Mit der Regel von de L Hospital 1 2 gesprochen lopi tal lassen sich Grenzwerte von Funktionen die sich als Quotient zweier gegen Null konvergierender oder bestimmt divergierender Funktionen schreiben lassen mithilfe der ersten Ableitungen dieser Funktionen berechnen Eine analoge Aussage fur Folgen anstatt von Funktionen ist der Satz von Stolz Cesaro Die Regel ist nach Guillaume Francois Antoine Marquis de L Hospital 1661 1704 benannt L Hospital veroffentlichte sie 1696 in seinem Buch Analyse des infiniment petits pour l intelligence des lignes courbes dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung Er hatte sie aber nicht selbst entdeckt sondern von Johann I Bernoulli gekauft 3 Aus diesem Grund spricht man auch von der Regel von Bernoulli de l Hopital Inhaltsverzeichnis 1 Anwendung 2 Prazise Formulierung 2 1 Beweisskizze 3 Anschauliche Erklarung 4 Anwendungsbeispiele 4 1 Grenzubergang fur x0 0 4 2 Grenzubergang im Unendlichen 5 Warnbeispiele 5 1 Beachtung der Voraussetzungen 5 2 Landau Kalkul 6 Verallgemeinerungen 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseAnwendung BearbeitenDie Regel von de L Hospital erlaubt es in vielen Fallen den Grenzwert von Funktionen selbst dann noch zu bestimmen wenn deren Funktionsterm beim Erreichen der betreffenden Grenze einen unbestimmten Ausdruck wie etwa 0 0 0 0 0 0 1 displaystyle frac 0 0 quad 0 cdot infty quad infty infty quad frac infty infty quad 0 0 quad infty 0 quad 1 infty nbsp liefert Alle Anwendungen der Regel lassen sich dabei auf die Grundaufgabe zuruckfuhren den Grenzwert lim x x 0 f x g x displaystyle textstyle lim x to x 0 frac f x g x nbsp zu bestimmen wenn lim x x 0 f x displaystyle textstyle lim x to x 0 f x nbsp und lim x x 0 g x displaystyle textstyle lim x to x 0 g x nbsp entweder beide null oder beide unendlich sind der Quotient f x 0 g x 0 displaystyle tfrac f x 0 g x 0 nbsp also ein unbestimmter Ausdruck des Typs 0 0 displaystyle tfrac 0 0 nbsp oder displaystyle pm tfrac infty infty nbsp ist Die Regel von de L Hospital besagt dann dass falls der Grenzwert lim x x 0 f x g x displaystyle textstyle lim x to x 0 frac f x g x nbsp existiert dieser zugleich der Grenzwert lim x x 0 f x g x displaystyle textstyle lim x to x 0 frac f x g x nbsp sei wobei f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp die ersten Ableitungen der Funktionen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp sind Die Umkehrung der Regel dagegen gilt nicht Daraus dass der Grenzwert lim f x g x displaystyle textstyle lim tfrac f x g x nbsp existiert folgt nicht zwingend dass auch lim f x g x displaystyle textstyle lim tfrac f x g x nbsp existiert Liefert deshalb die Berechnung von lim x x 0 f x g x displaystyle textstyle lim x to x 0 tfrac f x g x nbsp zunachst einmal wieder einen unbestimmten Ausdruck mussen Zahler und Nennerterm erneut abgeleitet werden bis sich schliesslich ggf nach endlich vielen Wiederholungen ein bestimmter Ausdruck ergibt Liefert die Ausgangsfunktion einen anderen als die oben genannten unbestimmten Ausdrucke 0 0 displaystyle tfrac 0 0 nbsp bzw displaystyle pm tfrac infty infty nbsp z B 0 displaystyle 0 cdot infty nbsp oder displaystyle infty infty nbsp muss sie zuvor so umgeformt werden dass sie die oben genannten Kriterien erfullt also als Quotient zweier