Der Arkussinus geschrieben arcsin displaystyle arcsin oder asin displaystyle operatorname asin und der Arkuskosinus oder auch Arkuscosinus geschrieben arccos displaystyle arccos oder acos displaystyle operatorname acos sind Umkehrfunktionen der geeignet eingeschrankten Sinus bzw Kosinusfunktion Sinus und Kosinus sind Funktionen die einen Winkel auf einen Wert im Intervall 1 1 displaystyle 1 1 abbilden als deren Umkehrfunktionen bilden Arkussinus und Arkuskosinus einen Wert aus 1 1 displaystyle 1 1 wieder auf einen zugehorigen Winkel ab Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind gibt es aber zu jedem Wert aus 1 1 displaystyle 1 1 unendlich viele zugehorige Winkel Daher wird zur Umkehrung von Sinus und Kosinus deren Definitionsmenge auf das Intervall p 2 p 2 displaystyle tfrac pi 2 tfrac pi 2 fur Sinus und auf 0 p displaystyle 0 pi fur Kosinus eingeschrankt Sinus und Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar Arkussinus und Arkus kosinus im kartesi schen Koordinaten system arcsin x arccos x Beispiel Umkehrung der Kosinus und Sinusfunktion 1 Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des ebenfalls geeignet eingeschrankten Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen Aufgrund der in neuerer Zeit fur Umkehrfunktionen gebrauchlichen Schreibweise f 1 displaystyle f 1 beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen sin 1 displaystyle sin 1 und cos 1 displaystyle cos 1 die klassische Schreibweise arcsin displaystyle arcsin bzw arccos displaystyle arccos zu verdrangen was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus Kosekans und Sekans fuhren kann 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Eigenschaften 3 Formeln fur negative Argumente 4 Reihenentwicklungen 5 Verkettungen mit Sinus und Kosinus 6 Beziehung zum Arkustangens 7 Additionstheoreme 8 Ableitungen 9 Integrale 9 1 Standardisierte Integraldarstellungen 9 2 Integralidentitat mit dem Logarithmus Naturalis 9 3 Integralidentitat mit dem Areatangens Hyperbolicus 9 4 Stammfunktionen von Arkussinus und Arkuskosinus 9 5 Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus 10 Komplexe Argumente 11 Anmerkungen 11 1 Wichtige Funktionswerte 11 2 Kettenbruchdarstellung des Arkussinus 11 3 Komplexe Funktion 12 Siehe auch 13 Literatur 14 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenDie Sinusfunktion ist 2 p displaystyle 2 pi nbsp periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv Daher muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschrankt werden um eine umkehrbar eindeutige Funktion zu erhalten Da es fur diese Einschrankung mehrere Moglichkeiten gibt spricht man von Zweigen des Arkussinus Meist wird der Hauptzweig oder Hauptwert arcsin 1 1 p 2 p 2 displaystyle arcsin colon 1 1 to left frac pi 2 frac pi 2 right nbsp die Umkehrfunktion der Einschrankung sin p 2 p 2 displaystyle sin left frac pi 2 frac pi 2 right nbsp der Sinusfunktion auf das Intervall p 2 p 2 displaystyle left frac pi 2 frac pi 2 right nbsp betrachtet Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von