Unter der Kleinwinkelnaherung wird die mathematische Naherung verstanden bei der angenommen wird der Winkel x displaystyle x sei so hinreichend klein dass man seinen Sinus oder Tangens durch den Winkel selbst in Radiant und den Kosinus durch 1 displaystyle 1 ersetzen kann Annahernd gleiches Verhalten einiger trigonometrischer Funktionen fur x 0 sin x x tan x x cos x 1 displaystyle begin aligned sin x approx x tan x approx x cos x approx 1 end aligned Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Anwendungen 3 Moderate Winkelanderungen gt 7 4 LiteraturHerleitung BearbeitenGrundlage dieses Ansatzes ist die jeweilige Maclaurinsche Reihe der Winkelfunktion siehe auch Taylor Reihe sin x x x 3 6 x 5 120 displaystyle sin x x frac x 3 6 frac x 5 120 mp cdots nbsp tan x x x 3 3 2 x 5 15 displaystyle tan x x frac x 3 3 frac 2 x 5 15 cdots nbsp cos x 1 x 2 2 x 4 24 displaystyle cos x 1 frac x 2 2 frac x 4 24 mp cdots nbsp Fur x 1 displaystyle x ll 1 nbsp kann man die Summanden mit hoherer Potenz von x displaystyle x nbsp vernachlassigen gegenuber den vorhergehenden Gliedern so dass sich die o g Naherungen ergeben Beispiele Sinus Naherung und Abweichungx displaystyle x nbsp in Grad displaystyle circ nbsp deg 5 0 displaystyle 5 0 nbsp 7 5 displaystyle 7 5 nbsp 10 0 displaystyle 10 0 nbsp x displaystyle x nbsp in Radiant rad statt sin x displaystyle sin x nbsp 0 087 27 p 36 displaystyle 0 08727 pi 36 nbsp 0 130 90 p 24 displaystyle 0 13090 pi 24 nbsp 0 174 5 p 18 displaystyle 0 1745 pi 18 nbsp sin x displaystyle sin x nbsp 0 087 16 displaystyle 0 08716 nbsp 0 130 53 displaystyle 0 13053 nbsp 0 173 6 displaystyle 0 1736 nbsp Relative Abweichung 0 13 displaystyle 0 13 nbsp 0 29 displaystyle 0 29 nbsp 0 51 displaystyle 0 51 nbsp Tabelle der relativen Abweichung bzw Fehlergrenze der jeweiligen Naherung bei den angegebenen Winkeln Relative Abweichung Sinus Tangens und CosinusNaherung x p 36 5 displaystyle x pi 36 5 circ nbsp x p 24 7 5 displaystyle x pi 24 7 5 circ nbsp x p 18 10 displaystyle x pi 18 10 circ nbsp x displaystyle x nbsp statt sin x displaystyle sin x nbsp 0 13 displaystyle 0 13 nbsp 0 3 displaystyle 0 3 nbsp 0 5 displaystyle 0 5 nbsp x displaystyle x nbsp statt tan x displaystyle tan x nbsp 0 25 displaystyle 0 25 nbsp 0 6 displaystyle 0 6 nbsp 1 0 displaystyle 1 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp statt cos x displaystyle cos x nbsp 0 38 displaystyle 0 38 nbsp 0 9 displaystyle 0 9 nbsp 1 5 displaystyle 1 5 nbsp Anwendungen BearbeitenWichtig ist die Kleinwinkelnaherung besonders in der Physik wo sich viele Probleme mit Hilfe der Kleinwinkelnaherung analytisch exakt losen lassen die ansonsten unter Einbeziehung der Winkelfunktionen zu komplizierten elliptischen Integralen fuhren wurden Anwendungsbeispiele der Kleinwinkelnaherung sind das mathematische Pendel die Auswertung der Beugung am Spalt die paraxiale Optik sowie die Annaherung von Parabel und Kreisbogen bei der Behandlung bei Linsen und Hohlspiegeln in der Nahe der optischen Achse Moderate Winkelanderungen gt 7 BearbeitenIn der technischen Mechanik ist ebenfalls die Berucksichtigung moderater Winkelanderungen ublich Um zu vermeiden dass der Kosinus bei der Kleinwinkelapproximierung komplett herausfallt wird zusatzlich das zweite Glied der Taylorreihenentwicklung berucksichtigt sodass gilt cos x 1 x 2 2 displaystyle cos x approx 1 frac x 2 2 nbsp Ein Anwendungsbeispiel ist die Theorie leicht gekrummter Schalentragwerke Da die Krummung das Tragverhalten massgeblich beeinflusst muss diese berucksichtigt werden gleichzeitig soll die Approximation den Berechnungsaufwand verringern Durch die genauere Naherung ergeben sich nun folgende Eigenschaften Relative Abweichung beiNaherung x p 18 10 displaystyle x pi 18 10 circ nbsp x p 9 20 displaystyle x pi 9 20 circ nbsp x 2 p 9 40 displaystyle x 2 pi 9 40 circ nbsp 1 x 2 2 displaystyle 1 frac x 2 2 nbsp statt cos x displaystyle cos x nbsp 0 003 9 displaystyle 0 0039 nbsp 0 066 displaystyle 0 066 nbsp 1 27 displaystyle 1 27 nbsp Literatur BearbeitenBerthold Schuppar Elementare Numerische Mathematik Springer 2013 ISBN 978 3 322 80307 8 S 67 70 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kleinwinkelnaherung amp oldid 225089903