Funktionen erscheint die beide gleichzeitig null oder unendlich werden 4 Beispiel 1 0 displaystyle 0 cdot infty nbsp f x g x f x 1 g x ϕ x ps x displaystyle f x cdot g x frac f x tfrac 1 g x frac phi x psi x nbsp Beispiel 2 displaystyle infty infty nbsp f x g x 1 1 f x 1 1 g x 1 g x 1 f x 1 f x g x ϕ x ps x displaystyle f x g x frac 1 tfrac 1 f x frac 1 tfrac 1 g x frac tfrac 1 g x tfrac 1 f x tfrac 1 f x cdot g x frac phi x psi x nbsp Prazise Formulierung BearbeitenSei I x 0 x 0 displaystyle I tilde x 0 x 0 nbsp ein nichtleeres offenes Intervall und seien f g I R displaystyle f g colon I to mathbb R nbsp differenzierbare Funktionen die fur x x 0 displaystyle x nearrow x 0 nbsp x displaystyle x nbsp geht von unten gegen x 0 displaystyle x 0 nbsp beide gegen 0 konvergieren oder beide bestimmt divergieren Wenn g x 0 displaystyle g x neq 0 nbsp fur alle x I displaystyle x in I nbsp gilt sowie f x g x displaystyle tfrac f x g x nbsp fur x x 0 displaystyle x nearrow x 0 nbsp gegen einen Wert c displaystyle c nbsp konvergiert oder bestimmt divergiert so tut dies auch f x g x displaystyle tfrac f x g x nbsp Analoges gilt wenn man x x 0 displaystyle x nearrow x 0 nbsp uberall durch x x 0 displaystyle x searrow tilde x 0 nbsp x displaystyle x nbsp geht von oben gegen x 0 displaystyle tilde x 0 nbsp ersetzt Ist I displaystyle I nbsp echte Teilmenge eines offenen Intervalls auf dem die genannten Voraussetzungen erfullt sind gilt also insbesondere lim x x 0 f x g x c lim x x 0 f x g x c displaystyle lim x to x 0 frac f x g x c Rightarrow lim x to x 0 frac f x g x c nbsp Der Satz gilt auch fur uneigentliche Intervallgrenzen x 0 displaystyle x 0 pm infty nbsp Beweisskizze Bearbeiten Im Fall lim x x 0 f x lim x x 0 g x 0 displaystyle lim x to x 0 f x lim x to x 0 g x 0 nbsp lassen sich die Funktionen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp durch f x 0 g x 0 0 displaystyle f x 0 g x 0 0 nbsp stetig fortsetzen Der Satz lasst sich damit auf den erweiterten Mittelwertsatz zuruckfuhren nach dem unter den gegebenen Voraussetzungen fur jedes x I displaystyle x in I nbsp ein 3 displaystyle xi nbsp zwischen x displaystyle x nbsp und x 0 displaystyle x 0 nbsp existiert so dass f 3 g 3 f x 0 f x g x 0 g x f x g x displaystyle frac f xi g xi frac f x 0 f x g x 0 g x frac f x g x nbsp Mit dem Grenzubergang x x 0 displaystyle x nearrow x 0 nbsp folgt die Behauptung Durch Variablentransformation x 1 x x 0 displaystyle x mapsto tfrac 1 x x 0 nbsp lasst sich der Satz auf den uneigentlichen Fall erweitern Anschauliche Erklarung Bearbeiten nbsp Naherung zweier Funktionen durchgezogen durch ihre Tangenten gestrichelt Die Regel von de L Hospital beruht ihrem Prinzip nach darauf dass jedes an einer Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp differenzierbare Funktionspaar f x displaystyle f x nbsp und g x displaystyle g x nbsp sich damit ebenda auch durch ihr dortiges Tangentenpaar annahern lasst dessen Gleichungen sich in allgemeinster Form mit x 0 displaystyle x 0 nbsp als Parameter wie folgt formulieren lassen f T x x 0 f x 0 x x 0 f x 0 displaystyle f T x x 0 f x 0 cdot x x 0 f x 0 nbsp und g T x x 0 g x 0 x x 0 g x 0 displaystyle g T x x 0 g x 0 cdot x x 0 g x 0 nbsp In der Konsequenz muss gleiches dann auch fur den Quotienten beider Funktionen f