cos 0 p displaystyle cos 0 pi nbsp definiert Dies ergibt mit arccos 1 1 0 p displaystyle arccos colon 1 1 to 0 pi nbsp ebenfalls eine bijektive Funktion Mittels arccos x arcsin x p 2 displaystyle arccos x arcsin x frac pi 2 nbsp lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen Eigenschaften Bearbeiten Arkussinus ArkuskosinusFunktionsgraph nbsp nbsp Definitionsmenge 1 1 displaystyle 1 1 nbsp 1 1 displaystyle 1 1 nbsp Bildmenge p 2 p 2 displaystyle left frac pi 2 frac pi 2 right nbsp 0 p displaystyle 0 pi nbsp Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallendSymmetrien Ungerade Funktion Punktsymmetrie zu 0 0 displaystyle 0 0 nbsp arcsin x arcsin x displaystyle arcsin x arcsin x nbsp Punktsymmetrie zu 0 p 2 displaystyle left 0 tfrac pi 2 right colon nbsp arccos x p arccos x displaystyle arccos x pi arccos x nbsp Asymptoten keine keineNullstellen Eine Nullstelle bei x 0 displaystyle x 0 nbsp Eine Nullstelle bei x 1 displaystyle x 1 nbsp Sprungstellen keine keinePolstellen keine keineExtrema Globales Maximum p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp an der Stelle 1 displaystyle 1 nbsp globales Minimum p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp an der Stelle 1 displaystyle 1 nbsp Globales Maximum p displaystyle pi nbsp an der Stelle 1 displaystyle 1 nbsp globales Minimum 0 displaystyle 0 nbsp an der Stelle 1 displaystyle 1 nbsp Wendepunkte 0 0 displaystyle 0 0 nbsp 0 p 2 displaystyle left 0 frac pi 2 right nbsp Formeln fur negative Argumente BearbeitenAufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt arcsin x arcsin x displaystyle arcsin x arcsin x nbsp arccos x p arccos x displaystyle arccos x pi arccos x nbsp Reihenentwicklungen BearbeitenDie Taylorreihe des Arkussinus erhalt man durch Entwickeln der Ableitung in eine binomische Reihe und anschliessende Integration sie ist gegeben durch arcsin x k 0 2 k 1 2 k x 2 k 1 2 k 1 k 0 2 k k x 2 k 1 4 k 2 k 1 k 0 CBC k 4 k 2 k 1 x 2 k 1 x 1 2 x 3 3 1 3 2 4 x 5 5 1 3 5 2 4 6 x 7 7 displaystyle begin aligned arcsin x amp sum k 0 infty frac 2k 1 2k frac x 2k 1 2k 1 sum k 0 infty binom 2k k frac x 2k 1 4 k 2k 1 sum k 0 infty frac operatorname CBC k 4 k 2k 1 x 2k 1 amp x frac 1 2 cdot frac x 3 3 frac 1 cdot 3 2 cdot 4 cdot frac x 5 5 frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 cdot frac x 7 7 dotsb end aligned nbsp Die Taylorreihe des Arkuskosinus ergibt sich aus der Beziehung arccos x p 2 arcsin x displaystyle arccos x tfrac pi 2 arcsin x nbsp arccos x p 2 k 0 2 k 1 2 k x 2 k 1 2 k 1 p 2 k 0 2 k k x 2 k 1 4 k 2 k 1 displaystyle arccos x frac pi 2 sum k 0 infty frac 2k 1 2k frac x 2k 1 2k 1 frac pi 2 sum k 0 infty binom 2k k frac x 2k 1 4 k 2k 1 nbsp Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1 Der Ausdruck k displaystyle k nbsp bezeichnet dabei die Doppelfakultat und mit dem Ausdruck CBC wird der Zentralbinomialkoeffizient bezeichnet CBC x 2 x x 2 x x 2 P 2 x P x 2 n 1 1 x n 2 1 2 x n 1 displaystyle operatorname CBC x 2x choose x frac 2x x 2 frac Pi 2x Pi x 2 prod n 1 infty bigl bigl 1 frac x n bigr 