Der Satz von Fubini ist ein Satz in der Integralrechnung Er gibt an unter welchen Bedingungen und wie man mehrdimensionale Integrale mit Hilfe von eindimensionalen Integralen ausrechnen kann Erstmals wurde dieser Satz 1907 von Guido Fubini 1879 1943 bewiesen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Satz von Fubini fur das Riemann Integral 3 Satz von Fubini fur das Lebesgue Integral 4 Satz von Tonelli auch Satz von Fubini Tonelli 5 Folgerungen 5 1 Stochastik 5 2 Faltung zweier Funktionen 6 Exemplarische Anwendung 6 1 Arkussinusintegral 6 2 Dirichletsche Etafunktion 6 3 Integrale von vollstandigen elliptischen Integralen 6 4 Zweifache Ausfuhrung bei der Integralexponentialfunktion 7 Fubinische Integralmultiplikation 7 1 Produkt zweier Integrale 7 2 Beweis fur das Integralprodukt 8 Rechenbeispiele fur die Integralmultiplikation 8 1 Gausssches und Lemniskatisches Glockenkurvenintegral 8 2 Dilogarithmus von Eins und Minus Eins 8 3 Legendresche Identitat 9 Literatur 10 EinzelnachweiseBeschreibung BearbeitenMit Hilfe des Riemann Integrals oder des Lebesgue Integrals kann man die Integration von Funktionen uber mehrdimensionale Gebiete definieren Das Problem hierbei ist dass diese Integrale uber einen Grenzwert mit Hilfe einer Zerlegung des Gebiets in kleine Teile definiert sind Diese ergibt allerdings keine nutzliche konstruktive Methode um solche Integrale zu berechnen Bei eindimensionalen Integralen kann man diese Grenzwertbildung vermeiden wenn sich zu der zu integrierenden Funktion eine Stammfunktion finden lasst Hauptsatz der Differential und Integralrechnung Mit Hilfe des Satzes von Fubini konnen nun mehrdimensionale Integrale auf eindimensionale zuruckgefuhrt werden welche wiederum mit Hilfe einer Stammfunktion sofern bekannt berechnet werden konnen Der Satz sagt zudem aus dass die Reihenfolge der eindimensionalen Integrationen keine Rolle spielt Dieser Trick ist in naiver Weise vor einer exakten Definition der Integrationsrechnung schon im 16 Jahrhundert verwendet worden und ist im Spezialfall von Volumenberechnungen unter dem Prinzip von Cavalieri bekannt Satz von Fubini fur das Riemann Integral BearbeitenSei f a b c d R displaystyle f colon a b times c d to mathbb R nbsp stetig Dann ist F c d R displaystyle F colon c d to mathbb R nbsp mit F y a b f x y d x displaystyle F y int a b f x y mathrm d x nbsp stetig und es gilt c d F y d y c d a b f x y d x d y a b c d f x y d y d x a b c d f x y d x y displaystyle int c d F y mathrm d y int c d int a b f x y mathrm d x mathrm d y int a b int c d f x y mathrm d y mathrm d x int limits a b times c d f x y mathrm d x y nbsp Satz von Fubini fur das Lebesgue Integral BearbeitenSeien W 1 A 1 m 1 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 mu 1 nbsp und W 2 A 2 m 2 displaystyle Omega 2 mathcal A 2 mu 2 nbsp zwei s displaystyle sigma nbsp endliche Massraume und f W 1 W 2 R displaystyle f colon Omega 1 times Omega 2 to mathbb R nbsp eine messbare Funktion die bezuglich des Produktmasses m 1 m 2 displaystyle mathrm mu 1 otimes mu 2 nbsp integrierbar ist das heisst es gelte W 1 W 2 f d m 1 m 2 lt displaystyle int limits Omega 1 times Omega 2 f mathrm d mu 1 otimes mu 2 lt infty nbsp oder es gelte f 0 displaystyle f geq 0 nbsp fast uberall Dann ist fur fast alle y displaystyle y nbsp die Funktion x f x y displaystyle x mapsto f x y nbsp und fur fast alle x displaystyle x nbsp die Funktion y f x y displaystyle y mapsto f x y nbsp integrierbar bzw nichtnegativ Man kann deshalb die durch Integration nach y displaystyle y nbsp beziehungsweise x displaystyle