Eine symmetrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mehrerer Variablen, bei der die Variablen untereinander vertauscht werden können, ohne den Funktionswert zu verändern. Wichtige Spezialfälle symmetrischer Funktionen sind symmetrische Multilinearformen und symmetrische Polynome. In der Quantenmechanik sind Bosonen genau diejenigen Teilchen, deren Wellenfunktion symmetrisch bezüglich des Austauschs der Teilchenpositionen ist. Das Gegenstück zu den symmetrischen Funktionen sind antisymmetrische Funktionen.
Definitionen Bearbeiten
Sind und zwei Mengen, dann heißt eine multivariate Funktion symmetrisch, wenn für alle Permutationen der symmetrischen Gruppe und alle Elemente
gilt. In der Praxis werden als Mengen und meist Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen verwendet.
Diese Definition kann folgendermaßen auf Funktionen mit abzählbar vielen Argumenten verallgemeinert werden. Eine Funktion heißt -symmetrisch, wenn für alle Permutationen und alle Elemente
gilt. Eine -symmetrische Funktion ist also symmetrisch in den ersten Argumenten. Eine Funktion heißt dann symmetrisch, wenn sie -symmetrisch für alle ist.
Beispiele Bearbeiten
Konkrete Beispiele Bearbeiten
Die Summe und das Produkt
sind symmetrisch, denn durch Vertauschung der beiden Operanden und verändert sich das Ergebnis nicht. Eine symmetrische Funktion dreier Variablen ist beispielsweise die Diskriminante
Ein Beispiel für eine symmetrische Funktion, die keine Polynomfunktion ist, ist
Allgemeinere Beispiele Bearbeiten
- jede konstante Funktion ist symmetrisch
- eine kommutative zweistellige Verknüpfung ist eine symmetrische Funktion der beiden Operanden
- der Mittelwert einer Menge gegebener Werte ist eine symmetrische Funktion dieser Werte
- eine symmetrische multilineare Abbildung ist eine symmetrische Funktion, die linear in jedem Argument ist
- ein symmetrisches Polynom ist eine symmetrische Polynomfunktion
Weitere Kriterien Bearbeiten
Für den Nachweis der Symmetrie einer Funktion müssen nicht alle möglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe überprüft werden.
Vertauschungen zweier Variablen Bearbeiten
Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen und nicht verändert, also
für mit ist.
Vertauschungen benachbarter Variablen Bearbeiten
Da sich jede Transposition auch als Hintereinanderausführung von Nachbarvertauschungen der Form schreiben lässt, reicht es sogar aus, nur aufeinanderfolgende Variablen und zu betrachten. Es muss also für das Vorhandensein von Symmetrie lediglich
für gelten.
Vertauschungen mit einer festen Variablen Bearbeiten
Alternativ kann man auch die Transpositionen der Form betrachten; eine Funktion ist damit genau dann symmetrisch, wenn die erste mit der -ten Variablen vertauscht werden kann, ohne dass sich der Funktionswert ändert. Zum Nachweis der Symmetrie reicht es also aus, wenn
für gilt. Statt der ersten Variablen kann man auch eine beliebige Variable auswählen und diese mit allen anderen Variablen vertauschen.
Minimalkriterium Bearbeiten
Ein minimales Erzeugendensystem der symmetrischen Gruppe stellen die beiden Permutationen und dar. Deswegen ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn die beiden Bedingungen
und
erfüllt sind. Das Paar und kann dabei auch durch einen beliebigen Zyklus der Länge sowie irgendeine Transposition aufeinanderfolgender Elemente in diesem Zyklus ersetzt werden.
Eigenschaften Bearbeiten
Die symmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von nach (mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation), das heißt
- ein skalares Vielfaches einer symmetrischen Funktion ist wieder eine symmetrische Funktion und
- die Summe zweier symmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder symmetrisch,
wobei die Nullfunktion trivialerweise symmetrisch ist.
Symmetrisierung Bearbeiten
Durch Symmetrisierung, das heißt durch Summation über alle möglichen Permutationen
lässt sich jeder nichtsymmetrischen Funktion eine zugehörige symmetrische Funktion zuordnen. Der Symmetrisierungsoperator führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der symmetrischen Funktionen durch.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. Springer, 2008, ISBN 3-8274-2018-0.
Weblinks Bearbeiten
- V.M. Khrapchenko: Symmetric function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- Eric W. Weisstein: Symmetric Function. In: MathWorld (englisch).