2 bigl 1 frac 2x n bigr 1 bigr nbsp So wird der Zentralbinomialkoeffizient mit Hilfe von der Fakultatsfunktion beziehungsweise der Gaussschen Pifunktion definiert Im Gegensatz zum Arkussinus selbst hat das Quadrat des Arkussinus in dessen MacLaurinschen Reihe den Zentralbinomialkoeffizienten 3 nicht im Zahler sondern im Nenner arcsin x 2 n 1 2 2 n 1 n 2 CBC n x 2 n x 2 1 3 x 4 8 45 x 6 4 35 x 8 displaystyle begin aligned arcsin x 2 amp sum n 1 infty frac 2 2n 1 n 2 operatorname CBC n x 2n amp x 2 frac 1 3 cdot x 4 frac 8 45 cdot x 6 frac 4 35 cdot x 8 dotsb end aligned nbsp Das Gleiche gilt somit auch fur den Quotienten aus Arkussinus und Pythagoraischer Gegenstuckfunktion arcsin x 1 x 2 n 1 2 2 n 1 n CBC n x 2 n 1 x 2 3 x 3 8 15 x 5 16 35 x 7 displaystyle begin aligned frac arcsin x sqrt 1 x 2 amp sum n 1 infty frac 2 2n 1 n operatorname CBC n x 2n 1 amp x frac 2 3 cdot x 3 frac 8 15 cdot x 5 frac 16 35 cdot x 7 dotsb end aligned nbsp Verkettungen mit Sinus und Kosinus BearbeitenFur die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln sin arccos x 1 x 2 displaystyle sin arccos x sqrt 1 x 2 nbsp denn fur y arccos x displaystyle y arccos x nbsp gilt y 0 p displaystyle y in left 0 pi right nbsp und sin y 1 cos 2 y displaystyle sin y sqrt 1 cos 2 y nbsp cos arcsin x 1 x 2 displaystyle cos arcsin x sqrt 1 x 2 nbsp denn fur y arcsin x displaystyle y arcsin x nbsp gilt y p 2 p 2 displaystyle y in left frac pi 2 frac pi 2 right nbsp und cos y 1 sin 2 y displaystyle cos y sqrt 1 sin 2 y nbsp sin arctan x x 1 x 2 displaystyle sin arctan x frac x sqrt 1 x 2 nbsp denn fur y arctan x displaystyle y arctan x nbsp gilt y p 2 p 2 displaystyle y in left frac pi 2 frac pi 2 right nbsp und sin y tan y 1 tan 2 y displaystyle sin y frac tan y sqrt 1 tan 2 y nbsp cos arctan x 1 1 x 2 displaystyle cos arctan x frac 1 sqrt 1 x 2 nbsp denn fur y arctan x displaystyle y arctan x nbsp gilt y p 2 p 2 displaystyle y in left frac pi 2 frac pi 2 right nbsp und cos y 1 1 tan 2 y displaystyle cos y frac 1 sqrt 1 tan 2 y nbsp Beziehung zum Arkustangens BearbeitenVon besonderer Bedeutung in alteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen die es ermoglichen den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen Aufgrund obiger Formeln gilt arcsin x arctan x 1 x 2 displaystyle arcsin x arctan left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp arccos x p 2 arctan x 1 x 2 displaystyle arccos x frac pi 2 arctan left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp fur x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp Definiert man arctan 1 0 lim t arctan t p 2 displaystyle arctan left tfrac 1 0 right lim t to infty arctan t tfrac pi 2 nbsp so werden diese beiden Gleichungen auch fur x 1 displaystyle x pm 1 nbsp richtig Alternativ dazu kann man auch arcsin x 2 arctan x 1 1 x 2 displaystyle arcsin x 2 arctan left frac x 1 sqrt 1 x 2 right nbsp arccos x p 2 2 arctan x 1 1 x 2 displaystyle arccos x frac pi 2 2 arctan left frac x 1 sqrt 1 x 2 right nbsp verwenden was sich aus Obigem durch Anwenden der