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Multinomialkoeffizient Der oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Erweiterung des Binomialkoeffizienten Für nichtnegat

Multinomialkoeffizient

Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Erweiterung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen und ist er definiert als


Dabei ist die Fakultät von , bzw. analog ist jeweils das Produkt aller natürlichen Zahlen .

Für und muss sein und man erhält den Binomialkoeffizienten .

Eigenschaften Bearbeiten

Die Multinomialkoeffizienten sind stets ganze Zahlen.

Die Multinomialkoeffizienten lassen sich auch mit den Binomialkoeffizienten ausdrücken als

Anwendungen und Interpretationen Bearbeiten

Multinomialsatz Bearbeiten

In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt das sogenannte Multinomialtheorem (auch Polynomialsatz)

Aus dem Multinomialsatz folgt sofort:

Multinomialverteilung Bearbeiten

Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der Multinomialverteilung

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen.

Kombinatorische Deutungen Bearbeiten

Objekte in Kisten Bearbeiten

Der Multinomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, Objekte in Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau Objekte sollen, in die zweite Schachtel Objekte usw.

Beispiel Bearbeiten

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den 32 Karten eines Skatspiels je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den "Skat" zu geben, wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird?

Da es sich um Objekte handelt, die in Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je Objekte und in die vierte Schachtel Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:

Anordnung von Dingen Bearbeiten

Der Multinomialkoeffizient gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von Dingen an, wobei das erste -mal (ununterscheidbar) vorkommt, das zweite -mal usw.

Beispiel Bearbeiten

Wie viele verschiedene „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?

Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, 11 Dinge anzuordnen, wobei das erste ("M") -mal, das zweite ("I") -mal (ununterscheidbar) vorkommt, das dritte ("S") ebenso und das vierte ("P") -mal. Das ist also der Multinomialkoeffizient

Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf komplett verschiedene Dinge in Reihen anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.