x nbsp definierten Funktionen x W 2 f x y d m 2 y displaystyle x mapsto int limits Omega 2 f x y mathrm d mu 2 y nbsp y W 1 f x y d m 1 x displaystyle y mapsto int limits Omega 1 f x y mathrm d mu 1 x nbsp betrachten Diese sind auch integrierbar bzw nichtnegativ und es gilt W 1 W 2 f d m 1 m 2 W 2 W 1 f x y d m 1 x d m 2 y W 1 W 2 f x y d m 2 y d m 1 x displaystyle int limits Omega 1 times Omega 2 f mathrm d mu 1 otimes mu 2 int limits Omega 2 int limits Omega 1 f x y mathrm d mu 1 x mathrm d mu 2 y int limits Omega 1 int limits Omega 2 f x y mathrm d mu 2 y mathrm d mu 1 x nbsp Satz von Tonelli auch Satz von Fubini Tonelli BearbeitenEine nutzliche Variante dieses letzten Satzes ist der Satz von Tonelli Hier wird die Integrierbarkeit bezuglich des Produktmasses als Voraussetzung nicht benotigt Es reicht dass fur f displaystyle f nbsp die iterierten Integrale existieren Sei f x y displaystyle f x y nbsp eine reelle messbare Funktion wie oben Falls eines der beiden iterierten Integrale W 2 W 1 f x y d m 1 x d m 2 y displaystyle int limits Omega 2 int limits Omega 1 f x y mathrm d mu 1 x mathrm d mu 2 y nbsp W 1 W 2 f x y d m 2 y d m 1 x displaystyle int limits Omega 1 int limits Omega 2 f x y mathrm d mu 2 y mathrm d mu 1 x nbsp existiert dann existiert auch das andere f x y displaystyle f x y nbsp ist bezuglich des Produktmasses integrierbar und es gilt W 1 W 2 f d m 1 m 2 W 2 W 1 f x y d m 1 x d m 2 y W 1 W 2 f x y d m 2 y d m 1 x displaystyle int limits Omega 1 times Omega 2 f mathrm d mu 1 otimes mu 2 int limits Omega 2 int limits Omega 1 f x y mathrm d mu 1 x mathrm d mu 2 y int limits Omega 1 int limits Omega 2 f x y mathrm d mu 2 y mathrm d mu 1 x nbsp Folgerungen BearbeitenDurch komponentenweise Betrachtung ergibt sich sofort dass der Satz von Fubini nicht nur fur reellwertige Funktionen sondern entsprechend auch fur Funktionen mit Werten in endlichdimensionalen reellen Vektorraumen gilt Da der Korper C displaystyle mathbb C nbsp der komplexen Zahlen ein zweidimensionaler R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum ist gilt der Satz von Fubini ebenso fur komplexwertige Funktionen oder Funktionen mit Werten in endlichdimensionalen C displaystyle mathbb C nbsp Vektorraumen Stochastik Bearbeiten Mithilfe des Satzes von Fubini kann man folgende Identitaten beweisen die zum Beispiel Anwendung in der Stochastik finden Sei f a b a b R displaystyle f a b times a b longrightarrow mathbb R nbsp Lebesgue integrierbar dann gilt a b a y f x y d x d y a b x b f x y d y d x displaystyle int limits a b Biggl int limits a y f x y mathrm d x Biggr mathrm d y int limits a b Biggl int limits x b f x y mathrm d y Biggr mathrm d x nbsp Sei f R R displaystyle f mathbb R longrightarrow mathbb R nbsp Lebesgue integrierbar dann folgt induktiv 0 x 0 x 1 0 x n 2 0 x n 1 f x n d x n d x n 1 d x 2 d x 1 1 n 1 0 x x t n 1 f t d t displaystyle int limits 0 x Biggl int limits 0 x 1 dots int limits 0 x n 2 Biggl int limits 0 x n 1 f x n mathrm d x n Biggr mathrm d x n 1 dots mathrm d x 2 Biggr mathrm d x 1 frac 1 n 1 int limits 0 x x t n 1 f t mathrm d t nbsp Faltung zweier Funktionen Bearbeiten Zudem liefert der Satz einen einfachen Beweis der Wohldefiniertheit der Faltung zweier Funktionen Seien f g displaystyle f g nbsp aus dem L 1 R n C displaystyle mathcal L 1 mathbb R n mathbb C nbsp Raum l displaystyle lambda nbsp bezeichne das Lebesgue Mass Definiere die Funktion F R n 2 C displaystyle F colon mathbb R n 2 to mathbb C nbsp x y f y g x y displaystyle x y mapsto f y g x y nbsp Dann gilt R n R n F x y d l x d l y