Funktionalgleichung des Arkustangens ergibt und fur x 1 displaystyle x leq 1 nbsp gilt Fur 1 lt x 1 displaystyle 1 lt x leq 1 nbsp lasst sich Letzteres auch zu arccos x 2 arctan 1 x 1 x displaystyle arccos x 2 arctan left sqrt frac 1 x 1 x right nbsp vereinfachen Additionstheoreme Bearbeiten Hauptartikel Additionstheoreme fur Arkusfunktionen Trigonometrie Die Additionstheoreme fur Arkussinus und Arkuskosinus erhalt man mit Hilfe der Additionstheoreme fur Sinus und Kosinus arcsin x arcsin y arcsin sin arcsin x arcsin y arcsin x 1 y 2 y 1 x 2 wenn x y 0 oder x 2 y 2 1 p arcsin sin arcsin x arcsin y p arcsin x 1 y 2 y 1 x 2 wenn x gt 0 und y gt 0 und x 2 y 2 gt 1 p arcsin sin arcsin x arcsin y p arcsin x 1 y 2 y 1 x 2 wenn x lt 0 und y lt 0 und x 2 y 2 gt 1 displaystyle arcsin x arcsin y left begin array rcrl arcsin sin arcsin x arcsin y amp amp arcsin left x sqrt 1 y 2 y sqrt 1 x 2 right amp text wenn quad xy leq 0 quad text oder quad x 2 y 2 leq 1 pi arcsin sin arcsin x arcsin y amp amp pi arcsin left x sqrt 1 y 2 y sqrt 1 x 2 right amp text wenn quad x gt 0 quad text und quad y gt 0 quad text und quad x 2 y 2 gt 1 pi arcsin sin arcsin x arcsin y amp amp pi arcsin left x sqrt 1 y 2 y sqrt 1 x 2 right amp text wenn quad x lt 0 quad text und quad y lt 0 quad text und quad x 2 y 2 gt 1 end array right nbsp arccos x arccos y arccos cos arccos x arccos y arccos x y 1 x 2 1 y 2 wenn x y 0 2 p arccos cos arccos x arccos y 2 p arccos x y 1 x 2 1 y 2 wenn x y lt 0 displaystyle arccos x arccos y left begin array rcrl arccos cos arccos x arccos y amp amp arccos left xy sqrt 1 x 2 sqrt 1 y 2 right amp text wenn quad x y geq 0 2 pi arccos cos arccos x arccos y amp amp 2 pi arccos left xy sqrt 1 x 2 sqrt 1 y 2 right amp text wenn quad x y lt 0 end array right nbsp Daraus folgt insbesondere fur doppelte Funktionswerte 2 arcsin x arcsin 2 x 1 x 2 wenn 2 x 2 1 p arcsin 2 x 1 x 2 wenn x gt 0 und 2 x 2 gt 1 p arcsin 2 x 1 x 2 wenn x lt 0 und 2 x 2 gt 1 displaystyle 2 arcsin x left begin array rl arcsin left 2x sqrt 1 x 2 right amp text wenn quad 2x 2 leq 1 pi arcsin left 2x sqrt 1 x 2 right amp text wenn quad x gt 0 quad text und quad 2x 2 gt 1 pi arcsin left 2x sqrt 1 x 2 right amp text wenn quad x lt 0 quad text und quad 2x 2 gt 1 end array right nbsp 2 arccos x arccos 2 x 2 1 wenn x 0 2 p arccos 2 x 2 1 wenn x lt 0 displaystyle 2 arccos x left begin array rl arccos left 2x 2 1 right amp text wenn quad x geq 0 2 pi arccos left 2x 2 1 right amp text wenn quad x lt 0 end array right nbsp Ableitungen BearbeitenArkussinus d d x arcsin x 1 1 x 2 1 lt x lt 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x arcsin x frac 1 sqrt 1 x 2 qquad 1 lt x lt 1 nbsp Arkuskosinus d d x arccos x 1 1 x 2 1 lt x lt 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x arccos x frac 1 sqrt 1 x 2 qquad 1 lt x lt 1 nbsp Umrechnung d d x arccos x d d x arcsin x displaystyle frac mathrm d mathrm d x arccos x frac mathrm d mathrm d x arcsin x nbsp Integrale BearbeitenStandardisierte Integraldarstellungen Bearbeiten Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw Arkuskosinus sind gegeben durch arcsin x 0 x d t 1 t 2 0 1 x 1 x 2 y 2 d y displaystyle arcsin x int limits 0 x frac mathrm d t sqrt 1 t 2 int 0 1 frac x sqrt 1 x 2 y 2 mathrm d y nbsp arccos x x 1 d t 1 t 2 p 2 0 1 x 1 x 2 y 2 d y displaystyle arccos x int limits x 1 frac mathrm d t sqrt 1 t 2 frac pi 2 int 0 1 frac x sqrt 1 x 2 y 2 mathrm d y nbsp Integralidentitat mit dem Logarithmus Naturalis Bearbeiten Auch mit dem Logarithmus Naturalis kann fur den Arkussinus eine Integralidentitat aufgestellt werden 1 1 x 2 0 1 4 y 2 1 p y 2 1 2 4 x 2 y 2 d y displaystyle frac 1 sqrt 1 x 2 int 0 1 frac 4 y 2 1 pi bigl y 2 1 2 4 x 2 y 2 bigr mathrm d y nbsp Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezuglich x entsteht folgende Formel arcsin x 0 1 1 p y ln y 2 2 x y 1 y 2 2 x y 1 d y displaystyle arcsin x int 0 1 frac 1 pi y ln biggl frac y 2 2xy 1 y 2 2xy 1 biggr mathrm d y nbsp Die nun gezeigte Integralidentitat wurde durch den Mathematiker James Harper entdeckt und in seinen Werken A simple proof of 1 1 2 2 1 3 2 p 2 6 displaystyle 1 1 2 2 1 3 2 ldots pi 2 6 nbsp und Another simple proof of 1 1 2 2 1 3 2 p 2 6 displaystyle 1 1 2 2 1 3 2 ldots pi 2 6 nbsp 4 aus dem Jahre 2003 behandelt James Harper loste damit unter anderem das Basler Problem und konnte einige weitere Integralidentitaten aufstellen welche das Bindeglied zwischen den Arkusfunktionen und den Areafunktionen beziehungsweise Logarithmusfunktionen darstellen Beispielsweise gilt folgendes Integral 0 1 1 y ln y 2 y 1 y 2 y 1 d y p 2 6 displaystyle int 0 1 frac 1 y ln biggl frac y 2 y 1 y 2 y 1 biggr mathrm d y frac pi 2 6 nbsp Eine analoge Integralidentitat nach demselben Grundmuster kann fur das Quadrat des Arkuskosinus hervorgebracht werden arccos x 2 p 2 3 0 1 2 y ln y 2 2 x y 1 d y displaystyle arccos x 2 frac pi 2 3 int 0 1 frac 2 y ln y 2 2xy 1 mathrm d y nbsp Integralidentitat mit dem Areatangens Hyperbolicus Bearbeiten Und mit dem Areatangens Hyperbolicus kann fur den Arkussinus eine Integralidentitat aufgestellt werden 2 arcsin x 1 x 2 0 1 2 x 1 x 2 1 x 2 y 2 d y displaystyle frac 2 arcsin x sqrt 1 x 2 int 0 1 frac 2 x sqrt 1 x 2 1 x 2 y 2 mathrm d y nbsp Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezuglich x entsteht folgende Formel arcsin x 2 0 1 2 y artanh y artanh 1 x 2 y 1 x 2 y 2 d y displaystyle arcsin x 2 int 0 1 frac 2 y biggl operatorname artanh bigl y bigr operatorname artanh biggl frac sqrt 1 x 2 y sqrt 1 x 2 y 2 biggr biggr mathrm d y nbsp Wenn der Grenzwert von dieser Identitat fur x 1 displaystyle x 1 nbsp berechnet wird dann entsteht fur dieses Integral uber den Areatangens Hyperbolicus folgende Identitat 0 1 1 y a r t a n h y d y p 2 8 displaystyle int 0 1 frac 1 y mathrm artanh y mathrm d y frac pi 2 8 nbsp Und mit dieser Formel kann das Basler Problem bewiesen werden 0 1 1 y a r t a n h y d y 0 1 1 y n 1 1 2 n 1 y 2 n 1 d y n 1 1 2 n 1 2 displaystyle int 0 1 frac 1 y mathrm artanh y mathrm d y int 0 1 biggl frac 1 y sum n 1 infty frac 1 2n 1 y 2n 1 biggr mathrm d y sum n 1 infty frac 1 2n 1 2 nbsp