www.wikidata.de-de.nina.az

Linearform Eine ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra Es handelt sich dabei um eine line

Linearform

Eine Linearform ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Es handelt sich dabei um eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in den zugrundeliegenden Körper.

Im Kontext der Funktionalanalysis, das heißt im Falle eines topologischen - oder -Vektorraums, sind die betrachteten Linearformen meistens stetige lineare Funktionale.

Definition Bearbeiten

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Eine Abbildung heißt Linearform, wenn für alle Vektoren und Skalare gilt:

  1. (Additivität);
  2. (Homogenität).

Die Menge aller Linearformen über einem gegebenen Vektorraum bildet dessen Dualraum und damit selbst wieder in natürlicher Weise einen -Vektorraum.

Eigenschaften Bearbeiten

Allgemeine Eigenschaften für Linearformen sind zum Beispiel:

  • Wie jede lineare Abbildung sind sie durch ihre Werte für eine beliebige Basis von vollständig bestimmt.
  • Sie sind entweder trivial (überall identisch ) oder surjektiv.
  • Haben zwei von ihnen gleiche Kerne, so unterscheiden sie sich nur durch die Multiplikation mit einem Skalar.

Speziell für lineare Funktionale gilt außerdem:

Linearform als Tensor Bearbeiten

Eine Linearform ist ein kovarianter Tensor erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch 1-Form. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von Differentialformen.

Verwandte Begriffe Bearbeiten

Gilt speziell und ändert man die zweite Bedingung in ab, wobei das komplex Konjugierte von bezeichnet, erhält man eine Semilinearform.

Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine Sesquilinearform, eine Bilinearform, oder allgemein eine Multilinearform.

Literatur Bearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 16., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0428-0, S. 280–281.
  • Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0026-8 (MR2380292).
  • Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 150). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1974, ISBN 3-540-06715-9 (MR0366944).
  • Walter Rudin: Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5., erw. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Berlin 2005, ISBN 3-540-21381-3.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Eine Linearform ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra Es handelt sich dabei um eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in den zugrundeliegenden Korper Im Kontext der Funktionalanalysis das heisst im Falle eines topologischen R displaystyle mathbb R oder C displaystyle mathbb C Vektorraums sind die betrachteten Linearformen meistens stetige lineare Funktionale Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Linearform als Tensor 4 Verwandte Begriffe 5 LiteraturDefinition BearbeitenEs sei K displaystyle K nbsp ein Korper und V displaystyle V nbsp ein K displaystyle K nbsp Vektorraum Eine Abbildung f V K displaystyle f colon V to K nbsp heisst Linearform wenn fur alle Vektoren x y V displaystyle x y in V nbsp und Skalare a K displaystyle alpha in K nbsp gilt f x y f x f y displaystyle f x y f x f y nbsp Additivitat f a x a f x displaystyle f alpha x alpha f x nbsp Homogenitat Die Menge aller Linearformen uber einem gegebenen Vektorraum V displaystyle V nbsp bildet dessen Dualraum V displaystyle V nbsp und damit selbst wieder in naturlicher Weise einen K displaystyle K nbsp Vektorraum Eigenschaften BearbeitenAllgemeine Eigenschaften fur Linearformen sind zum Beispiel Wie jede lineare Abbildung sind sie durch ihre Werte fur eine beliebige Basis von V displaystyle V nbsp vollstandig bestimmt Sie sind entweder trivial uberall identisch 0 K displaystyle 0 K nbsp oder surjektiv Haben zwei von ihnen gleiche Kerne so unterscheiden sie sich nur durch die Multiplikation mit einem Skalar Speziell fur lineare Funktionale gilt ausserdem Sie sind genau dann stetig wenn ihr Kern abgeschlossen ist Ihr absoluter Betrag ist stets eine Halbnorm auf V displaystyle V nbsp Lineare Funktionale K n K displaystyle mathbb K n to mathbb K nbsp sind genau die Abbildungen x v x displaystyle x mapsto langle v x rangle nbsp wobei v K n displaystyle v in mathbb K n nbsp einen Vektor und displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp das Standardskalarprodukt bezeichnen Linearform als Tensor BearbeitenEine Linearform f displaystyle f nbsp ist ein kovarianter Tensor erster Stufe man nennt sie deshalb manchmal auch 1 Form 1 Formen bilden die Grundlage fur die Einfuhrung von Differentialformen Verwandte Begriffe BearbeitenGilt speziell K C displaystyle K mathbb C nbsp und andert man die zweite Bedingung in f a x a f x displaystyle f alpha x overline alpha f x nbsp ab wobei a displaystyle overline alpha nbsp das komplex Konjugierte von a displaystyle alpha nbsp bezeichnet erhalt man eine Semilinearform Eine Abbildung die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist ist eine Sesquilinearform eine Bilinearform oder allgemein eine Multilinearform Literatur BearbeitenLinear form In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger 16 uberarbeitete und erweiterte Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2008 ISBN 978 3 8348 0428 0 S 280 281 Harro Heuser Funktionalanalysis Theorie und Anwendung Mathematische Leitfaden 4 Auflage B G Teubner Wiesbaden 2006 ISBN 978 3 8351 0026 8 MR2380292 Eberhard Oeljeklaus Reinhold Remmert Lineare Algebra I Heidelberger Taschenbucher Band 150 Springer Verlag Berlin u a 1974 ISBN 3 540 06715 9 MR0366944 Walter Rudin Functional Analysis 2nd Ed McGraw Hill Inc New York 1991 Dirk Werner Funktionalanalysis 5 erw Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg Berlin 2005 ISBN 3 540 21381 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Linearform amp oldid 223180440