www.wikidata.de-de.nina.az

Satz von Lindemann Weierstraß Der ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewiss

Satz von Lindemann-Weierstraß

Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß.

Aussage Bearbeiten

Es sei eine (endliche) Menge algebraischer Zahlen gegeben, so sind die Bilder dieser Zahlen unter der Exponentialfunktion linear unabhängig über dem Körper der algebraischen Zahlen.

Diesen sehr allgemeinen Satz bewies 1882 (teilweise) von Lindemann, ausgehend von der Hermiteschen Matrix, um einerseits die Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl zu zeigen. Obwohl er Erweiterungen andeutete, blieben diese unveröffentlicht, so dass diese dann Weierstraß 1885 vollendete. Beide Arbeiten zusammen bilden den Beweis, so dass der Satz den Namen „Satz von Lindemann-Weierstraß“ erhielt.

1893 legte David Hilbert allerdings einen deutlich vereinfachten Beweis durch Widerspruch für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen und vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt.

In den 1960er Jahren wurde von Stephen Schanuel eine Verallgemeinerung dieses Satzes als Vermutung formuliert, siehe Vermutung von Schanuel.

Folgerungen Bearbeiten

Diese Ergebnisse folgen direkt aus dem obigen Satz.

Transzendenz von e Bearbeiten

Wäre eine algebraische Zahl, so wäre Nullstelle eines normierten Polynoms mit rationalen Koeffizienten. Es gäbe also rationale Zahlen , so dass

Damit wären die ersten Potenzen von e linear abhängig über (und damit auch über ) im Widerspruch zum Satz von Lindemann-Weierstraß.

Transzendenz von π Bearbeiten

Um die Transzendenz der Kreiszahl zu zeigen, nehmen wir zunächst an, dass eine algebraische Zahl ist. Da die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bildet, müsste auch algebraisch sein ( bezeichnet hier die imaginäre Einheit). Nun ist aber

im Widerspruch zu linearen Unabhängigkeit von und .

Dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, die Kreiszahl muss also transzendent sein.

Literatur Bearbeiten

  • Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. In: Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 77, (1873), S. 18–24.
  • Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. Gauthier-Villars, Paris (1874).
  • Ferdinand Lindemann: Über die Ludolph'sche Zahl. In: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 2 (1882), S. 679–682.
  • Ferdinand Lindemann: Über die Zahl . In: Mathematische Annalen 20 (1882), S. 213–225.
  • Karl Weierstraß: Zu Lindemann's Abhandlung. „Über die Ludolph'sche Zahl“. In: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin 5 (1885), S. 1067–1085.
  • David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und . In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 216–219.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen und , Digitalisat, auch Wikibooks
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Lindemann Weierstrass ist ein zahlentheoretisches Resultat uber die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl e displaystyle e und der Kreiszahl p displaystyle pi folgt Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstrass Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Folgerungen 2 1 Transzendenz von e 2 2 Transzendenz von p 3 Literatur 4 EinzelnachweiseAussage BearbeitenEs sei eine endliche Menge algebraischer Zahlen gegeben so sind die Bilder dieser Zahlen unter der Exponentialfunktion linear unabhangig uber dem Korper der algebraischen Zahlen Diesen sehr allgemeinen Satz bewies 1882 teilweise von Lindemann ausgehend von der Hermiteschen Matrix um einerseits die Transzendenz der eulerschen Zahl e displaystyle e nbsp und der Kreiszahl p displaystyle pi nbsp zu zeigen Obwohl er Erweiterungen andeutete blieben diese unveroffentlicht so dass diese dann Weierstrass 1885 vollendete Beide Arbeiten zusammen bilden den Beweis so dass der Satz den Namen Satz von Lindemann Weierstrass erhielt 1893 legte David Hilbert allerdings einen deutlich vereinfachten Beweis durch Widerspruch fur die Spezialfalle der Transzendenz der Zahlen e displaystyle e nbsp und p displaystyle pi nbsp vor aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lasst 1 In den 1960er Jahren wurde von Stephen Schanuel eine Verallgemeinerung dieses Satzes als Vermutung formuliert siehe Vermutung von Schanuel Folgerungen BearbeitenDiese Ergebnisse folgen direkt aus dem obigen Satz Transzendenz von e Bearbeiten Ware e displaystyle e nbsp eine algebraische Zahl so ware e displaystyle e nbsp Nullstelle eines normierten Polynoms mit rationalen Koeffizienten Es gabe also rationale Zahlen b 0 b n 1 displaystyle beta 0 dots beta n 1 nbsp so dass e n b n 1 e n 1 b 1 e 1 b 0 e 0 0 displaystyle e n beta n 1 e n 1 cdots beta 1 e 1 beta 0 e 0 0 nbsp Damit waren die ersten n 1 displaystyle n 1 nbsp Potenzen von e linear abhangig uber Q displaystyle mathbb Q nbsp und damit auch uber Q displaystyle overline mathbb Q nbsp im Widerspruch zum Satz von Lindemann Weierstrass Transzendenz von p Bearbeiten Um die Transzendenz der Kreiszahl p displaystyle pi nbsp zu zeigen nehmen wir zunachst an dass p displaystyle pi nbsp eine algebraische Zahl ist Da die Menge der algebraischen Zahlen einen Korper bildet musste auch p i displaystyle pi i nbsp algebraisch sein i displaystyle i nbsp bezeichnet hier die imaginare Einheit Nun ist aber e p i e 0 1 1 0 displaystyle e pi i e 0 1 1 0 nbsp im Widerspruch zu linearen Unabhangigkeit von e p i displaystyle e pi i nbsp und e 0 displaystyle e 0 nbsp Dies zeigt dass unsere Annahme falsch war die Kreiszahl p displaystyle pi nbsp muss also transzendent sein Literatur BearbeitenCharles Hermite Sur la fonction exponentielle In Comptes Rendus Acad Sci Paris 77 1873 S 18 24 Charles Hermite Sur la fonction exponentielle Gauthier Villars Paris 1874 Ferdinand Lindemann Uber die Ludolph sche Zahl In Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 2 1882 S 679 682 Ferdinand Lindemann Uber die Zahl p displaystyle pi nbsp In Mathematische Annalen 20 1882 S 213 225 Karl Weierstrass Zu Lindemann s Abhandlung Uber die Ludolph sche Zahl In Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissen schaften zu Berlin 5 1885 S 1067 1085 David Hilbert Ueber die Transcendenz der Zahlen e und p displaystyle pi nbsp In Mathematische Annalen 43 1893 S 216 219 Einzelnachweise Bearbeiten David Hilbert Ueber die Transcendenz der Zahlen e displaystyle e nbsp und p displaystyle pi nbsp Digitalisat auch Wikibooks Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Lindemann Weierstrass amp oldid 199854565