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Antisymmetrische Funktion Dieser Artikel behandelt antisymmetrische Funktionen mehrerer Variablen zur Achsen und Punktsy

Antisymmetrische Funktion

Eine antisymmetrische Funktion oder schiefsymmetrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mehrerer Variablen, bei der die Vertauschung zweier Variablen das Vorzeichen der Funktion umkehrt. Wichtige Spezialfälle antisymmetrischer Funktionen sind antikommutative Verknüpfungen und alternierende Multilinearformen. In der Quantenmechanik sind Fermionen genau diejenigen Teilchen, deren Wellenfunktion antisymmetrisch bezüglich des Austauschs der Teilchenpositionen ist.

Das Gegenstück zu den antisymmetrischen Funktionen sind symmetrische Funktionen.

Definition Bearbeiten

Sind und zwei Vektorräume (meist über den reellen oder komplexen Zahlen), dann heißt eine multivariate Funktion antisymmetrisch, wenn für alle Permutationen und alle Vektoren

gilt, wobei das Signum der Permutation ist.

Beispiele Bearbeiten

Konkrete Beispiele Bearbeiten

Die Subtraktion

ist antisymmetrisch, denn durch Vertauschung der beiden Operanden und kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um. Antisymmetrische Funktionen dreier Variablen sind beispielsweise

oder

Allgemeinere Beispiele Bearbeiten

Weitere Kriterien Bearbeiten

Für den Nachweis der Antisymmetrie einer Funktion müssen nicht alle möglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe überprüft werden. Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann antisymmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen und umkehrt, also

für mit ist. Für weitere mögliche Kriterien zum Nachweis der Antisymmetrie siehe Symmetrische Funktionen, die jeweils mit Vorzeichenwechsel angewandt werden müssen.

Eigenschaften Bearbeiten

Die antisymmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von nach (mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation), das heißt

  • ein skalares Vielfaches einer antisymmetrischen Funktion ist wieder eine antisymmetrische Funktion und
  • die Summe zweier antisymmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder antisymmetrisch,

wobei die Nullfunktion trivialerweise antisymmetrisch ist.

Antisymmetrisierung Bearbeiten

Durch Antisymmetrisierung, das heißt durch eine gewichtete Summation über alle möglichen Permutationen der Form