x g x displaystyle f x g x nbsp gelten d h auch dieser sich fur x x 0 displaystyle x to x 0 nbsp durch den Quotienten f T x x 0 g T x x 0 displaystyle f T x x 0 g T x x 0 nbsp annahern lassen lim x x 0 f x g x f T x x 0 g T x x 0 f x 0 x x 0 f x 0 g x 0 x x 0 g x 0 displaystyle lim x to x 0 frac f x g x approx frac f T x x 0 g T x x 0 frac f x 0 cdot x x 0 f x 0 g x 0 cdot x x 0 g x 0 nbsp Werden in diesem Quotienten die beiden Konstanten f x 0 displaystyle f x 0 nbsp und g x 0 displaystyle g x 0 nbsp gleichzeitig Null vereinfacht er sich wie nachstehend gezeigt sukzessive zu der gesuchten Naherung lim x x 0 f x g x f T x x 0 g T x x 0 f x 0 x x 0 f x 0 g x 0 x x 0 g x 0 f x 0 x x 0 g x 0 x x 0 f x 0 g x 0 displaystyle lim x to x 0 frac f x g x approx frac f T x x 0 g T x x 0 frac f x 0 cdot x x 0 xcancel f x 0 g x 0 cdot x x 0 xcancel g x 0 frac f x 0 xcancel cdot x x 0 g x 0 xcancel cdot x x 0 frac f x 0 g x 0 nbsp Vorausgesetzt dass f x 0 displaystyle f x 0 nbsp und g x 0 displaystyle g x 0 nbsp an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp gleichzeitig Null werden kann ihr Quotient f x 0 g x 0 displaystyle f x 0 g x 0 nbsp also ebenda gleich gut durch den Quotienten f x 0 g x 0 displaystyle f x 0 g x 0 nbsp ersetzt werden f x 0 0 g x 0 0 f x 0 g x 0 f x 0 g x 0 displaystyle f x 0 0 wedge g x 0 0 quad Rightarrow quad frac f x 0 g x 0 approx frac f x 0 g x 0 nbsp Anwendungsbeispiele BearbeitenGrenzubergang fur x0 0 Bearbeiten Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw Divergenz von cos x 1 tan x displaystyle tfrac cos x 1 tan x nbsp fur x 0 displaystyle x to 0 nbsp Dazu setzt man f x cos x 1 displaystyle f x cos x 1 nbsp und g x tan x displaystyle g x tan x nbsp Es gilt lim x 0 f x 0 displaystyle lim x to 0 f x 0 nbsp und lim x 0 g x 0 displaystyle lim x to 0 g x 0 nbsp Falls f x g x displaystyle tfrac f x g x nbsp fur x 0 displaystyle x rightarrow 0 nbsp konvergiert oder bestimmt divergiert darf die Regel von de L Hospital angewandt werden Nun gilt f x g x sin x 1 cos 2 x sin x cos 2 x 0 displaystyle frac f x g x frac sin x frac 1 cos 2 x sin x cos 2 x rightarrow 0 nbsp fur x 0 displaystyle x rightarrow 0 nbsp Somit ist die hospitalsche Regel anwendbar Mit dieser folgt die Existenz von lim x 0 cos x 1 tan x displaystyle textstyle lim x to 0 frac cos x 1 tan x nbsp mit Wert 0 Grenzubergang im Unendlichen Bearbeiten Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw Divergenz von x ln x displaystyle tfrac sqrt x ln x nbsp fur x displaystyle x to infty nbsp Man setzt f x x displaystyle f x sqrt x nbsp und g x ln x displaystyle g x ln x nbsp Sowohl lim x f x displaystyle textstyle lim x to infty f x infty nbsp als auch lim x g x displaystyle textstyle lim x to infty g x infty nbsp gelten Falls f x g x displaystyle tfrac f x g x nbsp fur x displaystyle x rightarrow infty nbsp konvergiert oder bestimmt divergiert durfte die Regel von de L Hospital angewandt werden Nun gilt f x g x 1 2 x 1 x x 2 displaystyle frac f x g x frac 1 2 sqrt x over frac 1 x frac sqrt x 2 rightarrow infty nbsp fur x displaystyle x rightarrow infty nbsp das heisst lim x f x g x displaystyle textstyle lim x rightarrow infty frac f x g x infty nbsp existiert als uneigentlicher Grenzwert Daher darf die hospitalsche Regel angewandt werden Aus ihr