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Pascalsches Simplex Die pascalschen Simplizes sind analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder geometri

Pascalsches Simplex

Die pascalschen Simplizes sind – analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder – geometrische Darstellungen von Multinomialkoeffizienten. Im pascalschen d-Simplex ist jede Zahl die Summe von d über ihr stehenden Zahlen. Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes übertragen.

Zum Begriff Bearbeiten

Ein pascalsches Simplex lässt sich in jeder Dimension ( natürliche Zahl) vorstellen: Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lässt sich über diese der Multinomialkoeffizient zuordnen ( sind die jeweiligen Koordinaten, ergibt sich durch ). Die Einhüllende der Punkte, die nicht Null sind, bilden dann ein -dimensionales, in -Richtung unbeschränktes „Simplex“ (üblicherweise ist ein Simplex beschränkt).

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die -te Ebene eines pascalschen Simplex (d. h. die nicht verschwindenden Einträge für ein festes ) für lässt sich aus der darüberliegenden Ebene (d. h. für ) berechnen: . Auf der Ebene ist der einzige Eintrag eine , aus dem sich dann rekursiv alle weiteren ergeben.
  • Die Summe aller Zahlen im n-ten (d-1)-Teilsimplex beträgt .
  • Die begrenzenden (d-1)-Simplizes sind gleich dem pascalschen (d-1)-Simplex. Dies lässt sich durch ausdrücken.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Peter Hilton, Derek Holton, Jean Pedersen: Mathematical Vistas. From a Room with Many Windows. Springer, New York u. a. 2002. ISBN 978-0-387-95064-8. S. 188–190.
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Die pascalschen Simplizes sind analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder geometrische Darstellungen von Multinomialkoeffizienten Im pascalschen d Simplex ist jede Zahl die Summe von d uber ihr stehenden Zahlen Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes ubertragen 1 Zum Begriff BearbeitenEin pascalsches Simplex lasst sich in jeder Dimension d displaystyle d nbsp d 1 displaystyle d geq 1 nbsp naturliche Zahl vorstellen Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lasst sich uber diese der Multinomialkoeffizient n k 1 k d displaystyle binom n k 1 ldots k d nbsp zuordnen n k 1 k d 1 displaystyle n k 1 ldots k d 1 nbsp sind die jeweiligen Koordinaten k d displaystyle k d nbsp ergibt sich durch n k 1 k d 1 displaystyle n k 1 ldots k d 1 nbsp Die Einhullende der Punkte die nicht Null sind bilden dann ein d displaystyle d nbsp dimensionales in n displaystyle n nbsp Richtung unbeschranktes Simplex ublicherweise ist ein Simplex beschrankt Eigenschaften BearbeitenDie n displaystyle n nbsp te Ebene eines pascalschen Simplex d h die nicht verschwindenden Eintrage fur ein festes n displaystyle n nbsp fur n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp lasst sich aus der daruberliegenden Ebene d h fur n 1 displaystyle n 1 nbsp berechnen n k 1 k d n 1 k 1 1 k d n 1 k 1 k 2 1 k d n 1 k 1 k d 1 displaystyle binom n k 1 ldots k d binom n 1 k 1 1 ldots k d binom n 1 k 1 k 2 1 ldots k d ldots binom n 1 k 1 ldots k d 1 nbsp Auf der Ebene 0 displaystyle 0 nbsp ist der einzige Eintrag eine 1 displaystyle 1 nbsp aus dem sich dann rekursiv alle weiteren ergeben Die Summe aller Zahlen im n ten d 1 Teilsimplex betragt d n 1 displaystyle d n 1 nbsp Die begrenzenden d 1 Simplizes sind gleich dem pascalschen d 1 Simplex Dies lasst sich durch n k 1 k d 1 0 n k 1 k d 1 displaystyle binom n k 1 k d 1 0 binom n k 1 k d 1 nbsp ausdrucken Einzelnachweise Bearbeiten Peter Hilton Derek Holton Jean Pedersen Mathematical Vistas From a Room with Many Windows Springer New York u a 2002 ISBN 978 0 387 95064 8 S 188 190 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pascalsches Simplex amp oldid 213364198