Daraus folgt n 1 1 2 n 1 2 p 2 8 displaystyle sum n 1 infty frac 1 2n 1 2 frac pi 2 8 nbsp Stammfunktionen von Arkussinus und Arkuskosinus Bearbeiten Arkussinus arcsin x a d x x arcsin x a a 2 x 2 C displaystyle int arcsin left frac x a right mathrm d x x arcsin left frac x a right sqrt a 2 x 2 C nbsp Arkuskosinus arccos x a d x x arccos x a a 2 x 2 C displaystyle int arccos left frac x a right mathrm d x x arccos left frac x a right sqrt a 2 x 2 C nbsp Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus Bearbeiten Wenn der Arkussinus durch die identische Abbildungsfunktion geteilt wird dann stellt diese Funktion den kardinalisierten Arkussinus dar Die ursprungliche Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus ist das sogenannte Arkussinusintegral und dies ist eine nicht elemenare Funktion 0 x 1 y arcsin y d y 0 1 1 z arcsin x z d z Si 2 x displaystyle int 0 x frac 1 y arcsin y mathrm d y int 0 1 frac 1 z arcsin xz mathrm d z operatorname Si 2 x nbsp Nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung gilt somit d d x Si 2 x 1 x arcsin x displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname Si 2 x frac 1 x arcsin x nbsp das bekannteste Beispiel fur einen Wert dieser Stammfunktion 0 1 1 x arcsin x d x Si 2 1 p 2 ln 2 displaystyle int 0 1 frac 1 x arcsin x mathrm d x operatorname Si 2 1 frac pi 2 ln 2 nbsp Mit dem Satz von Fubini kann der nun genannte Wert des Integrals bewiesen werden Si 2 1 0 1 1 x arcsin x d x 0 1 0 1 1 x 2 y 1 x 2 y 2 1 y 2 d y d x displaystyle operatorname Si 2 1 int 0 1 frac 1 x arcsin x mathrm d x int 0 1 int 0 1 frac sqrt 1 x 2 y 1 x 2 y 2 sqrt 1 y 2 mathrm d y mathrm d x nbsp 0 1 0 1 1 x 2 y 1 x 2 y 2 1 y 2 d x d y 0 1 p y 2 1 y 2 1 1 y 2 d y p 2 ln 2 displaystyle int 0 1 int 0 1 frac sqrt 1 x 2 y 1 x 2 y 2 sqrt 1 y 2 mathrm d x mathrm d y int 0 1 frac pi y 2 sqrt 1 y 2 1 sqrt 1 y 2 mathrm d y frac pi 2 ln 2 nbsp Mit diesem Arkussinusintegral kann ebenso das sogenannte Arkustangensintegral direkt erzeugt werden 2 T i 2 x 1 1 x 2 1 4 S i 2 1 2 1 x 1 2 1 x S i 2 x displaystyle 2 mathrm Ti 2 bigl x 1 sqrt 1 x 2 1 bigr 4 mathrm Si 2 bigl tfrac 1 2 sqrt 1 x tfrac 1 2 sqrt 1 x bigr mathrm Si 2 x nbsp Komplexe Argumente Bearbeitenarcsin a b i s g n a 2 arccos a 2 b 2 1 2 4 b 2 a 2 b 2 i s g n b 2 arcosh a 2 b 2 1 2 4 b 2 a 2 b 2 displaystyle begin aligned arcsin a b mathrm i quad frac operatorname sgn a 2 cdot arccos amp left sqrt a 2 b 2 1 2 4b 2 a 2 b 2 right mathrm i cdot frac operatorname sgn b 2 cdot operatorname arcosh amp left sqrt a 2 b 2 1 2 4b 2 a 2 b 2 right end aligned nbsp mit a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp arccos a b i p 2 arcsin a b i displaystyle arccos a b mathrm i frac pi 2 arcsin a b mathrm i nbsp Zur Funktion arcosh displaystyle operatorname arcosh nbsp siehe Areakosinus hyperbolicus und fur die Funktion s g n R 1 1 displaystyle operatorname sgn colon mathbb R to 1 1 nbsp gilt s g n x 2 8 x 1 1 fur x 0 1 fur x lt 0 displaystyle operatorname sgn x 2 cdot Theta x 1 begin cases 1 amp text fur x geq 0 1 amp text fur x