R n R n g x y d l x f y d l y R n f d l R n g d l f 1 g 1 R displaystyle int mathbb R n int mathbb R n F x y mathrm d lambda x mathrm d lambda y leq int mathbb R n left int mathbb R n g x y mathrm d lambda x right f y mathrm d lambda y left int mathbb R n f mathrm d lambda right cdot left int mathbb R n g mathrm d lambda right lVert f rVert 1 cdot lVert g rVert 1 in mathbb R nbsp Also existiert gemass Fubini Tonelli auch das Integral R n R n f y g x y d l y d l x displaystyle int mathbb R n int mathbb R n f y g x y mathrm d lambda y mathrm d lambda x nbsp und ist gleich dem obigen Integral Insbesondere sind die messbaren Funktionen F x R n C displaystyle F x colon mathbb R n to mathbb C nbsp y F x y displaystyle y mapsto F x y nbsp fur fast jedes x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp absolut integrierbar Also ist die Faltung der Funktionen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp gegeben durch f g x R n F x y d l y displaystyle f g x int mathbb R n F x y mathrm d lambda y nbsp wohldefiniert Zudem ist die Funktion f g displaystyle f g nbsp auch in L 1 R n C displaystyle mathcal L 1 mathbb R n mathbb C nbsp enthalten und es gilt f g 1 f 1 g 1 displaystyle lVert f g rVert 1 leq lVert f rVert 1 cdot lVert g rVert 1 nbsp Exemplarische Anwendung BearbeitenArkussinusintegral Bearbeiten Das Arkussinusintegral ist eine nicht elementare Funktion Aber das Arkussinusintegral weist elementare Funktionswerte auf Zur Ermittlung dieser Werte integriert man die Ableitung des Arkussinusintegrals welche der Kardinalisierte Arkussinus ist Und dementsprechend ist das Arkussinusintegral exakt die ursprungliche Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus Fur die Integration dieser Funktion dient der Satz von Fubini als Schlussel welcher das Integral mittels Austausch der Integrationaparameter aufschliesst Denn auf richtige Weise angewendet fuhrt der Satz von Fubini direkt zu einer auf elementare Weise integrierbaren Stammfunktion welche bei folgender Formel in einem royalen Cyanton eingeblendet ist Si 2 1 0 1 1 x arcsin x d x 0 1 0 1 1 x 2 y 1 x 2 y 2 1 y 2 d y d x displaystyle operatorname Si 2 1 int 0 1 frac 1 x arcsin x mathrm d x color blue int 0 1 color green int 0 1 frac sqrt 1 x 2 y 1 x 2 y 2 sqrt 1 y 2 color green mathrm d y color blue mathrm d x nbsp 0 1 0 1 1 x 2 y 1 x 2 y 2 1 y 2 d x d y 0 1 p y 2 1 y 2 1 1 y 2 d y displaystyle color green int 0 1 color blue int 0 1 frac sqrt 1 x 2 y 1 x 2 y 2 sqrt 1 y 2 color blue mathrm d x color green mathrm d y int 0 1 frac pi y 2 sqrt 1 y 2 1 sqrt 1 y 2 mathrm d y nbsp p 2 ln 2 1 1 y 2 1 y 0 y 1 p 2 ln 2 displaystyle color RoyalBlue biggl frac pi 2 ln bigl 2 bigl 1 sqrt 1 y 2 bigr 1 bigr biggr y 0 y 1 frac pi 2 ln 2 nbsp Dirichletsche Etafunktion Bearbeiten Die Dirichletsche Reihe definiert die Dirichletsche Etafunktion so h s n 1 1 n 1 n s 1 1 2 s 1 3 s 1 4 s 1 5 s 1 6 s displaystyle eta s sum n 1 infty frac 1 n 1 n s 1 frac 1 2 s frac 1 3 s frac 1 4 s frac 1 5 s frac 1 6 s pm cdots nbsp Der Wert h 2 ergibt p 12 und dies kann mit dem Satz von Fubini bewiesen werden h 2 n 1 1 n 1 1 n 2 n 1 0 1 1 n 1 1 n x n 1 d x 0 1 n 1 1 n 1 1 n x n 1 d x 0 1 1 x ln x 1 d x displaystyle eta 2 sum n 1 infty 1 n 1 frac 1 n 2 sum n 1 infty int 0 1 1 n 1 frac 1 n x n 1 mathrm d x int 0 1 sum n 1 infty 1 n 1 frac 1 n x n 1 mathrm d x int 0 1 frac 1 x ln x 1 mathrm d x nbsp Das Integral vom Produkt aus Kehrwertfunktion und Logarithmus Naturalis von der Nachfolgerfunktion ist polylogarithmisch beschaffen und hat keine elementar darstellbare Stammfunktion Aber