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Multilineare Abbildung Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandter Gebiete wird durch die multiline

Multilineare Abbildung

Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandter Gebiete wird durch die multilineare Abbildung der Begriff der linearen Abbildung verallgemeinert. Ein wichtiges Beispiel einer multilinearen Abbildung ist die Determinante.

Definition Bearbeiten

Ist ein kommutativer Ring mit Eins und sind und für Moduln über dem Ring , dann ist eine multilineare Abbildung eine auf dem Produktraum definierte Abbildung , welche bezüglich jedes ihrer Argumente eine lineare Abbildung ist. Genauer: Ist eine ganze Zahl, so hat eine -(multi)lineare Abbildung die Eigenschaft

wobei die partielle Abbildung

ist und die Menge der linearen Abbildungen von nach bezeichnet.

Falls , spricht man von einer -Multilinearform.

Die Menge aller -linearen Abbildungen von nach wird mit

bezeichnet; falls alle dieselben sind, notiert man auch

Beispiele Bearbeiten

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Die symmetrische Gruppe der Permutationen von definiert eine Operation auf ,

das heißt durch Permutation der Argumente der -linearen Abbildung. (Man zeigt, dass indem man dies zunächst für zwei Transpositionen zeigt.)

Eine Abbildung heißt dann

Umgekehrt definiert man den Symmetrisierer

und den Antisymmetrisierer

welche eine beliebige multilineare Abbildung symmetrisch resp. antisymmetrisch "machen". (Manche Autoren dividieren durch einen Faktor , um diese Operatoren idempotent (das heißt zu Projektoren auf die entsprechenden Unterräume) zu machen, was jedoch in Körpern mit endlicher Charakteristik nicht immer möglich ist.)

Man zeigt einfach, dass eine alternierende Abbildung antisymmetrisch ist, während eine antisymmetrische Abbildung alternierend ist wenn , und ansonsten symmetrisch ist.

Zum Beispiel sind das Kreuzprodukt und das Spatprodukt antisymmetrische Abbildungen.

Determinantenformen sind Beispiele für alternierende Multilinearformen (per Definition).

Tensoren Bearbeiten

Multilineare Abbildungen werden benötigt, um das Tensorprodukt mittels der folgenden universellen Eigenschaft zu definieren, und sie werden damit zugleich klassifiziert: Für jede multilineare Abbildung gibt es genau einen Homomorphismus , so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Universelle Eigenschaft des Tensorproduktes