lt 0 end cases nbsp mit der Heaviside Funktion 8 displaystyle Theta nbsp Anmerkungen BearbeitenWichtige Funktionswerte Bearbeiten Siehe auch Sinus und Kosinus Wichtige FunktionswerteDie folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden Arkusfunktionen auf 5 x displaystyle x nbsp arcsin x displaystyle arcsin x nbsp arccos x displaystyle arccos x nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 0 displaystyle 0 circ nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 90 displaystyle 90 circ nbsp p 2 displaystyle frac pi 2 nbsp 1 2 displaystyle frac 1 2 nbsp 30 displaystyle 30 circ nbsp p 6 displaystyle frac pi 6 nbsp 60 displaystyle 60 circ nbsp p 3 displaystyle frac pi 3 nbsp 1 2 2 displaystyle frac 1 2 sqrt 2 nbsp 45 displaystyle 45 circ nbsp p 4 displaystyle frac pi 4 nbsp 45 displaystyle 45 circ nbsp p 4 displaystyle frac pi 4 nbsp 1 2 3 displaystyle frac 1 2 sqrt 3 nbsp 60 displaystyle 60 circ nbsp p 3 displaystyle frac pi 3 nbsp 30 displaystyle 30 circ nbsp p 6 displaystyle frac pi 6 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 90 displaystyle 90 circ nbsp p 2 displaystyle frac pi 2 nbsp 0 displaystyle 0 circ nbsp 0 displaystyle 0 nbsp Weitere wichtige Werte sind x displaystyle x nbsp arcsin x displaystyle arcsin x nbsp arccos x displaystyle arccos x nbsp 1 4 6 2 displaystyle tfrac 1 4 sqrt 6 sqrt 2 nbsp 15 displaystyle 15 circ nbsp p 12 displaystyle tfrac pi 12 nbsp 75 displaystyle 75 circ nbsp 5 p 12 displaystyle tfrac 5 pi 12 nbsp 1 4 5 1 displaystyle tfrac 1 4 left sqrt 5 1 right nbsp 18 displaystyle 18 circ nbsp p 10 displaystyle tfrac pi 10 nbsp 72 displaystyle 72 circ nbsp 2 p 5 displaystyle tfrac 2 pi 5 nbsp 1 4 10 2 5 displaystyle tfrac 1 4 sqrt 10 2 sqrt 5 nbsp 36 displaystyle 36 circ nbsp p 5 displaystyle tfrac pi 5 nbsp 54 displaystyle 54 circ nbsp 3 p 10 displaystyle tfrac 3 pi 10 nbsp 1 4 1 5 displaystyle tfrac 1 4 left 1 sqrt 5 right nbsp 54 displaystyle 54 circ nbsp 3 p 10 displaystyle tfrac 3 pi 10 nbsp 36 displaystyle 36 circ nbsp p 5 displaystyle tfrac pi 5 nbsp 1 4 10 2 5 displaystyle tfrac 1 4 sqrt 10 2 sqrt 5 nbsp 72 displaystyle 72 circ nbsp 2 p 5 displaystyle tfrac 2 pi 5 nbsp 18 displaystyle 18 circ nbsp p 10 displaystyle tfrac pi 10 nbsp 1 4 6 2 displaystyle tfrac 1 4 sqrt 6 sqrt 2 nbsp 75 displaystyle 75 circ nbsp 5 p 12 displaystyle tfrac 5 pi 12 nbsp 15 displaystyle 15 circ nbsp p 12 displaystyle tfrac pi 12 nbsp Kettenbruchdarstellung des Arkussinus Bearbeiten H S Wall fand 1948 fur den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch arcsin x x 1 x 2 1 1 2 x 2 3 1 2 x 2 5 3 4 x 2 7 3 4 x 2 9 5 6 x 2 11 displaystyle arcsin x frac x sqrt 1 x 2 1 cfrac 1 cdot 2x 2 3 cfrac 1 cdot 2x 2 5 cfrac 3 cdot 4x 2 7 cfrac 3 cdot 4x 2 9 cfrac 5 cdot 6x 2 11 ldots nbsp Komplexe Funktion Bearbeiten Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrucken arcsin z i ln i z 1 z 2 displaystyle arcsin z mathrm i ln left mathrm i z sqrt 1 z 2 right nbsp arccos z i ln z i 1 z 2 displaystyle arccos z mathrm i ln left z mathrm i sqrt 1 z 2 right nbsp Diese beiden