der Satz von Fubini schliesst dieses Integral auf eine kombinatorische Weise auf indem bei einer Bilanz aus gebrochen rationalen Funktionen mit Bruchen aus linearen und quadratischen Nennern die Doppelintegration mit dem Satz von Fubini durchgefuhrt wird 0 1 1 x ln x 1 d x 0 1 0 1 4 3 x 2 2 x y 1 2 x 3 x 2 y 1 1 3 x y 1 d y d x displaystyle int 0 1 frac 1 x ln x 1 mathrm d x color blue int 0 1 color green int 0 1 frac 4 3 x 2 2xy 1 frac 2x 3 x 2 y 1 frac 1 3 xy 1 color green mathrm d y color blue mathrm d x nbsp 0 1 0 1 4 3 x 2 2 x y 1 2 x 3 x 2 y 1 1 3 x y 1 d x d y 0 1 2 arccos y 3 1 y 2 d y displaystyle color green int 0 1 color blue int 0 1 frac 4 3 x 2 2xy 1 frac 2x 3 x 2 y 1 frac 1 3 xy 1 color blue mathrm d x color green mathrm d y int 0 1 frac 2 arccos y 3 sqrt 1 y 2 mathrm d y nbsp p 2 12 1 3 arccos y 2 y 0 y 1 p 2 12 displaystyle color RoyalBlue biggl frac pi 2 12 frac 1 3 arccos y 2 biggr y 0 y 1 frac pi 2 12 nbsp Die hier in royalem Cyanton eingeblendete ursprungliche Stammfunktion fuhrt direkt zum Werte von h 2 hin h 2 p 2 12 displaystyle eta 2 frac pi 2 12 nbsp Integrale von vollstandigen elliptischen Integralen Bearbeiten Das Uneigentliches Integral vom Vollstandigen elliptischen Integral erster Art K nimmt den Wert vom Doppelten der Catalansche Konstante an Die Stammfunktion vom K Integral wird zu den sogenannten Elliptischen Polylogarithmen gezahlt Doch auf die genannte Catalansche Konstante kann man nur uber das Arkustangensintegral gelangen welches sich durch die Anwendung des Satzes von Fubini ergibt 0 1 K x d x 0 1 0 1 1 1 x 2 y 2 1 y 2 d y d x 0 1 0 1 1 1 x 2 y 2 1 y 2 d x d y displaystyle int 0 1 K x mathrm d x color blue int 0 1 color green int 0 1 frac 1 sqrt 1 x 2 y 2 1 y 2 color green mathrm d y color blue mathrm d x color green int 0 1 color blue int 0 1 frac 1 sqrt 1 x 2 y 2 1 y 2 color blue mathrm d x color green mathrm d y nbsp 0 1 arcsin y y 1 y 2 d y 2 T i 2 y 1 1 y 2 1 y 0 y 1 2 T i 2 1 2 b 2 2 G displaystyle int 0 1 frac arcsin y y sqrt 1 y 2 mathrm d y color RoyalBlue biggl 2 mathrm Ti 2 bigl y bigl 1 sqrt 1 y 2 bigr 1 bigr biggr y 0 y 1 2 mathrm Ti 2 1 2 beta 2 2 G nbsp Und der nun in royalem Cyanton stehende Ausdruck ist diesmal zwar nicht elementar aber fuhrt mittels Arkustangensintegral direkt zum ebenso nicht elementaren Wert der Catalanschen Konstante hin Gleiches Verfahren funktioniert auch fur das Vollstandige elliptische Integral zweiter Art E auf die folgende Weise 0 1 E x d x 0 1 0 1 1 x 2 y 2 1 y 2 d y d x 0 1 0 1 1 x 2 y 2 1 y 2 d x d y displaystyle int 0 1 E x mathrm d x color blue int 0 1 color green int 0 1 frac sqrt 1 x 2 y 2 sqrt 1 y 2 color green mathrm d y color blue mathrm d x color green int 0 1 color blue int 0 1 frac sqrt 1 x 2 y 2 sqrt 1 y 2 color blue mathrm d x color green mathrm d y nbsp 0 1 arcsin y 2 y 1 y 2 1 2 d y T i 2 y 1 1 y 2 1 1 2 y y 0 y 1 T i 2 1 1 2 b 2 1 2 G 1 2 displaystyle int 0 1 biggl frac arcsin y 2y sqrt 1 y 2 frac 1 2 biggr mathrm d y color RoyalBlue biggl mathrm Ti 2 bigl y bigl 1 sqrt 1 y 2 bigr 1 bigr frac 1 2 y biggr y 0 y 1 mathrm Ti 2 1 frac 1 2 beta 2 frac 1 2 G frac 1 2 nbsp Zweifache Ausfuhrung bei der Integralexponentialfunktion Bearbeiten Die Mascheronische Konstante kommt als uneigentliches Integral von Null bis Unendlich bei der Integration vom Produkt aus negativem Naturlichen Logarithmus und Exponentialkehrwert hervor Aber sie ist auch das uneigentliche Integral in den gleichen Grenzen von kardinalisierter Differenz von Kehrwert der Nachfolgerfunktion und Exponentialkehrwert g 0 ln x exp x d x 0 1 x 1 x 1 exp