log 1 x 2 2 1 x 2 1 1 x 2 2 x 1 0 e displaystyle frac partial 2 f partial x 2 2 a left exp x 1 x 2 left log 1 x 2 frac 2 1 x 2 frac 1 1 x 2 2 right right x 1 0 e nbsp Es folgt mit der mehrdimensionalen Taylor Formel f x f a 1 1 f x 1 a x 1 a 1 1 1 f x 2 a x 2 a 2 1 2 2 f x 1 2 a x 1 a 1 2 1 1 1 2 f x 1 x 2 a x 1 a 1 x 2 a 2 1 2 2 f x 2 2 a x 2 a 2 2 0 0 e x 2 0 0 e x 1 1 x 2 0 1 2 e x 2 0 2 e x 1 x 2 1 2 e x 2 2 displaystyle begin aligned f x approx amp f a frac 1 1 frac partial f partial x 1 a x 1 a 1 frac 1 1 frac partial f partial x 2 a x 2 a 2 amp frac 1 2 frac partial 2 f partial x 1 2 a x 1 a 1 2 frac 1 1 1 frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 a x 1 a 1 x 2 a 2 amp frac 1 2 frac partial 2 f partial x 2 2 a x 2 a 2 2 amp 0 0 e x 2 0 0 e x 1 1 x 2 0 frac 1 2 e x 2 0 2 amp ex 1 x 2 frac 1 2 ex 2 2 end aligned nbsp Benutzt man die alternative Darstellung mit Hilfe des Gradienten und der Hesse Matrix so erhalt man f x f a f a T x a 1 2 x a T H f a x a f a f x 1 a f x 2 a x 1 a 1 x 2 a 2 1 2 x 1 a 1 x 2 a 2 2 f x 1 2 a 2 f x 2 x 1 a 2 f x 1 x 2 a 2 f x 2 2 a x 1 a 1 x 2 a 2 0 0 e x 1 1 x 2 1 2 x 1 1 x 2 0 e e e x 1 1 x 2 e x 1 x 2 1 2 e x 2 2 displaystyle begin aligned f x amp approx f a nabla f a T x a frac 1 2 x a T H f a x a amp f a begin pmatrix frac partial f partial x 1 a amp frac partial f partial x 2 a end pmatrix begin pmatrix x 1 a 1 x 2 a 2 end pmatrix amp qquad frac 1 2 begin pmatrix x 1 a 1 amp x 2 a 2 end pmatrix begin pmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 a amp frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 a frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 a amp frac partial 2 f partial x 2 2 a end pmatrix begin pmatrix x 1 a 1 x 2 a 2 end pmatrix amp 0 begin pmatrix 0 amp e end pmatrix begin pmatrix x 1 1 x 2 end pmatrix frac 1 2 begin pmatrix x 1 1 amp x 2 end pmatrix begin pmatrix 0 amp e e amp e end pmatrix begin pmatrix x 1 1 x 2 end pmatrix amp ex 1 x 2 frac 1 2 ex 2 2 end aligned nbsp Taylor Formel fur Operatoren auf Banachraumen BearbeitenMit uberraschend wenig Aufwand lasst sich die Taylor Formel noch weiter verallgemeinern Seien X Y displaystyle X Y nbsp Banachraume U X displaystyle U subseteq X nbsp offen und nichtleer Weiter sei f U Y displaystyle f U rightarrow Y nbsp ein k 1 displaystyle k 1 nbsp fach Frechet differenzierbarer Operator sowie a U h X displaystyle a in U h in X nbsp mit a t h U displaystyle a th in U nbsp fur alle t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp Dann gilt f a h f a j 1 k 1 j D j f a h h R k 1 a h displaystyle f a h f a sum limits j 1 k frac 1 j D j f a h h R k 1 a h nbsp Hierbei ist D j f a displaystyle D j f a nbsp die j displaystyle j nbsp te Frechet Ableitung von f displaystyle f nbsp d h eine stetige j displaystyle j nbsp Linearform auf X displaystyle X nbsp mit Werten in Y displaystyle Y nbsp Das Restglied R k 1 displaystyle R k 1 nbsp erfullt die folgende Eigenschaft Fur jedes Element des Dualraumes T X displaystyle T in X nbsp gilt T R k 1 a h 0 1 1 t k k T D k 1 f a t h h h d t displaystyle TR k 1 a h int limits 0 1 frac 1 t k k TD k 1 f a th h h dt nbsp Beweis Sei T Y displaystyle T in Y nbsp ein beliebiges Funktional dann ist g 0 1 R t T f a t h displaystyle gamma 0 1 rightarrow mathbb R t mapsto Tf a th nbsp eine k 1 displaystyle k 1 nbsp fach stetig differenzierbare reellwertige Funktion d h lasst sich mit der eindimensionalen Taylor Formel schreiben als g 1 g 0 j 1 k g j 0 j 1 0 0 1 1 t k k D k 1 g t d t displaystyle gamma 1 gamma 0 sum limits j 1 k frac gamma j 0 j 1 0 int limits 0 1 frac 1 t k k D k 1 gamma t dt nbsp Mit Hilfe der Kettenregel fur die Frechet Ableitung folgt hieraus die gewunschte Formel fur T f displaystyle Tf nbsp Da dies fur jedes Element des Dualraumes gilt folgt aus der Trennungsaussage des Satzes von Hahn Banach die entsprechende Formel fur f displaystyle f nbsp Literatur BearbeitenOtto Forster Analysis Band 1 Differential und Integralrechnung einer Veranderlichen 8 verbesserte Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2006 ISBN 3 8348 0088 0 Vieweg Studium Grundkurs Mathematik Otto Forster Analysis Band 2 Differentialrechnung im Rn Gewohnliche Differentialgleichungen 7 verbesserte Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2006 ISBN 3 8348 0250 6 Vieweg Studium Grundkurs Mathematik Bernhard Heck Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung Klassische und moderne Methoden Wichmann Karlsruhe 1987 ISBN 3 87907 173 X Kapitel 4 7 und 13 Mathematische Modelle und Grundlagen Konrad Konigsberger Analysis Band 2 3 uberarbeitete Auflage Springer Berlin u a 2000 ISBN 3 540 66902 7 Einzelnachweise Bearbeiten Brook Taylor Methodus Incrementorum Directa et Inversa Pearson London 1717 S 21 Herbert Amann Joachim Escher Analysis 1 Dritte Auflage Birkhauser S 354 Konigsberger Analysis Band 2 2000 S 66 Normdaten Sachbegriff GND 4184549 3 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Taylor Formel amp oldid 233480108 Taylorpolynom