Formeln kann man wie folgt herleiten Fur arcsin z displaystyle arcsin z nbsp sin x e i x e i x 2 i e i x e i x 2 i z e i x 1 e i x 2 z i e i x 2 1 2 z i e i x e i x 2 2 z i e i x 1 0 e i x 2 z i 2 2 z i 2 2 1 e i x z i 1 z 2 i x ln z i 1 z 2 x ln z i 1 z 2 i x ln z i 1 z 2 i i 2 x ln z i 1 z 2 i 1 x i ln z i 1 z 2 arcsin z i ln z i 1 z 2 displaystyle begin aligned sin x amp frac mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x 2 mathrm i frac mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x 2 mathrm i amp z mathrm e mathrm i x frac 1 mathrm e mathrm i x amp 2z mathrm i mathrm e mathrm i x 2 1 amp 2z mathrm i mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x 2 2z mathrm i mathrm e mathrm i x 1 amp 0 mathrm e mathrm i x amp frac 2z mathrm i 2 pm sqrt left frac 2z mathrm i 2 right 2 1 mathrm e mathrm i x amp z mathrm i pm sqrt 1 z 2 mathrm i x amp ln z mathrm i pm sqrt 1 z 2 x amp frac ln z mathrm i pm sqrt 1 z 2 mathrm i x amp frac ln z mathrm i pm sqrt 1 z 2 mathrm i mathrm i 2 x amp frac ln z mathrm i pm sqrt 1 z 2 mathrm i 1 x amp mathrm i ln z mathrm i pm sqrt 1 z 2 arcsin z amp mathrm i ln z mathrm i pm sqrt 1 z 2 end aligned nbsp Fur arccos z displaystyle arccos z nbsp cos x e i x e i x 2 e i x e i x 2 z e i x 1 e i x 2 z e i x 2 1 2 z e i x e i x 2 2 z e i x 1 0 e i x 2 z 2 2 z 2 2 1 e i x z z 2 1 i x ln z i 1 z 2 x ln z i 1 z 2 i x ln z i 1 z 2 i i 2 x ln z i 1 z 2 i 1 x i ln z i 1 z 2 arccos z i ln z i 1 z 2 displaystyle begin aligned cos x amp frac mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x 2 frac mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x 2 amp z mathrm e mathrm i x frac 1 mathrm e mathrm i x amp 2z mathrm e mathrm i x 2 1 amp 2z mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x 2 2z mathrm e mathrm i x 1 amp 0 mathrm e mathrm i x amp frac 2z 2 pm 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Jun Jul 2003 540 541 Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Zeuge Nutzliche und schone Geometrie 3 3 Die Umkehrfunktionen Springer Spektrum Berlin 2021 ISBN 978 3 662 63831 6 S 46 Eric W Weisstein Inverse Trigonometric Functions In MathWorld englisch Derrick Henry Lehmer Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient Volume 92 1985 Seite 452 James D Harper Another simple proof of 1 1 2 2 1 3 2 p 2 6 displaystyle 1 frac 1 2 2 frac 1 3 2 cdots frac pi 2 6 nbsp American Mathematical Monthly Band 110 Nr 6 2003 S 540 541 Georg Hoever Hohere Mathematik kompakt Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 662 43994 4 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Trigonometrische Funktion Primare trigonometrische FunktionenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Sekans und Kosekans Umkehrfunktionen Arkusfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus Arkustangens und Arkuskotangens Arkussekans und Arkuskosekans HyperbelfunktionenSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus AreafunktionenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Arkussinus und Arkuskosinus amp oldid 238660579