x d x displaystyle gamma color WildStrawberry int 0 infty frac ln x exp x mathrm d x color cornflowerblue int 0 infty frac 1 x biggl frac 1 x 1 exp x biggr mathrm d x nbsp Die Ubereinstimmung dieser beiden Integrale kann durch zweifach hintereinander folgende Ausfuhrung des Satzes von Fubini uber die Identitat mit einem Integral von der komplementaren Integralexponentialfunktion gezeigt werden So ist die komplementare Integralexponentialfunktion definiert E 1 x exp x 0 exp x y y 1 d y displaystyle mathrm E 1 x exp x int 0 infty frac exp xy y 1 mathrm d y nbsp Das ist die Ableitung von dieser Funktion d d x E 1 x 1 x exp x displaystyle frac mathrm d mathrm d x mathrm E 1 x frac 1 x exp x nbsp Erste Ausfuhrung des Satzes von Fubini Dieses Integral aus einer Konstruktion der Integralexponentialfunktion fuhrt zum Integral aus negativem Logarithmus Naturalis und Exponentialkehrwert 0 exp x E 1 x 1 x 1 d x 0 0 exp y 1 x y 1 x 1 d y d x displaystyle color Dandelion int 0 infty biggl exp x mathrm E 1 x frac 1 x 1 biggr mathrm d x color blue int 0 infty color green int 0 infty exp y bigl frac 1 x y frac 1 x 1 bigr color green mathrm d y color blue mathrm d x nbsp 0 0 exp y 1 x y 1 x 1 d x d y 0 exp y ln y d y g displaystyle color green int 0 infty color blue int 0 infty exp y bigl frac 1 x y frac 1 x 1 bigr color blue mathrm d x color green mathrm d y color WildStrawberry int 0 infty exp y ln y mathrm d y gamma nbsp Zweite Ausfuhrung des Satzes von Fubini Und das zuvor beschriebene Integral aus der genannte kardinalisierten Differenz fuhrt zum vorher genannten Integral von der Integralexponentialfunktion 0 1 x 1 x 1 exp x d x 0 0 exp x y 1 x 1 exp x d y d x displaystyle color cornflowerblue int 0 infty frac 1 x biggl frac 1 x 1 exp x biggr mathrm d x color blue int 0 infty color green int 0 infty exp xy biggl frac 1 x 1 exp x biggr color green mathrm d y color blue mathrm d x nbsp 0 0 exp x y 1 x 1 exp x d x d y 0 exp y E 1 y 1 y 1 d y g displaystyle color green int 0 infty color blue int 0 infty exp xy biggl frac 1 x 1 exp x biggr color blue mathrm d x color green mathrm d y color Dandelion int 0 infty biggl exp y mathrm E 1 y frac 1 y 1 biggr mathrm d y gamma nbsp Denn grundsatzlich konnen Produkte aus Exponentialfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen so integriert werden exp a x b x c d d x 1 b exp a c b E 1 a b b x c displaystyle frac exp ax bx c frac mathrm d mathrm d x biggl frac 1 b exp bigl frac ac b bigr mathrm E 1 bigl frac a b bigl bx c bigr bigr biggr nbsp 0 exp a x b x c d x 1 b exp a c b E 1 a b b x c x 0 x 1 b exp a c b E 1 a c b displaystyle int 0 infty frac exp ax bx c mathrm d x biggl frac 1 b exp bigl frac ac b bigr mathrm E 1 bigl frac a b bigl bx c bigr bigr biggr x 0 x infty frac 1 b exp bigl frac ac b bigr mathrm E 1 bigl frac ac b bigr nbsp Fubinische Integralmultiplikation BearbeitenProdukt zweier Integrale Bearbeiten Fur das Produkt zweier Integrale mit der Untergrenze Null und mit gemeinsamer Obergrenze gilt dieses Gesetz 0 u v x d x 0 u w x d x 0 1 0 u x v x y w x x v x w x y d x d y displaystyle biggl int 0 u v x mathrm d x biggr biggl int 0 u w x mathrm d x biggr int 0 1 int 0 u x v xy w x x v x w xy mathrm d x mathrm d y nbsp Dies soll im nun Folgenden bewiesen werden Beweis fur das Integralprodukt Bearbeiten Die Funktionen V x displaystyle V x nbsp und W x displaystyle W x nbsp werden als ursprungliche Stammfunktionen von den Funktionen v x displaystyle v x nbsp und w x displaystyle w x nbsp aufgestellt also als Stammfunktionen welche durch den Koordinatenursprung