folgt der uneigentliche Grenzwert lim x x ln x displaystyle lim x to infty frac sqrt x ln x infty nbsp Warnbeispiele BearbeitenBeachtung der Voraussetzungen Bearbeiten Sei f x sin x 2 x displaystyle f x sin x 2x nbsp und g x cos x 2 x displaystyle g x cos x 2x nbsp Fur x displaystyle x to infty nbsp liegt der Fall displaystyle frac infty infty nbsp vor Die Regel von de L Hospital kann aber nicht angewandt werden denn f x g x cos x 2 sin x 2 displaystyle frac f x g x frac cos x 2 sin x 2 nbsp ist fur x displaystyle x to infty nbsp unbestimmt divergent da eine periodische Funktion vorliegt Trotz des Versagens der hospitalschen Regel konvergiert f x g x displaystyle frac f x g x nbsp fur x displaystyle x rightarrow infty nbsp Es ist namlich lim x f x g x lim x 1 sin x cos x cos x 2 x 1 displaystyle lim x rightarrow infty frac f x g x lim x rightarrow infty left 1 frac sin x cos x cos x 2x right 1 nbsp Landau Kalkul Bearbeiten Wenn man den Grenzwert lim x x 0 f x g x displaystyle lim x rightarrow x 0 tfrac f x g x nbsp berechnen mochte und die Taylorentwicklung von Nenner und Zahler um x 0 displaystyle x 0 nbsp kennt ist es oft einfacher den Grenzwert uber den Landau Kalkul zu bestimmen als mehrfach die Regel von de L Hospital anzuwenden So gilt beispielsweise sin x x x 1 cos x 1 6 x 3 O x 5 x x 2 2 O x 4 1 6 O x 2 1 2 O x 2 1 3 displaystyle frac sin x x x 1 cos x frac frac 1 6 x 3 mathcal O x 5 x frac x 2 2 mathcal O x 4 frac frac 1 6 mathcal O x 2 frac 1 2 mathcal O x 2 rightarrow frac 1 3 nbsp fur x 0 displaystyle x rightarrow 0 nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenDie Regel lasst sich auch fur Funktionen mit komplexen Variablen formulieren Seien f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp zwei in D displaystyle D nbsp holomorphe Funktionen welche an der Stelle a D displaystyle a in D nbsp dieselbe Nullstellenordnung k displaystyle k nbsp haben Dann gilt lim z a f z g z f k a g k a displaystyle lim z to a frac f z g z frac f k a g k a nbsp Literatur BearbeitenHarro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 12 Auflage Teubner Stuttgart Leipzig 1998 Eberhard Freitag und Rolf Busam Funktionentheorie 1 3 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin u a 2000 ISBN 3 540 67641 4 Otto Forster Analysis 1 Differential und Integralrechnung einer Veranderlichen 11 erweiterte Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2013 ISBN 978 3 658 00316 6 doi 10 1007 978 3 658 00317 3 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Beweis der Regeln von L Hospital Lern und Lehrmaterialien Die Regel von L Hospital bei MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Seite 190 in Otto Forster Analysis 1 Differential und Integralrechnung einer Veranderlichen Grundkurs Mathematik 12 verbesserte Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2016 ISBN 978 3 658 11544 9 doi 10 1007 978 3 658 11545 6 S 287 in Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 11 Auflage B G Teubner Stuttgart 1994 ISBN 3 519 42231 X Seiten 442 443 in Thomas Sonar 3000 Jahre Analysis Springer Berlin 2011 ISBN 978 3 642 17203 8 doi 10 1007 978 3 642 17204 5 W Gellert H Kustner M Hellwich H Kastner Kleine Enzyklopadie Mathematik Leipzig 1970 S 408 410 Abgerufen 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