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Multilinearform Eine p displaystyle p ω displaystyle omega ist in der Mathematik eine Funktion die p displaystyle p Argu

Multilinearform

Eine -Multilinearform ist in der Mathematik eine Funktion, die Argumenten aus -Vektorräumen einen Wert zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Definition Bearbeiten

Eine Abbildung

heißt Multilinearform, wenn für alle und alle folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle gilt

und für alle

Die Menge aller multilinearen Abbildungen bildet einen -Vektorraum. Im Fall schreibt man .

Alternierende Multilinearformen Bearbeiten

Eine Multilinearform heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d. h.

für alle .

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

für alle und . Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von nicht 2 ist, also zum Beispiel für .

Ist allgemeiner eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

wobei das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen ist ein Untervektorraum von . Wichtig ist der Spezialfall . Dann ist ein eindimensionaler Unterraum von , und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Auf dem durch alle erzeugten Vektorraum lässt sich die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra.

Beispiele Bearbeiten

  1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
  2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von nicht 2 ist).
  3. Bildet man aus Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also definiert durch

    eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
    .
  4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume identisch sind (also ), ist die -Multilinearform auch ein kovarianter Tensor -ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden -Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren -ter Stufe.
  5. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Arkady L'vovich Onishchik: Multilinear mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
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Veröffentlichungsdatum:
Eine p displaystyle p Multilinearform w displaystyle omega ist in der Mathematik eine Funktion die p displaystyle p Argumenten v i V i i 1 p displaystyle v i in V i i in 1 ldots p aus K displaystyle K Vektorraumen V 1 V p displaystyle V 1 ldots V p einen Wert w v 1 v p K displaystyle omega v 1 ldots v p in K zuordnet und in jeder Komponente linear ist Im allgemeineren Fall dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist oder Bild und Zielraume Moduln sind spricht man von einer multilinearen Abbildung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Alternierende Multilinearformen 3 Beispiele 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Abbildung w V 1 V p K v 1 v p w v 1 v p displaystyle begin aligned omega V 1 times cdots times V p amp rightarrow K v 1 ldots v p amp mapsto omega left v 1 dots v p right end aligned nbsp heisst Multilinearform wenn fur alle v j V j j 1 p displaystyle v j in V j j in 1 ldots p nbsp und alle i 1 p displaystyle i in 1 ldots p nbsp folgende zwei Bedingungen erfullt sind Fur alle l K displaystyle lambda in K nbsp gilt w v 1 l v i v p l w v 1 v i v p displaystyle omega left v 1 ldots lambda v i ldots v p right lambda omega left v 1 ldots v i ldots v p right nbsp und fur alle w V i displaystyle w in V i nbsp w v 1 v i w v p w v 1 v i v p w v 1 w v p displaystyle omega left v 1 ldots v i w ldots v p right omega left v 1 ldots v i ldots v p right omega left v 1 ldots w ldots v p right nbsp Die Menge aller multilinearen Abbildungen J p V 1 V p displaystyle mathcal J p V 1 ldots V p nbsp bildet einen K displaystyle K nbsp Vektorraum Im Fall V 1 V p V displaystyle V 1 cdots V p V nbsp schreibt man J p V J p V V displaystyle mathcal J p V mathcal J p V ldots V nbsp Alternierende Multilinearformen BearbeitenEine Multilinearform w J p V displaystyle omega in mathcal J p V nbsp heisst alternierend falls sie null ergibt wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird d h w v v 0 displaystyle omega left dots v dots v dots right 0 nbsp fur alle v V displaystyle v in V nbsp 1 In diesem Fall folgt auch dass die Form schiefsymmetrisch ist das heisst dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt also w v 1 v i v j v p w v 1 v j v i v p displaystyle omega left v 1 dots v i dots v j dots v p right omega left v 1 dots v j dots v i dots v p right nbsp fur alle v k V k 1 p displaystyle v k in V k in 1 ldots p nbsp und i j 1 p i j displaystyle i j in 1 ldots p i neq j nbsp Die umgekehrte Implikation dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind gilt aber nur wenn die Charakteristik von K displaystyle K nbsp nicht 2 ist also zum Beispiel fur K R displaystyle K mathbb R nbsp 1 Ist allgemeiner p S p displaystyle pi in S p nbsp eine beliebige Permutation der Indizes dann gilt w v p 1 v p p sign p w v 1 v p displaystyle omega left v pi 1 dotsc v pi p right operatorname sign pi cdot omega left v 1 dotsc v p right nbsp wobei sign p displaystyle operatorname sign pi nbsp das Signum der Permutation bezeichnet Die Menge aller alternierenden Multilinearformen W p V displaystyle Omega p V nbsp ist ein Untervektorraum von J p V displaystyle mathcal J p V nbsp Wichtig ist der Spezialfall p dim V displaystyle p dim V nbsp Dann ist W p V displaystyle Omega p V nbsp ein eindimensionaler Unterraum von J p V displaystyle mathcal J p V nbsp und seine Elemente heissen Determinantenfunktionen Auf dem durch alle W p V p 0 1 2 displaystyle Omega p V p 0 1 2 ldots nbsp erzeugten Vektorraum lasst sich die Struktur einer Algebra definieren Diese Algebra heisst Grassmann Algebra Beispiele BearbeitenLinearformen sind genau die 1 Multilinearformen Bilinearformen sind genau die 2 Multilinearformen Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen wenn die Charakteristik von K displaystyle K nbsp nicht 2 ist Bildet man aus n displaystyle n nbsp Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende normierte Multilinearform Im dreidimensionalen Fall ist also w displaystyle omega nbsp definiert durchw v 1 v 2 v 3 det v 1 x v 2 x v 3 x v 1 y v 2 y v 3 y v 1 z v 2 z v 3 z displaystyle omega left v 1 v 2 v 3 right det begin pmatrix v 1x amp v 2x amp v 3x v 1y amp v 2y amp v 3y v 1z amp v 2z amp v 3z end pmatrix nbsp eine alternierende 3 Multilinearform Dabei sind die Vektoren v 1 v 2 v 3 displaystyle v 1 v 2 v 3 nbsp folgendermassen in Koordinaten dargestellt v 1 v 1 x v 1 y v 1 z v 2 v 2 x v 2 y v 2 z v 3 v 3 x v 3 y v 3 z displaystyle v 1 begin pmatrix v 1x v 1y v 1z end pmatrix quad quad v 2 begin pmatrix v 2x v 2y v 2z end pmatrix quad quad v 3 begin pmatrix v 3x v 3y v 3z end pmatrix nbsp Kovariante Tensoren sind Multilinearformen In dem Fall dass alle Vektorraume V i displaystyle V i nbsp identisch sind also V i V displaystyle V i V nbsp ist die p displaystyle p nbsp Multilinearform auch ein kovarianter Tensor p displaystyle p nbsp ter Stufe Im selben Fall sind die alternierenden p displaystyle p nbsp Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren p displaystyle p nbsp ter Stufe Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehorigen Tangentialraum zu Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Vieweg Verlag ISBN 3 528 03217 0 Hans Joachim Kowalsky Gerhard O Michler Lineare Algebra De Gruyter Berlin 2003 ISBN 978 3 11 017963 7 Einzelnachweise Bearbeiten a b Arkady L vovich Onishchik Multilinear mapping In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Multilinearform amp oldid 217627136