verlaufen 0 u v x d x V u displaystyle int 0 u v x mathrm d x V u nbsp 0 u w x d x W u displaystyle int 0 u w x mathrm d x W u nbsp Dann gelten nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung diese Formeln d d x V x v x displaystyle frac mathrm d mathrm d x V x v x nbsp d d x W x w x displaystyle frac mathrm d mathrm d x W x w x nbsp Deswegen folgt fur die linke Seite der zuvor gezeigten eingerahmten Gleichung dieses Resultat 0 u v x d x 0 u w x d x V u W u displaystyle biggl int 0 u v x mathrm d x biggr biggl int 0 u w x mathrm d x biggr V u W u nbsp Die Ableitung des Produktes von den beiden ursprunglichen Stammfunktionen kann durch die Produktregel ermittelt werden d d x V x W x V x w x v x W x displaystyle frac mathrm d mathrm d x bigl V x W x bigr V x w x v x W x nbsp Also gilt dieses Integral 0 u V x w x v x W x d x V u W u displaystyle int 0 u V x w x v x W x mathrm d x V u W u nbsp Durch das Gleichsetzungsverfahren entsteht dann folgende Formel 0 u v x d x 0 u w x d x 0 u V x w x v x W x d x displaystyle biggl int 0 u v x mathrm d x biggr biggl int 0 u w x mathrm d x biggr int 0 u V x w x v x W x mathrm d x nbsp Nun wird ein zweiter Integrationsparameter y displaystyle y nbsp verwendet um die Stammfunktionen V x displaystyle V x nbsp und W x displaystyle W x nbsp zu beschreiben 0 1 x v x y d y V x y y 0 y 1 V x displaystyle int 0 1 x v xy mathrm d y biggl V xy biggr y 0 y 1 V x nbsp 0 1 x w x y d y W x y y 0 y 1 W x displaystyle int 0 1 x w xy mathrm d y biggl W xy biggr y 0 y 1 W x nbsp Das Einsetzungsverfahren bringt ein sogenanntes Doppelintegral hervor 0 u v x d x 0 u w x d x 0 u 0 1 x v x y d y w x v x 0 1 x w x y d y d x displaystyle biggl int 0 u v x mathrm d x biggr biggl int 0 u w x mathrm d x biggr int 0 u biggl int 0 1 x v xy mathrm d y biggr w x v x biggl int 0 1 x w xy mathrm d y biggr mathrm d x nbsp Funktionen welche bezuglich des betroffenen Integrationsparameters fremd sind konnen als Faktor in die innere Funktion hineingefuhrt werden 0 u v x d x 0 u w x d x 0 u 0 1 x v x y w x d y 0 1 x v x w x y d y d x displaystyle biggl int 0 u v x mathrm d x biggr biggl int 0 u w x mathrm d x biggr int 0 u biggl int 0 1 x v xy w x mathrm d y biggr biggl int 0 1 x v x w xy mathrm d y biggr mathrm d x nbsp Als Nachstes wird die Summenregel fur die Integrale angewendet 0 u v x d x 0 u w x d x 0 u 0 1 x v x y w x x v x w x y d y d x displaystyle biggl int 0 u v x mathrm d x biggr biggl int 0 u w x mathrm d x biggr int 0 u int 0 1 x v xy w x x v x w xy mathrm d y mathrm d x nbsp Zum Schluss wird der Satz von Fubini direkt angewendet 0 u v x d x 0 u w x d x 0 1 0 u x v x y w x x v x w x y d x d y displaystyle biggl int 0 u v x mathrm d x biggr biggl int 0 u w x mathrm d x biggr int 0 1 int 0 u x v xy w x x v x w xy mathrm d x mathrm d y nbsp Rechenbeispiele fur die Integralmultiplikation BearbeitenGausssches und Lemniskatisches Glockenkurvenintegral Bearbeiten Nun wird diese Formel fur die Quadratur eines Integrals aufgestellt 0 f x d x 2 0 1 0 2 x f x f x y d x d y displaystyle biggl int 0 infty f x mathrm d x biggr 2 int 0 1 int 0 infty 2x f x f xy mathrm d x mathrm d y nbsp Dementsprechend kann dann diese Gleichungskette erzeugt werden 0 exp x 2 d x 2 0 1 0 2 x exp x 2 exp x 2 y 2 d x d y 0 1 0 2 x exp x 2 y 2 1 d x d y displaystyle biggl int 0 infty exp x 2 mathrm d x biggr 2 int 0 1 int 0 infty 2x exp x 2 exp x 2 y 2 mathrm d x mathrm d y int 0 1 int 0 infty 2x exp bigl x 2 y 2 1 bigr mathrm d x mathrm d y nbsp 0 1 1 y 2 1 1 y 2 1 exp x 2 y 2 1 x 0 x d y 0 1 1 y 2 1 d y arctan 1 p 4 