Pascalsche Simplizes Bearbeiten

Analog zum pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die -ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren (Simplizes) anordnen: Die Trinomialkoeffizienten führen zur pascalschen Pyramide, die weiteren zu -dimensionalen pascalschen Simplizes.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Erweiterung des Binomialkoeffizienten Fur nichtnegative ganze Zahlen k 1 k r displaystyle k 1 dotsc k r und n k 1 k r displaystyle n k 1 dotsb k r ist er definiert als n k 1 k r n k 1 k r displaystyle n choose k 1 dotsc k r frac n k 1 dotsm k r Dabei ist n n n 1 2 1 displaystyle n n cdot n 1 dots 2 cdot 1 die Fakultat von n displaystyle n bzw analog ist k i displaystyle k i jeweils das Produkt aller naturlichen Zahlen k i displaystyle leq k i Fur r 2 displaystyle r 2 und k k 1 displaystyle k k 1 muss k 2 n k displaystyle k 2 n k sein und man erhalt den Binomialkoeffizienten n k n k 1 k 2 n k n k displaystyle n choose k n choose k 1 k 2 frac n k n k Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Anwendungen und Interpretationen 2 1 Multinomialsatz 2 2 Multinomialverteilung 2 3 Kombinatorische Deutungen 2 3 1 Objekte in Kisten 2 3 1 1 Beispiel 2 3 2 Anordnung von Dingen 2 3 2 1 Beispiel 3 Pascalsche Simplizes 4 WeblinksEigenschaften BearbeitenDie Multinomialkoeffizienten sind stets ganze Zahlen Die Multinomialkoeffizienten lassen sich auch mit den Binomialkoeffizienten ausdrucken als k 1 k r k 1 k r k 1 k 1 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k r k r i 1 r s 1 i k s k i displaystyle k 1 cdots k r choose k 1 ldots k r k 1 choose k 1 k 1 k 2 choose k 2 cdots k 1 k 2 cdots k r choose k r prod i 1 r sum s 1 i k s choose k i nbsp Anwendungen und Interpretationen BearbeitenMultinomialsatz Bearbeiten In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt das sogenannte Multinomialtheorem auch Polynomialsatz x 1 x r n k 1 k r n n k 1 k r x 1 k 1 x r k r displaystyle x 1 dotsb x r n sum k 1 dotsb k r n n choose k 1 dotsc k r cdot x 1 k 1 dotsm x r k r nbsp Aus dem Multinomialsatz folgt sofort r N r n k 1 k r n n k 1 k r 1 k 1 1 k r k 1 k r n n k 1 k r displaystyle forall r in mathbb N r n sum k 1 dotsb k r n n choose k 1 dotsc k r cdot 1 k 1 dotsm 1 k r sum k 1 dotsb k r n n choose k 1 dotsc k r nbsp Multinomialverteilung Bearbeiten Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der Multinomialverteilung P X 1 k 1 X 2 k 2 X r k r n k 1 k r p 1 k 1 p 2 k 2 p r k r displaystyle P X 1 k 1 X 2 k 2 dotsc X r k r n choose k 1 dotsc k r cdot p 1 k 1 cdot p 2 k 2 dotsm p r k r nbsp einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen Kombinatorische Deutungen Bearbeiten Objekte in Kisten Bearbeiten Der Multinomialkoeffizient n k 1 k r displaystyle tbinom n k 1 dotsc k r nbsp gibt die Anzahl der Moglichkeiten an n displaystyle n nbsp Objekte in r displaystyle r nbsp Schachteln zu legen wobei in die erste Schachtel genau k 1 displaystyle k 1 nbsp Objekte sollen in die zweite Schachtel k 2 displaystyle k 2 nbsp Objekte usw Beispiel Bearbeiten Wie viele verschiedene Moglichkeiten gibt es von den 32 Karten eines Skatspiels je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den Skat zu geben wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird Da es sich um n 32 displaystyle n 32 nbsp Objekte handelt die in r 4 displaystyle r 4 nbsp Schachteln aufzuteilen sind wobei in die ersten drei Schachteln je k 1 k 2 k 3 10 displaystyle k 1 k 2 k 3 10 nbsp Objekte und in die vierte Schachtel k 4 2 displaystyle k 4 2 nbsp Objekte sollen ist die Anzahl der Moglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben 32 10 10 10 2 32 10 10 10 2 2 753 294 408 504 640 displaystyle 32 choose 10 10 10 2 frac 32 10 cdot 10 cdot 10 cdot 2 2 753 294 408 504 640 nbsp Anordnung von Dingen Bearbeiten Der Multinomialkoeffizient n k 1 k r displaystyle tbinom n k 1 dotsc k r nbsp gibt ausserdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von n displaystyle n nbsp Dingen an wobei das erste k 1 displaystyle k 1 nbsp mal ununterscheidbar vorkommt das zweite k 2 displaystyle k 2 nbsp mal usw Beispiel Bearbeiten Wie viele verschiedene Worter lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden Gesucht ist also die Anzahl der Moglichkeiten 11 Dinge anzuordnen wobei das erste M k 1 1 displaystyle k 1 1 nbsp mal das zweite I k 2 4 displaystyle k 2 4 nbsp mal ununterscheidbar vorkommt das dritte S ebenso und das vierte P k 4 2 displaystyle k 4 2 nbsp mal Das ist also der Multinomialkoeffizient 11 1 4 4 2 11 1 4 4 2 34 650 displaystyle binom 11 1 4 4 2 frac 11 1 cdot 4 cdot 4 cdot 2 34 650 nbsp Zum Vergleich Die Anzahl der Moglichkeiten elf komplett verschiedene Dinge in Reihen anzuordnen ist mit 11 39 916 800 wesentlich hoher Pascalsche Simplizes BearbeitenAnalog zum pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die r displaystyle r nbsp ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren Simplizes anordnen Die Trinomialkoeffizienten fuhren zur pascalschen Pyramide die weiteren zu r displaystyle r nbsp dimensionalen pascalschen Simplizes Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Multinominal Coefficient In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Multinomialkoeffizient amp oldid 222984394