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandter Gebiete wird durch die multilineare Abbildung der Begriff der linearen Abbildung verallgemeinert Ein wichtiges Beispiel einer multilinearen Abbildung ist die Determinante Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Weitere Eigenschaften 4 Tensoren 5 LiteraturDefinition BearbeitenIst R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit Eins und sind F displaystyle F nbsp und E i displaystyle E i nbsp fur i 1 p displaystyle i in 1 p nbsp Moduln uber dem Ring R displaystyle R nbsp dann ist eine multilineare Abbildung eine auf dem Produktraum definierte Abbildung f E 1 E p F displaystyle f colon E 1 times cdots times E p to F nbsp welche bezuglich jedes ihrer Argumente eine lineare Abbildung ist Genauer Ist p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp eine ganze Zahl so hat eine p displaystyle p nbsp multi lineare Abbildung die Eigenschaft a E 1 E p i 1 p f i a L E i F displaystyle forall a in E 1 times cdots times E p forall i in 1 p f i a in L E i F nbsp wobei f i a displaystyle f i a nbsp die partielle Abbildung f i a E i F x f a 1 a i 1 x a i 1 a p displaystyle f i a colon E i to F x mapsto f a 1 a i 1 x a i 1 a p nbsp ist und L E F displaystyle L E F nbsp die Menge der linearen Abbildungen von E displaystyle E nbsp nach F displaystyle F nbsp bezeichnet Falls F R displaystyle F R nbsp spricht man von einer R displaystyle R nbsp Multilinearform Die Menge aller p displaystyle p nbsp linearen Abbildungen von E 1 E p displaystyle E 1 times cdots times E p nbsp nach F displaystyle F nbsp wird mit L p E 1 E p F displaystyle L p E 1 E p F nbsp bezeichnet falls alle E i E displaystyle E i E nbsp dieselben sind notiert man auch L p E E F L p E F displaystyle L p E E F L p E F nbsp und schliesslich L p E E R L p E displaystyle L p E E R L p E nbsp Beispiele BearbeitenJede lineare Abbildung ist eine 1 lineare Abbildung Fur p gt 1 displaystyle p gt 1 nbsp ist die Nullabbildung die einzige lineare Abbildung welche auch p displaystyle p nbsp linear ist Zum Beweis schreibe man x y 0 y x 0 displaystyle x y 0 y x 0 nbsp woraus f x y f 0 y f x 0 displaystyle f x y f 0 y f x 0 nbsp und benutze dass wegen der Linearitat f 0 displaystyle f 0 nbsp ist sobald eines der Argumente 0 displaystyle 0 nbsp ist Jede bilineare Abbildung ist eine 2 lineare Abbildung Das Spatprodukt x y z x y z displaystyle x y z x cdot y times z nbsp im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp ist eine 3 lineare Abbildung d h L 3 R 3 L 3 R 3 R L 3 R 3 R 3 R 3 R displaystyle cdot cdot cdot in L 3 mathbb R 3 L 3 mathbb R 3 mathbb R L 3 mathbb R 3 mathbb R 3 mathbb R 3 mathbb R nbsp Samtliche gemeinhin ublichen Produkte sind 2 lineare Abbildungen die Multiplikation in einem Korper reelle komplexe rationale Zahlen oder einem Ring ganze Zahlen Matrizen aber auch das Vektor oder Kreuzprodukt Skalarprodukt Die Determinante in einem n dimensionalen Vektorraum ist eine n lineare Multilinearform Weitere Eigenschaften BearbeitenDie symmetrische Gruppe der Permutationen von 1 p displaystyle 1 ldots p nbsp definiert eine Operation auf L p E F displaystyle L p E F nbsp S p L p E F L p E F s f s f x 1 x p x s 1 x s p displaystyle S p times L p E F to L p E F sigma f mapsto sigma f x 1 x p mapsto x sigma 1 x sigma p nbsp das heisst durch Permutation der Argumente der p displaystyle p nbsp linearen Abbildung Man zeigt dass s t f s t f displaystyle sigma tau f sigma circ tau f nbsp indem man dies zunachst fur zwei Transpositionen i j i k displaystyle ij ik nbsp zeigt Eine Abbildung f L p E F displaystyle f in L p E F nbsp heisst dann symmetrisch wenn s f f displaystyle sigma f f nbsp fur alle s displaystyle sigma nbsp gilt antisymmetrisch wenn s f ϵ s f displaystyle sigma f epsilon sigma f nbsp fur alle s displaystyle sigma nbsp gilt wobei ϵ s displaystyle epsilon sigma nbsp das Vorzeichen der Permutation ist alternierend wenn f x 1 x p 0 displaystyle f x 1 ldots x p 0 nbsp sobald zwei der Argumente gleich sind Umgekehrt definiert man den Symmetrisierer S f S f s S p s f displaystyle S colon f mapsto Sf sum sigma in S p sigma f nbsp und den Antisymmetrisierer S f S f s S p e s s f displaystyle S colon f mapsto Sf sum sigma in S p varepsilon sigma sigma f nbsp welche eine beliebige multilineare Abbildung f displaystyle f nbsp symmetrisch resp antisymmetrisch machen Manche Autoren dividieren durch einen Faktor p displaystyle p nbsp um diese Operatoren idempotent das heisst zu Projektoren auf die entsprechenden Unterraume zu machen was jedoch in Korpern mit endlicher Charakteristik nicht immer moglich ist Man zeigt einfach dass eine alternierende Abbildung antisymmetrisch ist wahrend eine antisymmetrische Abbildung alternierend ist wenn 1 1 0 displaystyle 1 1 neq 0 nbsp und ansonsten symmetrisch ist Zum Beispiel sind das Kreuzprodukt und das Spatprodukt antisymmetrische Abbildungen Determinantenformen sind Beispiele fur alternierende Multilinearformen per Definition Tensoren BearbeitenMultilineare Abbildungen werden benotigt um das Tensorprodukt mittels der folgenden universellen Eigenschaft zu definieren und sie werden damit zugleich klassifiziert Fur jede multilineare Abbildung A 1 A n B displaystyle A 1 times cdots times A n to B nbsp gibt es genau einen Homomorphismus A 1 R R A n B displaystyle A 1 otimes R cdots otimes R A n to B nbsp so dass das folgende Diagramm kommutiert nbsp Universelle Eigenschaft des TensorproduktesLiteratur BearbeitenA L Onishchik Multilinear mapping In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Multilineare Abbildung amp oldid 211024592