displaystyle int 0 1 biggl frac 1 y 2 1 frac 1 y 2 1 exp biggl x 2 y 2 1 biggr biggr x 0 x infty mathrm d y int 0 1 frac 1 y 2 1 mathrm d y arctan 1 frac pi 4 nbsp Daraus folgt fur das Integral der Gaussschen Glockenkurve dieser Wert 0 exp x 2 d x 1 2 p displaystyle int 0 infty exp x 2 mathrm d x frac 1 2 sqrt pi nbsp Dieses Resultat kann fur die Ermittlung des Lemniskatischen Analogons der Glockenkurve weiterverwendet werden Erneut wird die eingerahmte Gussform verwendet Statt der x 2 displaystyle x 2 nbsp wird nun aber die x 4 displaystyle x 4 nbsp als Exponenteneintrag verwendet und die zugehorige Eulersche Exponentialfunktion von Null bis unendlich integriert Durch Anwendung der gleichen Gussform wie bei dem vorherigen Beispiel ergibt sich so nun durch substitutive Anwendung der Kettenregel das Produkt aus dem Integral der Gaussschen Glockenkurve in dessen regularer Form multipliziert mit einem sogenannten Lemniskatischen Integral Dieses Integral wird deswegen so genannt weil dessen Darstellung nicht nur mit einem elliptischen K Wert alleine sondern auch mit der Lemniskatische Konstante dargestellt werden kann Fur die Darstellung in diesem Artikel wird jedoch das K Integral von der Halfte der Quadratwurzel aus Zwei fur die Darstellung des betroffenen Integrals hergenommen 0 exp x 4 d x 2 0 1 0 2 x exp x 4 exp x 4 y 4 d x d y 0 1 0 2 x exp x 4 y 4 1 d x d y displaystyle biggl int 0 infty exp x 4 mathrm d x biggr 2 int 0 1 int 0 infty 2x exp x 4 exp x 4 y 4 mathrm d x mathrm d y int 0 1 int 0 infty 2x exp bigl x 4 y 4 1 bigr mathrm d x mathrm d y nbsp 0 1 0 exp x 2 y 4 1 d x d y 0 1 1 y 4 1 0 exp x 2 d x d y displaystyle int 0 1 int 0 infty exp bigl x 2 y 4 1 bigr mathrm d x mathrm d y int 0 1 frac 1 sqrt y 4 1 int 0 infty exp x 2 mathrm d x mathrm d y nbsp 0 1 p 2 y 4 1 d y p 4 F 2 arctan y 1 2 2 y 0 y 1 p 4 K 1 2 2 displaystyle int 0 1 frac sqrt pi 2 sqrt y 4 1 mathrm d y biggl frac sqrt pi 4 F biggl 2 arctan y frac 1 2 sqrt 2 biggr biggr y 0 y 1 frac sqrt pi 4 K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr nbsp Daraus folgt fur das Lemniskatische Analogon vom Integral der Glockenkurve dieser Wert 0 exp x 4 d x 1 2 p 1 4 K 1 2 2 1 2 displaystyle int 0 infty exp x 4 mathrm d x frac 1 2 pi 1 4 K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr 1 2 nbsp Dilogarithmus von Eins und Minus Eins Bearbeiten Erneut wird eine Formel fur die Quadratur eines Integrals aufgestellt 0 1 g x d x 2 0 1 0 1 2 x g x g x y d x d y displaystyle biggl int 0 1 g x mathrm d x biggr 2 int 0 1 int 0 1 2x g x g xy mathrm d x mathrm d y nbsp Also gilt exemplarisch diese Gleichungskette p 2 4 arcsin 1 2 0 1 1 1 x 2 d x 2 0 1 0 1 2 x 1 x 2 1 x 2 y 2 d x d y displaystyle frac pi 2 4 arcsin 1 2 biggl int 0 1 frac 1 sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr 2 int 0 1 int 0 1 frac 2x sqrt 1 x 2 1 x 2 y 2 mathrm d x mathrm d y nbsp 0 1 2 y artanh y 2 y artanh 1 x 2 y 1 x 2 y 2 x 0 x 1 d y 0 1 2 y artanh y d y displaystyle int 0 1 biggl frac 2 y operatorname artanh y frac 2 y operatorname artanh biggl frac sqrt 1 x 2 y sqrt 1 x 2 y 2 biggr biggr x 0 x 1 mathrm d y int 0 1 frac 2 y operatorname artanh y mathrm d y nbsp 2 L i 2 y 1 2 L i 2 y 2 y 0 y 1 3 2 L i 2 1 displaystyle biggl 2 mathrm Li 2 y frac 1 2 mathrm Li 2 y 2 biggr y 0 y 1 frac 3 2 mathrm Li 2 1 nbsp Daraus folgt fur den Dilogarithmus von Eins dieser Wert L i 2 1 p 2 6 displaystyle mathrm Li 2 1 frac pi 2 6 nbsp Wenn das gleiche Verfahren statt beim Arkussinus beim Arkustangens angewendet wird dann erhalt man direkt den Dilogarithmus von Minus Eins Das in