Die Summenregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung Sie besagt dass die Summe aus zwei differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar ist und dass eine solche Summe aus Funktionen gliedweise differenziert werden kann Inhaltsverzeichnis 1 Regel 2 Beispiel 3 Beweis 4 Folgerungen 5 Literatur 6 WeblinksRegel BearbeitenDie Funktionen g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp seien in einem gemeinsamen Intervall definiert das die Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp enthalt An dieser Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp seien beide Funktionen differenzierbar Dann ist auch die Funktion f displaystyle f nbsp mit f x g x h x displaystyle f x g x h x nbsp an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp differenzierbar und es gilt f x 0 g x 0 h x 0 displaystyle f x 0 g x 0 h x 0 nbsp Beispiel Bearbeiten g x x 4 displaystyle g x x 4 nbsp h x x 3 displaystyle h x x 3 nbsp sind auf R displaystyle mathbb R nbsp differenzierbar mit den Ableitungsfunktionen g x 4 x 3 displaystyle g x 4x 3 nbsp h x 3 x 2 displaystyle h x 3x 2 nbsp Daher ist auch die Funktion f x g x h x x 4 x 3 displaystyle f x g x h x x 4 x 3 nbsp auf R displaystyle mathbb R nbsp differenzierbar mit der Ableitungsfunktion f x g x h x 4 x 3 3 x 2 displaystyle f x g x h x 4x 3 3x 2 nbsp Beweis BearbeitenSei I displaystyle I nbsp ein Intervall und seien g h I R displaystyle g h colon I to mathbb R nbsp in x 0 I displaystyle x 0 in I nbsp differenzierbar Per Voraussetzung existieren die Funktionengrenzwerte lim x x 0 g x g x 0 x x 0 displaystyle lim x to x 0 frac g x g x 0 x x 0 nbsp und lim x x 0 h x h x 0 x x 0 displaystyle lim x to x 0 frac h x h x 0 x x 0 nbsp Nach den Grenzwertsatzen existiert auch der Grenzwert der Summenfunktion f g displaystyle f g nbsp an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp und es gilt lim x x 0 g x g x 0 x x 0 h x h x 0 x x 0 lim x x 0 g x g x 0 x x 0 lim x x 0 h x h x 0 x x 0 displaystyle lim x to x 0 left frac g x g x 0 x x 0 frac h x h x 0 x x 0 right lim x to x 0 frac g x g x 0 x x 0 lim x to x 0 frac h x h x 0 x x 0 nbsp Damit folgt lim x x 0 f x f x 0 x x 0 lim x x 0 g x h x g x 0 h x 0 x x 0 lim x x 0 g x g x 0 h x h x 0 x x 0 lim x x 0 g x g x 0 x x 0 h x h x 0 x x 0 lim x x 0 g x g x 0 x x 0 lim x x 0 h x h x 0 x x 0 displaystyle begin aligned lim x to x 0 frac f x f x 0 x x 0 amp lim x to x 0 frac g x h x g x 0 h x 0 x x 0 amp lim x to x 0 frac g x g x 0 h x h x 0 x x 0 amp lim x to x 0 left frac g x g x 0 x x 0 frac h x h x 0 x x 0 right amp lim x to x 0 frac g x g x 0 x x 0 lim x to x 0 frac h x h x 0 x x 0 end aligned nbsp Also ist f x 0 g x 0 h x 0 displaystyle f x 0 g x 0 h x 0 nbsp was zu zeigen war Folgerungen BearbeitenDifferenzregel Betrachtet man die Differenz f g h g h displaystyle f g h g h nbsp fur Funktionen g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp die in x 0 displaystyle x 0 nbsp differenzierbar sind ergibt sich aus der Summenregel und der Faktorregel dass f displaystyle f nbsp in x 0 displaystyle x 0 nbsp differenzierbar ist und fur die Ableitung f x 0 g x 0 h x 0 displaystyle f x 0 g x 0 h x 0 nbsp gilt Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich Sind g 1 g n displaystyle g 1 ldots g n nbsp in x 0 R displaystyle x 0 in mathbb R nbsp differenzierbare Funktionen und c 1 c n R displaystyle c 1 ldots c n in mathbb R nbsp reelle Konstanten dann ist die Linearkombination f x i 1 n c i g i x displaystyle f x sum i 1 n c i g i x nbsp wiederum in x 0 displaystyle x 0 nbsp differenzierbar mit gliedweise differenzierter Ableitungsfunktion f x 0 i 1 n c i g i x 0 i 1 n c i g i x 0 displaystyle f x 0 left sum i 1 n c i g i right x 0 sum i 1 n c i g i x 0 nbsp Daraus folgt Die differenzierbaren Funktionen auf einem gegebenen Intervall bilden einen reellen Vektorraum und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen Literatur BearbeitenHarro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 17 Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2009 ISBN 978 3 8348 0777 9 Weblinks BearbeitenSummenregel auf MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Summenregel amp oldid 237296351