lässt sich jeder nicht antisymmetrischen Funktion eine zugehörige antisymmetrische Funktion zuordnen. Der Antisymmetrisierungsoperator führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der antisymmetrischen Funktionen durch. Wenn ein Produkt von Funktionen ist, die jeweils nur von einer einzigen Variable abhängen (in der Quantenchemie wird eine solche Funktion Hartree-Produkt genannt), kann man auch als Slaterdeterminante schreiben.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt antisymmetrische Funktionen mehrerer Variablen zur Achsen und Punktsymmetrie reeller Funktionen einer Variablen siehe gerade und ungerade Funktionen Eine antisymmetrische Funktion oder schiefsymmetrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mehrerer Variablen bei der die Vertauschung zweier Variablen das Vorzeichen der Funktion umkehrt Wichtige Spezialfalle antisymmetrischer Funktionen sind antikommutative Verknupfungen und alternierende Multilinearformen In der Quantenmechanik sind Fermionen genau diejenigen Teilchen deren Wellenfunktion antisymmetrisch bezuglich des Austauschs der Teilchenpositionen ist Das Gegenstuck zu den antisymmetrischen Funktionen sind symmetrische Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 2 1 Konkrete Beispiele 2 2 Allgemeinere Beispiele 3 Weitere Kriterien 4 Eigenschaften 5 Antisymmetrisierung 6 Siehe auch 7 Literatur 8 WeblinksDefinition BearbeitenSind V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp zwei Vektorraume meist uber den reellen oder komplexen Zahlen dann heisst eine multivariate Funktion f V n W displaystyle f colon V n to W nbsp antisymmetrisch wenn fur alle Permutationen s S n displaystyle sigma in S n nbsp und alle Vektoren x 1 x n V displaystyle x 1 dotsc x n in V nbsp f x 1 x n sgn s f x s 1 x s n displaystyle f x 1 dotsc x n operatorname sgn sigma f x sigma 1 dotsc x sigma n nbsp gilt wobei sgn displaystyle operatorname sgn nbsp das Signum der Permutation ist Beispiele BearbeitenKonkrete Beispiele Bearbeiten Die Subtraktion f x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 f x 2 x 1 displaystyle f x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 f x 2 x 1 nbsp ist antisymmetrisch denn durch Vertauschung der beiden Operanden x 1 displaystyle x 1 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um Antisymmetrische Funktionen dreier Variablen sind beispielsweise f x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 displaystyle f x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 nbsp oder f x 1 x 2 x 3 x 1 2 x 2 x 3 x 2 2 x 3 x 1 x 3 2 x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 x 3 x 1 2 x 2 x 3 x 2 2 x 3 x 1 x 3 2 x 1 x 2 nbsp Allgemeinere Beispiele Bearbeiten das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist antisymmetrisch die Lie Klammer zweier Vektoren ist ebenfalls antisymmetrisch eine antikommutative zweistellige Verknupfung ist eine antisymmetrische Funktion der beiden Operanden die Determinante einer Matrix ist eine antisymmetrische Funktion der Spaltenvektoren der Matrix eine alternierende Multilinearform ist eine antisymmetrische Funktion in den Skalarkorper die linear in jedem Argument istWeitere Kriterien BearbeitenFur den Nachweis der Antisymmetrie einer Funktion mussen nicht alle n displaystyle n nbsp moglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe S n displaystyle S n nbsp uberpruft werden Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausfuhrung von Transpositionen der Form i j displaystyle i j nbsp schreiben lasst ist eine Funktion bereits genau dann antisymmetrisch wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen x i displaystyle x i nbsp und x j displaystyle x j nbsp umkehrt also f x i x j f x j x i displaystyle f dotsc x i dotsc x j dotsc f dotsc x j dotsc x i dotsc nbsp fur i j 1 n displaystyle i j in 1 ldots n nbsp mit i lt j displaystyle i lt j nbsp ist Fur weitere mogliche Kriterien zum Nachweis der Antisymmetrie siehe Symmetrische Funktionen die jeweils mit Vorzeichenwechsel angewandt werden mussen Eigenschaften BearbeitenDie antisymmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von V n displaystyle V n nbsp nach W displaystyle W nbsp mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation das heisst ein skalares Vielfaches einer antisymmetrischen Funktion ist wieder eine antisymmetrische Funktion und die Summe zweier antisymmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder antisymmetrisch wobei die Nullfunktion trivialerweise antisymmetrisch ist Antisymmetrisierung BearbeitenDurch Antisymmetrisierung das heisst durch eine gewichtete Summation uber alle moglichen Permutationen der Form A f x 1 x n 1 n s S n sgn s f x s 1 x s n 1 n s S n gerade f x s 1 x s n 1 n s S n ungerade f x s 1 x s n displaystyle begin aligned Af x 1 dotsc x n amp frac 1 n sum sigma in S n operatorname sgn sigma f x sigma 1 dotsc x sigma n amp frac 1 n sum sigma in S n atop text gerade f x sigma 1 dotsc x sigma n frac 1 n sum sigma in S n atop text ungerade f x sigma 1 dotsc x sigma n end aligned nbsp lasst sich jeder nicht antisymmetrischen Funktion f displaystyle f nbsp eine zugehorige antisymmetrische Funktion A f displaystyle Af nbsp zuordnen Der Antisymmetrisierungsoperator A displaystyle A nbsp fuhrt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der antisymmetrischen Funktionen durch Wenn f x 1 x n displaystyle f x 1 dotsc x n nbsp ein Produkt von Funktionen ist die jeweils nur von einer einzigen Variable abhangen in der Quantenchemie wird eine solche Funktion Hartree Produkt genannt kann man A f x 1 x n displaystyle Af x 1 dotsc x n nbsp auch als Slaterdeterminante schreiben Siehe auch BearbeitenAlternierende Gruppe Grassmann Algebra Levi Civita SymbolLiteratur BearbeitenIlka Agricola Thomas Friedrich Vektoranalysis Differentialformen in Analysis Geometrie und Physik Springer 2010 ISBN 3 8348 1016 9 Weblinks BearbeitenRobert Milson Thomas Foregger Joe Corneli Antisymmetric Mapping In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Antisymmetrische Funktion amp oldid 189364586