dieser Fubinischen Gleichungskette entstehende Doppelintegral kann mittels Partialbruchzerlegung aufsummandisiert werden und so ganz einfach integriert werden Das dann entstehende Integral einer logarithmischen Funktion kann dann so wie im vorherigen Beispiel einer Dilogarithmischen Stammfunktion anvertraut werden Hierbei werden die Dilogarithmen aus den negativen Abbildern von tangentieller Gegenstuckfunktion und ihrem Quadrat angewendet p 2 16 arctan 1 2 0 1 1 x 2 1 d x 2 0 1 0 1 2 x x 2 1 x 2 y 2 1 d x d y displaystyle frac pi 2 16 arctan 1 2 biggl int 0 1 frac 1 x 2 1 mathrm d x biggr 2 int 0 1 int 0 1 frac 2x x 2 1 x 2 y 2 1 mathrm d x mathrm d y nbsp 0 1 ln 2 ln 1 y 2 1 y 2 d y Li 2 1 y 1 y 1 4 Li 2 1 y 2 1 y 2 y 0 y 1 3 4 Li 2 1 displaystyle int 0 1 frac ln 2 ln 1 y 2 1 y 2 mathrm d y biggl operatorname Li 2 biggl frac 1 y 1 y biggr frac 1 4 operatorname Li 2 biggl frac 1 y 2 1 y 2 biggr biggr y 0 y 1 frac 3 4 operatorname Li 2 1 nbsp Daraus folgt fur den Dilogarithmus von Minus Eins der nun folgende Wert L i 2 1 p 2 12 displaystyle mathrm Li 2 1 frac pi 2 12 nbsp Legendresche Identitat Bearbeiten Als Nachstes wird wieder die verallgemeinertere Form der Gleichung als Gussform verwendet 0 1 v x d x 0 1 w x d x 0 1 0 1 x v x y w x x v x w x y d x d y displaystyle biggl int 0 1 v x mathrm d x biggr biggl int 0 1 w x mathrm d x biggr int 0 1 int 0 1 x v xy w x x v x w xy mathrm d x mathrm d y nbsp Folgende elliptische Integrale haben nachfolgende Werte 0 1 1 1 x 4 d x 1 2 2 K 1 2 2 displaystyle int 0 1 frac 1 sqrt 1 x 4 mathrm d x frac 1 2 sqrt 2 K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr nbsp 0 1 x 2 1 x 4 d x 1 2 2 2 E 1 2 2 K 1 2 2 displaystyle int 0 1 frac x 2 sqrt 1 x 4 mathrm d x frac 1 2 sqrt 2 biggl 2 E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr biggr nbsp Die Richtigkeit dieser Integrale kann mit den unvollstandigen Elliptischen Integralen erster und zweiter Art gezeigt werden Eingesetzt in die genannte Gussform ergibt sich diese Gleichungskette 0 1 1 1 x 4 d x 0 1 x 2 1 x 4 d x 0 1 0 1 x 3 y 2 1 1 x 4 1 x 4 y 4 d x d y displaystyle biggl int 0 1 frac 1 sqrt 1 x 4 mathrm d x biggr biggl int 0 1 frac x 2 sqrt 1 x 4 mathrm d x biggr int 0 1 int 0 1 frac x 3 y 2 1 sqrt 1 x 4 1 x 4 y 4 mathrm d x mathrm d y nbsp 0 1 y 2 1 2 y 2 artanh y 2 artanh 1 x 4 y 2 1 x 4 y 4 x 0 x 1 d y 0 1 y 2 1 2 y 2 a r t a n h y 2 d y displaystyle int 0 1 biggl frac y 2 1 2 y 2 biggl text artanh bigl y 2 bigr text artanh biggl frac sqrt 1 x 4 y 2 sqrt 1 x 4 y 4 biggr biggr biggr x 0 x 1 mathrm d y int 0 1 frac y 2 1 2 y 2 mathrm artanh bigl y 2 bigr mathrm d y nbsp arctan y 1 y 2 2 y a r t a n h y 2 y 0 y 1 arctan 1 p 4 displaystyle biggl arctan y frac 1 y 2 2 y mathrm artanh bigl y 2 bigr biggr y 0 y 1 arctan 1 frac pi 4 nbsp So kommt dieses Resultat fur den lemniskatischen Spezialfall der Legendreschen Identitat hervor K 1 2 2 2 E 1 2 2 K 1 2 2 p 2 displaystyle K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr biggl 2 E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr biggr frac pi 2 nbsp Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 7 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17904 4 Kapitel V Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie Springer Verlag Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 76317 8 S 279 Konrad Konigsberger Analysis 2 5 Auflage Springer Berlin 2004 Einzelnachweise Bearbeiten Fubini Guido 1907 Sugli integrali multipli Rom Acc L Rend 5 16 1 608 614 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Fubini amp oldid 239513740
